上海上海外国语大学西外外国语学校选修二第一单元《数列》测试题(包含答案解析)

一、选择题
1．已知数列{}n a 为等差数列，首项为2，公差为3，数列{}n b 为等比数列，首项为2，公比为2，设n n b c a =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，则当2020n T <时，n 的最大值是（ ） A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
2．若数列{}n a 满足12a =，23a =，1
2
n n n a a a --=（3n ≥且*N n ∈），则2018a 等于（ ） A ．
12
B ．2
C ．3
D ．
23
3．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫
+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，数列{}n b 满足
1111n n n
b a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（ ） A ．72
B ．90
C ．36
D ．45
5．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3
分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于
9
10
，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
6．n S 是数列{}n a 前n 项的和，且满足11a =，12n n a S +=，则下列说法正确的是（ ） A ．{}n a 是等差数列
B ．{}n a 中能找到三项p a 、q a 、r a 使得p q r a a a =
C ．{}n a 是等比数列
D ．1n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项的和7
4n
T < 7．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2
n
n n a a n N a +=
∈+．则 10a =（ ）
A ．
11021
B ．
11022
C ．1
1023
D ．1
1024
8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1210,a a =为整数，且4n S S ≤，设
1
1
n n n b a a +=
，则数列{}n b 的前项和n T 为（ ） A ．
310(103)n
n -
B ．
10(103)
n
n -
C ．
103n
n
-
D ．
10(133)
n
n -
9．等比数列{} n a 的前n 项和为n S ，若63:3:1S S =，则93:S S =（ ） A ．4:1
B ．6:1
C ．7:1
D ．9:1
10．已知等差数列{}n a 中，50a >，470a a +<则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．4S
B ．5S
C ．6S
D ．7S
11．已知等比数列{}141
,1,8
n a a a ==，且12231n n a a a a a a k ++++<，则k 的取值范围
是（ ） A ．12,23
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．12,23⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
12．在公差不为零的等差数列{}n a 中，1a ，3a ，7a 依次成等比数列，前7项和为35，则数列{}n a 的通项n a 等于（ ） A ．n
B ．1n +
C ．21n -
D ．21n
二、填空题
13．朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为1f ，第七个音的频率为2f ，则2
1
f f =______． 14．已知正项数列{}n a ，满足()*
12
n
n n a a n N +⋅=∈，且
()20201232020321a a a a +++
+<-，则首项1a 的取值范围是______．
15．数列{}n a 的前n 项和(
)*
23n n S a n =-∈N
，则4
a
=__________.
16．已知数列{}n a 的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且11a =，22a =，347a a +=，5613a a +=，则78a a +=______.
17．等差数列{}n a 中，若15939a a a ++=，371127a a a ++=，则数列{}n a 前11项的和为__________．
18．已知数列{}n a 满足112
a =
，121n n a a n n +=++，则n a =__________.
19．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列说法： ①6S 为n S 的最大值；②110S >；③120S <；④850S S ->.其中正确的是______.
20．给出下列命题:① 1y =是幂函数；② 函数2()2log x
f x x =-的零点有且只有1个；
2)0x -≥的解集为[2,)+∞；④“1x <”是“2x <”的充分非必要条件；⑤ 数列
{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a =-()a R ∈，则{}n a 为等差或等比数列；其中真命题的
序号是________.
三、解答题
21．等比数列{}n a 中，1a ，2a ，3a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且1a ，
2a ，3a 中的任何两个数不在下表的同一列.
（1）求数列n a 的通项公式；
（2）记m b 为数列{}n a 在区间()(0,]m m N ∈中的项的个数，求数列{}m b 的前100项的和. 22．已知数列{}n a 是递增的等比数列且149a a +=，238a a =，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，
（1）求n a 和n S ；
（2）数列11n n n a S S ++⎧⎫
⎨⎬⋅⎩⎭
的前n 项和为n T ，若不等式n T λ≤对任意的*n N ∈恒成立，求实数
λ的最大值.
23．设数列{}n a 的前n 项和2*
,n S n n N =∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若不等式11223
18
111
log n n a a a a a a λ++++
≥对任意*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围.
24．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：2n n S a =-. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设41n n c a =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .
25．已知递增等比数列{}n a 满足：1418a a +=，2332a a ⋅=，数列{}n b 的前n 项和为
n S ，且212n S n =
32
n +，记()()111221n n n n n n a c a b a b +++++-=-⋅-.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n c 的前n 项和n T .
26．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2
1n n S a An Bn +=++．且11a =，232
a =
． （1）求证：数列{}1n a n -+是等比数列并求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n b a n =
-+，求数列()()111n n n b b b +⎧⎫⎪⎪
⎨⎬++⎪⎪⎩
⎭的前n 项和n T ，若对任意n 都有
n T m >，求实数m 的取值范围．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{}n c 的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列{}n c 的前n 项和n T ，验证得答案． 【详解】
解：由题意得：323(1)1n a n n ⨯-=+-=，2n
n b =，
2321n n n n b c a a ==⨯-=，
123n T c c c ∴=+++…n c +
123321321321=⨯-+⨯-+⨯-+…321n +⨯-
(1233222=⨯+++…)
2n n +-
()212312
n n ⨯-=⨯
--
1326n n +=⨯--，
当8n =时，9
8326815222020T =⨯--=<；
当9n =时，10
9326930572020T =⨯--=>，
n ∴的最大值为8.
故选：A. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是求出数列{}n c 的通项公式，利用分组求和求出数列{}n c 的前n 项和n T .
2．C
解析：C 【分析】
先由题设求得数列{}n a 的前几项，然后得到数列{}n a 的周期，进而求得结果. 【详解】
因为12a =，23a =，1
2
n n n a a a --=
（3n ≥且*N n ∈）， 所以2313
2a a a ==，3423
1232
a a a ===， 453112332a a a ===， 564123132a a a ===，675
2
3213
a a a ===，7862
323
a a a ===，，
所以数列{}n a 是周期为6的周期数列， 所以20183366223a a a ⨯+===， 故选：C. 【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下： （1）根据题中所给的前两项以及递推公式，逐项写出数列的前几项； （2）根据规律判断出数列的周期；
（3）根据所求的数列的周期，求得20182a a =，进而求得结果.
3．B
解析：B 【分析】 由题意可得
2
2
1114n n
a a +-
=，运用等差数列的通项公式可得21
43n n a =-
，求得1
4n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果
【详解】
解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫
+-=
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，得22
1114n n
a a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是以
4为公差，以1为首项的等差数列， 所以
21
14(1)43n
n n a =+-=-， 因为0n a >
，所以n a =，
所以
1111n n n
b a a +=+=
所以1
4
n b =
=，
所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+
11
1339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=， 故选：B 【点睛】
关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得
22
1114n n a a +-
=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以4为公差，以1
为首项的等差数列，进而可求n a =
，1
4
n b =
=，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题
4．B
解析：B 【分析】
由题意结合248,,a a a 成等比数列，有2
444(4)(8)a a a =-+即可得4a ，进而得到1a 、n a ，即可求9S . 【详解】
由题意知：244a a =-，848a a =+，又248,,a a a 成等比数列，
∴2
444(4)(8)a a a =-+，解之得48a =，
∴143862a a d =-=-=，则1(1)2n a a n d n =+-=，
∴99(229)
902
S ⨯+⨯=
=，
故选：B
【点睛】
思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 由,,m k n a a a 成等比，即2
k m n a a a =； 等差数列前n 项和公式1()
2
n n n a a S +=
的应用. 5．C
解析：C 【分析】
依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前n 项和，列出不等式解之可得． 【详解】
第一次操作去掉的区间长度为13
；第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为2
9；第
三次操作去掉四个长度为
127的区间，长度和为427；…第n 次操作去掉12n -个长度为1
3
n 的
区间，长度和为1
23
n n -，
于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1
122213933n
n n n S -⎛⎫=++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭
， 由题意，90
2131n
⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21lg lg
1031n ≤=-，即()lg3lg21n -≥，解得：11
5.679lg3lg 20.47710.3010
n ≥
=≈--，
又n 为整数，所以n 的最小值为6. 故选：C . 【点睛】
本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前n 项和等知识及估算能力，属于中档题.
6．D
解析：D 【分析】
由n S 与n a 的关系可求得数列{}n a 的通项公式，可判断A 、C 选项的正误；设r q p >>，假设结论成立，利用数列{}n a 的单调性、通项公式以及数的整除性可判断B 选项的正误；利用等比数列的求和公式可判断D 选项的正误； 【详解】
当1n =时，211222a S a ===； 当2n ≥时，由12n n a S +=可得12n n a S -=，
两式相减得12n n n a a a +=-，所以，
13n n a a +=，且21
23a
a =≠， 所以，数列{}n a 从第二项开始成以3为公比的等比数列，则2
223
23n n n a a --=⋅=⨯，
所以，2
1,1
23,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩
，A 、C 选项错误； 由题意可知，数列{}n a 为单调递增数列，设p q <，
若在数列{}n a 中能找到三项p a 、q a 、r a 使得p q r a a a =，则r q p >>且p 、q 、
r N *∈，
若1p =，则p r a a =，这与数列{}n a 单调递增矛盾；
若2p ≥，则224323292p q p q p q a a --+-=⨯⨯⨯=⨯，2
32r r a -=⨯，
由p q r a a a =，可得42322p q r +--⨯=，
由于432p q +-⨯能被3整除，22r -不能被3整除，故B 选项错误；
21,111,2
23n n n a n -=⎧⎪=⎨≥⎪⨯⎩，11T =；当2n ≥时，12
2
1111111
131372311111122323
23434413
n n n n T ---⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭
=+++++
=+=+-<+= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭-.
故D 选项正确. 故选：D. 【点睛】
由n S 求n a 时，11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩，注意验证1a 是否包含在后面n a 的公式中，若不符
合要单独列出，一般已知条件含n a 与n S 的关系的数列题均可考虑上述公式．
7．C
解析：C 【分析】
根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得1121n n
a a +=+ ，构造11n a ⎧⎫
+⎨⎬⎩⎭
为等比数列，求解出通项，进而求出10a . 【详解】 因为12n n n a a a +=
+，所以两边取倒数得12121n n n n a a a a ++==+，则
11
1121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
，
所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，则111
11122n n n a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭
，
所以121n n a =-，故10
1011
211023
a ==-. 故选：C 【点睛】
方法点睛：对于形如()11n n a pa q p +=+≠型，通常可构造等比数列{}n a x +（其中
1
q
x p =
-）来进行求解. 8．B
解析：B 【分析】
根据已知条件求得{}n a 的通项公式，利用裂项求和法求得n T . 【详解】
依题意等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1210,a a =为整数，且4n
S S ≤，
所以4151030040
a a d a a d ≥+≥⎧⎧⇒⎨⎨
<+<⎩⎩，即10301040d d +≥⎧⎨+<⎩，解得105
32d -≤<-，由于2a 为整数，1a 为整数，所以d 为整数，所以3d =-.
所以()11313n a a n d n =+-=-+. 所以()13113310n a n n +=-++=-+，
()()1111113133103310313n n n b a a n n n n +⎛⎫
=
==⨯- ⎪-+-+-+-+⎝⎭
， 所以1111111371047310313n T n n ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
()()()
10310111133101031010310103n n
n n n --+⎡⎤=-=⨯=⎢⎥-+--⎣⎦. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查裂项求和法，属于中档题.
9．C
解析：C 【分析】
利用等比数列前n 项和的性质k S ，2k k S S -，32k k S S -，43k k S S -，成等比数列求解.
【详解】
因为数列{} n a 为等比数列，则3S ，63S S -，96S S -成等比数列， 设3S m =，则63S m =，则632S S m -=，
故633S S S -=96632S S S S -=-，所以96
4S S m -=，得到97S m =，所以9
3
7S S =. 故选：C. 【点睛】
本题考查等比数列前n 项和性质的运用，难度一般，利用性质结论计算即可.
10．B
解析：B 【分析】
根据50a >和470a a +<判断出数列的单调性，根据数列的单调性确定出n S 的最大值. 【详解】
因为470a a +<，所以560a a +<，又因为50a >，所以60a <， 因为{}n a 为等差数列，所以650d a a =-<，所以{}n a 为单调递减数列， 所以n S 的最大值为5S ， 故选：B. 【点睛】
本题考查根据等差数列的单调性求解前n 项和的最大值，难度一般.求解等差数列前n 项和的最值，关键是分析等差数列的单调性，借助单调性可说明n S 有最大值还是最小值并且求解出对应结果.
11．D
解析：D 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，由11a =，418
a =，可得3
18q =，解得q ．可得n a ．可得
11
24n n n
a a +=⨯
．利用等比数列的求和公式及其数列的单调性即可得出． 【详解】
解：设等比数列{}n a 的公比为q ，11a =，418
a =
， 31
8q ∴=
，解得12
q =． 1111
1()()22
n n n a --=⨯=．
12111111
()()()22224
n n n n n n a a --+∴===⨯．
12231211(1)
111212442()2(1)144434314n n n n n
a a a a a a +-∴++⋯+=++⋯⋯+=⨯=-<-． 12231n n a a a a a a k +++⋯+<，
23
k
． k ∴的取值范围是：2,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
．
故选：D ． 【点睛】
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．B
解析：B 【分析】
根据等差数列以及等比数列的性质求出首项和公差，从而求出通项公式. 【详解】
由题意得，等差数列{}n a 中，1a ，3a ，7a 依次成等比数列，
故2
317a a a =，
则()()2
11126a d a a d +=+， 故12a d =，① 又数列7项和为35， 则1767352
d
a ⨯+
=，②， 联立①②解得：1d =，12a =， 故()211n a n n =+-=+， 故选：B. 【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的性质，公式，重点考查计算能力，属于基础题型.
二、填空题
13．【分析】将每个音的频率看作等比数列利用等比数列知识可求得结果【详
解】由题知：一个八度13个音且相邻两个音之间的频率之比相等可以将每个音的频率看作等比数列一共13项且最后一个音是最初那个音的频率的2倍 解析：1
32
【分析】
将每个音的频率看作等比数列{}n a ，利用等比数列知识可求得结果. 【详解】
由题知：一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等，
∴可以将每个音的频率看作等比数列{}n a ，一共13项，且
1
n
n a q a -=， 最后一个音是最初那个音的频率的2倍，
1312a a ∴=，12121122a q a q =⇒=，
()
11641221133
21312f a a q q q f a a q ∴=====
，
1
231
2f
f ∴=． 故答案为：13
2
【点睛】
关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键.
14．【分析】根据利用递推得到则数列的奇数项和偶数项分别为公比为2的等比数列然后利用等比数列前n 项和公式分别求和再根据条件得到求解【详解】因为所以所以所以数列的奇数项和偶数项分别为公比为2的等比数列所以所 解析：(1,2)
【分析】
根据()
*
12n n n a a n N +⋅=∈，利用递推得到
2
2n n
a a +=，则数列{}n a 的奇数项和偶数项分别为公比为2的等比数列，然后利用等比数列前n 项和公式分别求和，再根据条件得到
123a a +<求解.
【详解】 因为()*
12n
n n a a n N +⋅=∈， 所以()1*
21
2n n n a a n N +++⋅=∈，
所以2
2n n
a a += 所以数列{}n a 的奇数项和偶数项分别为公比为2的等比数列， 所以()()101010101213
2019242020,1212
1122
a a a a a a a a =
--+++++=
--+
所以()()()2020202012320212021321a a a a a a =+++++-<-，
所以123a a +<，
因为()*
12
n
n n a a n N +⋅=∈，
所以212a a ⋅=，即21
2a a =， 所以11
2
3a a +
<，即211320a a -+<， 解得112a <<， 故答案为：(1,2) 【点睛】
方法点睛：证明数列{a n }是等比数列常用的方法：一是定义法，证明
()*1
2,n
n a q n n a -=≥∈N ；二是等比中项法，证明211n n n a a a -+=⋅.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可．
15．24【分析】根据可得两式作差可证明为等比数列并求解出通项公式从而可求【详解】因为所以所以所以所以且所以所以为首项为公比为的等比数列所以所以故答案为：【点睛】思路点睛：已知之间的线性关系求解通项公式的
解析：24 【分析】
根据23n n S a =-可得1123n n S a ++=-，两式作差可证明{}n a 为等比数列并求解出通项公式，从而4a 可求. 【详解】
因为23n n S a =-，所以1123n n S a ++=-，所以1122n n n n a S a S ++--=， 所以1122n n n a a a ++=-，所以12n n a a +=，且11123S a a ==-，所以130a =≠， 所以{}n a 为首项为3，公比为2的等比数列，所以1
32n n a -=⋅，所以41
43224a -=⋅=，
故答案为：24. 【点睛】
思路点睛：已知,n n S a 之间的线性关系，求解{}n a 通项公式的思路： （1）根据已知条件再写一个关于+1+1,n n S a 或()11,2n n S a n --≥的等式；
（2）将新式子与原式作差，利用11n n n a S S ++=-或()12n n n a S S n -=-≥求解出{}n a 的一个递推公式；
（3）证明{}n a 为等比数列，并求解出通项公式.
16．23【分析】先设奇数项公差为偶数项公比为根据已知条件列关系求解和再计算即得结果【详解】设数列的奇数项依次成公差为的等差数列偶数项依次成公比为的等比数列由故解方程得故则故答案为：23【点睛】本题考查了
解析：23
【分析】
先设奇数项公差为d ，偶数项公比为q ，根据已知条件列关系求解d 和q ，再计算78,a a ，即得结果. 【详解】
设数列{}n a 的奇数项依次成公差为d 的等差数列，偶数项依次成公比为q 的等比数列，
由11a =，22a =，347a a +=，5613a a +=，故127d q ++=，2
12213d q ++=， 解方程得2d q ==.故3
718237,16a a d a a q =+==⋅=，则7823a a +=.
故答案为：23. 【点睛】
本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，属于中档题.
17．121【分析】由等差数列的性质可得然后利用等差数列前项和公式求解即可【详解】等差数列中由可得可得则数列前11项的和故答案为：121【点睛】本题考查等差数列性质的应用考查等差数列前项和公式的应用属于基
解析：121 【分析】
由等差数列的性质可得5=13a ，7=9a ，然后利用等差数列前n 项和公式求解即可. 【详解】
等差数列{}n a 中，由15953=39a a a a ++=，可得5=13a ，371173=27a a a a ++=， 可得7=9a ，则数列{}n a 前11项的和()()11157111111=21122
1212
2=a a a a S ++⨯==, 故答案为：121 【点睛】
本题考查等差数列性质的应用，考查等差数列前n 项和公式的应用，属于基础题.
18．【分析】结合累加法及裂项相消法可得根据已知条件即可求出通项公式【详解】解：因为所以则当时将个式子相加可得因为则当时符合题意所以故答案为:【点睛】本题考查了数列通项公式的求解考查了累加法考查了裂项相消
解析：31,1,2n n N n
*
-≥∈
【分析】
结合累加法及裂项相消法可得11
1-=-n a a n
，根据已知条件即可求出通项公式. 【详解】
解：因为121n n a a n n +=+
+，所以12
111
1
n n a a n n n n +-==-++，
则当2,n n N *
≥∈时，213211121123...111n n a a a a a a n n -⎧
-=-⎪⎪
⎪-=-⎪⎨⎪⎪
⎪-=-⎪-⎩
，将1n -个式子相加可得
11111111...12231n a a n n n -=-+-++-=--，因为112a =，则1131
122n a n n
=-+=-，
当1n =时，1311212a =-=符合题意，所以31
,1,2n a n n N n
*=-≥∈. 故答案为: 31
,1,2n n N n
*-≥∈. 【点睛】
本题考查了数列通项公式的求解，考查了累加法，考查了裂项相消法，属于中档题.
19．①②【分析】利用前项和公式得可得最大即可判断出正确命题【详解】化为：最大①为的最大值正确;②正确;③所以③不正确;④所以不正确综上可得：①②正确故答案为:①②【点睛】本题考查命题的真假判断与应用等差
解析：①② 【分析】
675S S S >>,利用前n 项和公式得7670,0a a a <+>,可得67670,,0a a a a d >>><，6S 最大, ()
11111611110.2
a a S a +=
=>即可判断出正确命题．
【详解】
675S S S >>
11657654
6175222
a d a d a d ⨯⨯⨯∴+
>+>+, 化为：7670,0a a a <+>
67670,,0a a a a d ∴>>>∴<
6S 最大, ①6S 为n S 的最大值,正确; ()
11111611110.2
a a S a +=
=>②110S >正确;
③()126760S a a =+>,所以③120S <不正确;
④85678730S S a a a a -=++=<,所以850S S ->不正确. 综上可得：①②正确. 故答案为: ①②. 【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用,等差数列的前n 项和公式,难度一般.
20．④【分析】逐个判断各命题的正确与否后可得正确的选项【详解】对于①因为是幂函数但它与不是同一个函数前者要求而后者故不是幂函数故①错误对于②在同一坐标系画出的图象（如图所示）：则的图象没有公共点故没有零
解析：④ 【分析】
逐个判断各命题的正确与否后可得正确的选项. 【详解】
对于①，因为0y x =是幂函数，但它与1y =不是同一个函数，前者要求0x ≠，而后者
x ∈R .
故1y =不是幂函数，故①错误.
对于②，在同一坐标系画出22,log x
y y x ==的图象（如图所示）：
则22,log x
y y x ==的图象没有公共点，故2()2log x f x x =-没有零点，故②错误.
对于③，1x =时不等式也成立，所以③错误.
对于④，{}|1x x <是{}|2x x <的真子集，故“1x <”是“2x <”的充分非必要条件， 故④正确.
对于⑤，若0a =，则1n S =-，故1,1
0,2
n n a n -=⎧=⎨
≥⎩，
该数列既不是等差数列也不是等比数列，故⑤错误. 故答案为：④. 【点睛】
本题考查命题的真假判断，涉及到函数相同的判断、函数零点的个数判断、充分不必要条件的判断、无理不等式的解法、等差数列等比数列的判断等，注意函数零点的个数判断可以通过两个熟悉函数图象的交点个数来判断，本题属于综合题，有一定难度.
三、解答题
21．（1）3n
n a =；（2）284.
【分析】
（1）由题可得等比数列{}n a 的首项为3，公比为3，即可得出通项公式；
（2）根据题意得出当1
33n n m b +≤<时，m b n =，再分组求和即可求出.
【详解】
（1）由题意结合表中数据可得13a =，29a =，327a =， 所以等比数列{}n a 的首项为3，公比为3，
所以{}n a 的通项公式为1333n n
n a -=⨯=；
（2）由题设及（1）知120b b ==，且当1
33n n m b +≤<时，m b n =.
所以
()()()()()
10012348910262728808182100S b b b b b b b b b b b b b b =+++++++++++++++++
2061182543204=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯284=. 【点睛】
解题关键：由题得出120b b ==，且当1
33n n m b +≤<时，m b n =是解题的关键，再利用分
组求和即可. 22．（1）12n n a ，21n n S =-；（2）最大值是
23
. 【分析】
（1）由149a a +=，23148a a a a ==，求得14,a a 的值，得出2q ，进而求得数列的通
项公式和前n 项和； （2）由（1）可得11111
2121
n n n n n n a b S S +++=
=---，求得数列{}n b 的前n 项和
1
1
12
1
n n T +=-
-，根据数列的单调性和恒成立，即可求解.
【详解】
（1）由题意，数列{}n a 是递增的等比数列，且149a a +=，23148a a a a ==， 所以1a ，4a 是方程2980x x -+=的两个根，且14a a <， 解方程2980x x -+=，得11a =，48a =，
所以3
418
81
a q a =
==，解得2q ，
所以数列的通项公式为11
12n n n a a q --==，
所以()()1111221112
n n n n a q q
S -⨯-=
=
=---，
（2）由（1）可得()()
11
112112121
2121n n n n n n n n n a b S S ++++===----⋅-，
所以数列{}n b 的前n 项和
1111111111
11337715212121
n n n n T ++=-+-+-+⋅⋅⋅+-=----，
在正整数集上{}n T 单调递增，所以12
3n T T ≥=
， 因为n T λ≤，且对一切*n ∈N 成立，所以23
λ≤， 所以实数λ的最大值是23
. 【点睛】
关于数列的裂项法求和的基本策略： 基本步骤：
裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式； 累加：将数列裂项后的各项相加；
消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前n 项和. 消项的规律：
消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.
23．（1）*
21,n a n n N =-∈；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.
【分析】
（1）直接利用11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩，求出数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论和裂项相消法求和得到12231
111
+++⋯+n n a a a a a a ，再根据不等式恒成立，得到关于λ的方程，然后求出参数λ的取值范围． 【详解】
解：（1）当2n ≥时，()2
21121n n n a S S n n n -=-=--=-，
在2
n S n =中，令1n =，则111a S ==，满足21n a n =-， 故数列{}n a 的通项公式是*
21,n a n n N =-∈；
（2）因为一般项
()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫
==- ⎪-+-+⎝⎭
， 所以
1223
1111111111
111233557
212121
n n n
a a a a a a n n n +⎛⎫+++
=-+-+-++
-= ⎪
-++⎝⎭ 11223
18
111
log n n a a a a a a λ++++
≥对任意*n N ∈恒成立，
也就是18
log 21n n λ≤
+对任意*n N ∈恒成立，1min 8
log 21n n λ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭， 因为
121111*********n n n n n +-⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭是增函数，其最小值是11112213
⎛⎫-= ⎪+⎝⎭， 于是1
8
1log 3λ≤，12λ≥.故实数λ的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】
数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
24．（1）1
12n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭
；（2）n T =3
182-+-
n n .
【分析】
（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥，及11a S =确定数列{}n a 是等比数列，从而可得通项公式；
（2）用分组求和法求和． 【详解】
解：（1）当1n =时，112S a =-，得11a =. 当2n ≥时，由2n n S a =-，① 得112n n S a --=-，②
①-②，得12n n a a -=，又110a =≠，∴0n a ≠，∴
()11
22
n n a n a -=≥， ∴{}n a 是等比数列，∴1
12n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭
（2）由1
12n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则1
141412-⎛⎫=+=⨯+ ⎪⎝⎭n n n c a ，
则123n n T c c c c =+++
+()1234n a a a a n =+++
++
3481212
111
2-=⨯+=+---
n n n n ．
【点睛】
本题考查求等比数列的通项公式，分组（并项）求和法求和．数列求和的常用方法： （1）公式法：（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒序相加法．
25．（1）2n
n a =；1n b n =+；（2）21
123
+-
--n n .
【分析】
（1）根据1418a a +=， 2314a a a a =⋅⋅，利用等比数列通项公式的基本运算求解n a ，根
据212n S n =3
2n +，利用数列通项与前n 项和的关系11,1,2n n
n S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解n b .
（2）由（1）得到n c ()
()
1211
2223n n n n ++=-
-+-+，再利用裂项相消法求解.
【详解】 （1）
2314a a a a =⋅⋅，
14,a a ∴是方程218320x x -+=的两根，
又
41a a >，
所以12a =，416a =
34
1
8a q a ∴=
=， 2q ∴=
112n n n a a q -∴=⋅=
当2n ≥时，()()22111112223213n n n b S S n n n n n -⎡⎤
=-=
+--+-=+⎢⎥⎣⎦
， 又1n =时，112b S ==符合， 所以1n b n =+ （2）()()111221
n n n n n n a c a b a b +++++-=
-⋅-
()()112
21
2223n n n n n +++-=⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦ ()
()
1211
2223n n n n ++=
-
-+-+，
所以()
()
2334121111
11
23242425
2223n n n T n n ++=
-+-++
-
-----+-+
()
2211
2323+=
---+n n 2
1
123n n +=-
-- 【点睛】 方法点睛：求数列的前n 项和的方法：
(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122
n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()
11,11,11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩； (2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.
(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．
26．（1）证明见解析；1112n n a n -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
；（2）16
m <． 【分析】 (1)根据数列的递推关系和等比数列的定义及通项公式可求出通项公式；
(2)利用裂项相消法求出数列的和，进一步利用恒成立问题的应用和函数单调性求出参数的范围．
【详解】
解：分别令12n =、，代入条件，得121
212421a A B a a A B =++⎧⎨+=++⎩ 又11a =，232
a =，解得12A =，12B =． ∴211122
n n a S n n +=++， 2n ≥时，21111(1)(1)122
n n a S n n --+=-+-+， ∴1112(21)22n n a a n n --=-+=， ∴12n n a a n -=-，∵11110a -+=≠， ∴1111(1)12222
n n n n a n a n a n a n --+-+==--+-+（常数）． ∴{}1n a n -+为等比数列且首项为1，公比为12
，
∴1112n n a n -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
，∴1112n n a n -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． （2）1211
n n n b a n --+== ∴()()()()11112111121212121n n n n n n n n b b b ---+==-++++++ ∴0112231111111112121212121212121n n n T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11221
n =-+ 又∵n T 在*n N ∈递增， ∴1n =时，()111236n min T =
-=． ∴16
m <
． 【点睛】 (1)证明等差（比）数列的方法：定义法和等差（比）中项法；
(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．。