第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课时训练

第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理
课时训练
【选题明细表】
一、选择题
1.如图所示,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通,今发现A,B之间电路不通,则焊接点脱落的情况共有( C )
(A)9种(B)11种(C)13种(D)15种
解析:脱落1个点,有(1),(4)2种.
脱落2个点,有6种,(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6种. 脱落3个点,有(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4)4种.
脱落4个点,有(1,2,3,4)1种.
根据分类加法计数原理,电路不通,焊接点脱落的情况共有2+6+4+1=13种,故选C.
2.4封不同的信投入3个不同的信箱中,所有投法的种数是( C )
(A)7 (B)12 (C)34(D)43
解析:根据分步乘法计数原理4封不同的信投入3个不同的信箱共有3×3×3×3=34(种)投法.
3.从集合{0,1,2,3,4,5}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有( C )
(A)36个(B)30个(C)25个(D)20个
解析:因为a,b互不相等且a+bi为虚数,所以b只能从{1,2,3,4,5}
中选,有5种选法,a从剩余的5个数中选,有5种选法,所以共有虚数5×5=25(个),故选C.
4.将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级,每个年级2人,要求甲必须在高一年级,乙和丙均不能在高三年级,则不同的安排种数为( D )
(A)18 (B)15
(C)12 (D)9
解析:若甲、乙在高一年级,则丙一定在高二年级,此时不同的安排种数为3种;若甲、丙在高一年级,则乙一定在高二年级,此时不同的安排种数为3种;若甲在高一年级,乙、丙在高二年级,此时不同的安排种数为3种,所以共有9种不同的安排种数.
5.已知函数y=ax2+bx+c,其中a,b,c∈{0,1,2},则不同的二次函数的个数是( B )
(A)256 (B)18
(C)16 (D)10
解析:根据题设要求可先考虑二次项系数位置:可排数字1,2,有2种可能;再考虑一次项系数位置,可排数字0,1,2,有3种可能;最后考虑常数项位置,可排数字0,1,2,有3种可能.故由分步乘法计数原理可得所有不同二次函数的个数为2×3×3=18,应选B.
6.如图,一环形花坛分成A,B,C,D四块,现有3种不同的花供选种,要求在每块花坛里种一种花,且相邻的两块花坛种不同的花,则不同的种植方法总数为( C )
(A)12 (B)24
(C)18 (D)6
解析:四块花坛种2种不同的花共有3×2=6(种)不同的种植方法;四块花坛种3种不同的花共有2×3×2=12(种)不同的种植方法.故共有6+12=18(种)不同的种植方法,故选C.
7.甲、乙、丙三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有( B )
(A)4种(B)6种
(C)10种(D)16种
解析:第一类:甲先传给乙,如图所示.
有3种传法.
第二类:甲先传给丙时也有3种传法,由分类加法计数原理,共有
3+3=6(种)传递方法.
故选B.
8. 如图所示是某个区域的街道示意图(每个小矩形的边表示街道),则从A到B的最短线路有( C )
(A)24条(B)60条
(C)84条(D)120条
解析:从图形上可以看出,从A到B最少要走9步,走中间每步都有2种选择,所以有92=81种,再加上走边上的3种,所以最短路线有81+3=84条.故选C.
二、填空题
9.由数字1,2,3,4,5组成的没有重复数字的三位数中,各个数位上的数字之和为奇数的数字个数为.
解析:第一类:三个数字均为奇数,有3×2×1=6个.
第二类:三个数字有两个偶数一个奇数,有3×3×2×1=18个.
所以共有6+18=24个.
答案:24
10.数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格中,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有种.
解析:1号方格填数2,有3种填法,同样1号方格填3或4,各有3种填法,由分类加法计数原理,得共有3+3+3=9种填法.
答案:9
11.6个标有不同编号的乒乓球放在两头有盖的棱柱型纸盒中,正视图如图所示,若随机从一头取出一个乒乓球,分6次取完,并依次排成一行,则不同的排法种数是.(用数字作答)
解析:排成一行的6个球,第1个球可从左边取,也可从右边取,有2种可能,同样第2个球也有2种可能,…,第5个球也有2种可能,第6个球只有1种可能,因此不同的排法种数为25=32.
答案:32
12.用1,3,5,7,9五个数字中的三个替换直线方程Ax+By+C=0中的A,B,C,若A,B,C的值互不相同,则不同的直线共有条.
解析:用1,3,5,7,9五个数字中的三个来替换A,B,C;A,B,C的值互不相同,是分步乘法计数原理,直线条数是5×4×3=60.
答案:60
13.从1,2,3,4,7,9六个数中,任取两个数作对数的底数和真数,则所有不同的对数的值的个数为.
解析:①当取1时,1只能为真数,此时对数的值为0.
②不取1时,分两步:
第一步:取底数,5种;
第二步:取真数,4种,其中log23=log49,log32=log94,
log24=log39,log42=log93,所以不同的对数的值的个数为1+5×4-4=17.
答案:17
14. 如图所示,某货场有两堆集装箱,一堆有2个,一堆有3个,现需要全部装运,每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱,则在装运的过程中不同取法的种数是.(用数字作答)
解析:将左边的集装箱从上往下分别记为1,2,3,右边的集装箱从上往下分别记为4,5.分两种情况讨论:若先取1,则有12 345,12 453,14 253,14 235,14 523,12 435,共6种取法;若先取4,则有45 123,41 235,41 523,41 253,共4种取法.故共有6+4=10(种)不同取法.
答案:10
15. 如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法总数为.
解析:法一由题设,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所染的颜色互不相同,它们共有5×4×3=60(种)染色方法.
当S,A,B染好时,不妨设其颜色分别为1,2,3,且其他两种颜色分别为4,5,若C染2,则D可染3或4或5,有3种染法;
若C染4,则D可染3或5,有2种染法;
若C染5,则D可染3或4,有2种染法.
可见,当S,A,B已染好时,C,D还有7种染法,故不同的染色方法有
60×7=420(种).
法二以S,A,B,C,D顺序分步染色.
第一步,S点染色,有5种方法;
第二步,A点染色,与S在同一条棱上,有4种方法;
第三步,B点染色,与S,A分别在同一条棱上,有3种方法;
第四步,C点染色,也有3种方法,但考虑到D点与S,A,C相邻,需要针对A与C是否同色进行分类,当A与C同色时,D点有3种染色方法;当A与C不同色时,因为C与S,B也不同色,所以C点有2种染色方法,D 点也有2种染色方法.由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3+2×2)=420(种).
法三按所用颜色种数分类.
第一类,5种颜色全用,共有种不同的方法;
第二类,只用4种颜色,则必有某两个顶点同色(A与C,或B与D),共有2×种不同的方法;
第三类,只用3种颜色,则A与C,B与D必定同色,共有种不同的
方法.
由分类加法计数原理,得不同的染色方法总数为
+2×+=420(种).
答案:420
三、解答题
16.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为多少? 解:法一分0个相同,1个相同,2个相同讨论.
(1)若0个相同,则信息为1001共1个.
(2)若1个相同,则信息为0001,1101,1011,1000共4个.
(3)若2个相同,又分为以下情况:
①若位置一与二相同,则信息为0101;
②若位置一与三相同,则信息为0011;
③若位置一与四相同,则信息为0000;
④若位置二与三相同,则信息为1111;
⑤若位置二与四相同,则信息为1100;
⑥若位置三与四相同,则信息为1010.
共6个.
故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1+4+6=11.
法二若0个相同,共有1个;
若1个相同,共有=4(个);
若2个相同,共有=6(个);
故共有1+4+6=11(个).
17.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2,…,9的9个小正方形(如图),使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同,且
标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有多少种?
解:把区域分为三部分,第一部分1,5,9,有3种涂法.第二部分4,7,8,当5,7同色时,4,8各有2种涂法,共4种涂法;当5,7异色时,7有2种涂法,4,8均只有1种涂法,故第二部分共4+2=6种涂法.第三部分2,3,6与第二部分一样,共6种涂法.由分步乘法计数原理,可得共有3×6×6=108(种)涂法.。