全国高考数学试卷第一题

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f(x)的对称中心是：
A. (1, -2)
B. (0, 2)
C. (1, 0)
D. (0, -2)
2. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z的几何意义是：
A. z在复平面上的实部为0
B. z在复平面上的虚部为0
C. z在复平面上的实部为1
D. z在复平面上的虚部为-1
3. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，公差d = 2，则第10项an的值为：
A. 21
B. 19
C. 17
D. 15
4. 下列函数中，定义域为实数集R的是：
A. f(x) = √(x^2 - 1)
B. f(x) = 1/x
C. f(x) = |x| + 1
D. f(x) = √(x - 1)
5. 已知向量a = (2, -3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的数量积是：
A. -7
B. -1
C. 7
D. 1
6. 在直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(-1, -4)，则线段AB的中点坐标是：
A. (1, -1)
B. (3, -1)
C. (1, 2)
D. (3, 2)
7. 若等比数列{an}的公比q > 1，且a1 = 2，则第5项an的值为：
A. 16
B. 8
C. 4
D. 2
8. 已知三角形ABC的边长分别为a, b, c，若a^2 + b^2 = c^2，则三角形ABC是：
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等边三角形
D. 梯形
9. 下列函数中，单调递减的是：
A. f(x) = x^2
B. f(x) = 2^x
C. f(x) = log2x
D. f(x) = e^x
10. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，则f(x)的极值点为：
A. x = 1
B. x = 2
C. x = 3
D. x = 4
二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。

把答案填写在题目的横线上。

）
11. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(x)的图像的对称轴方程是________。

12. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 1，公差d = 2，则S10 =
________。

13. 已知复数z = 1 + i，则|z|的值为________。

14. 在直角坐标系中，点P(3, 4)关于直线y = x的对称点Q的坐标是________。

15. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[-1, 2]上单调递增，则a的取值范围是________。

三、解答题（本大题共5小题，共100分。

解答时，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

）
16. （本小题满分12分）已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，求f(x)的单调区间。

17. （本小题满分12分）已知数列{an}满足an = 2an-1 + 1，且a1 = 1，求an
的通项公式。

18. （本小题满分12分）在直角坐标系中，已知点A(2, 3)，点B(-1, -4)，求线段AB的中垂线方程。

19. （本小题满分12分）已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6，求f(x)的图像的拐点。

20. （本小题满分12分）已知函数f(x) = e^x - x - 1，求f(x)的极值点及极值。

【答案】
一、1.A 2.A 3.A 4.C 5.A 6.A 7.A 8.A 9.C 10.B
二、11. x = 3 12. 40 13. √2 14. (4, -3) 15. a > 0
三、16. f(x)在(-∞, 1)和(3, +∞)上单调递增，在(1, 3)上单调递减。

17. an = 2^n - 1
18. 中垂线方程为x + 2y - 1 = 0
19. 拐点为(1, 2)
20. 极值点为x = 1，极小值为f(1) = 0。