【人教版】2012高中数学《课外练与悟》课件10-1

O 对称，若E→M·F→N＝0，求|MN|的最小值．
• [分析] 本小题主要考查椭圆、基本不等式等 知识，考查数形结合、化归与转化、函数与 方程的数学思想方法，以及推理论证能力和 运算求解能力．
[解] (1)设点 P(x，y)，
依题意，有
xx－－2222＋ y2＝
2 2.
整理，得x42＋y22＝1.
(1)求椭圆 C 的焦距； (2)如果A→F2＝2F→2B，求椭圆 C 的方程．
[解] (1)设焦距为 2c，由已知可得 F1 到直线 l 的距离 3 c＝2 3，故 c＝2.
所以椭圆 C 的焦距为 4. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知 y1＜0，y2＞0， 直线 l 的方程为 y＝ 3(x－2)．
标准 方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
bx22＋ay22＝1(a>b>0)
图形
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
性
对称性 质
关于 x、y 轴对称，关于原点成中心对称
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b)
2．椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对 称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏，要深刻理 解椭圆中的几何量 a，b，c，e，ac2等之间的关系，并能熟练 地应用．
3．注意椭圆几何性质的挖掘 (1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶 点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相 互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为 a－c)，过焦点垂直
y＝ 3x－2， 联立ax22＋by22＝1
得(3a2＋b2)y2＋4 3·b2y－3b4＝0.
－ 解得 y1＝
33ab22＋2＋ b2 2a，
－ y2＝
3b22－2a 3a2＋b2 .
因为A→F2＝2F→2B，所以－y1＝2y2.
即
33ba22＋2＋b22 a＝2·－
3b22－2a 3a2＋b2 .
A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴长|A1A2|＝2a，短轴长|B1B2|＝2b
离心率
性质 准线 a，b，c 的关系
e＝ac，(e＜1)
x＝±ac2
y＝±ac2
a>b>0 a2－b2＝c2
1．(2009·广州一模)椭圆1x62 ＋y42＝1 的离心率为________．
[答案] x92＋y52＝1(y≠0)
P 为椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 上任一点，F1、F2 为左、右 焦点，如右图所示．
(1)若 PF1 的中点为 M，求证：|MO|＝5－12|PF1|； (2)若∠F1PF2＝60°，求|PF1|·|PF2|的值．
[解] (1)在△F1PF2 中，MO 为中位线， ∴|MO|＝|P2F2|＝2a－2|PF1| ＝a－|P2F1|＝5－21|PF1|. (2)∵|PF1|＋|PF2|＝10， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝100－2|PF1|·|PF2|. 在△PF1F2 中，cos60°＝|PF1|22＋|P|PFF1|·2||P2－F2||F1F2|2 ∴|PF1|·|PF2|＝100－2|PF1|·|PF2|－36. ∴|PF1|·|PF2|＝634.
所以动点 P 的轨迹 C 的方程为x42＋y22＝1.
(2)∵点 E 与点 F 关于原点 O 对称． ∴点 E 的坐标为－ 2，0. ∵M、N 是直线 l 上的两个点， ∴可设 M2 2，y1，N2 2，y2(不妨设 y1＞y2)． ∵E→M·F→N＝0， ∴(3 2，y1)·( 2，y2)＝0.
• 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上， 长轴是短轴的3倍且过点P(3,2)，求椭圆的方 程．
• [分析] 求椭圆的标准方程，关键确定其类型， 根据已知条件求出a、b.
[解] (1)当焦点在 x 轴上时，设所求椭圆的方程为
ax22＋by22＝1(a>b>0)
2a＝3·2b 则a92＋b42＝1
(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三 角形，其中 a 是斜边，a2＝b2＋c2.
4．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点， 对称、弦长、垂直等知识．
(2)设椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)上任意一点 P(x，y)，则当 x＝0 时，|OP|有最小值 b，这时，P 在短轴端点处；当 x＝a 时，|OP|有最大值 a，这时 P 在长轴端点处．
(3)椭圆上任意一点 P(x，y)(y≠0)与两焦点 F1(－c,0)， F2(c,0)构成的△PF1F2 称为焦点三角形，其周长为 2(a＋c)．
[答案]
3 2
2．已知 F1、F2 为椭圆2x52 ＋y92＝1 的两个焦点，过 F1 的 直线交椭圆于 A、B 两点，若|F2A|＋|F1B|＝12，则|AB|＝ ________.
[解析] |F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20， ∴|AB|＝20－12＝8.
[答案] 8
• 3．(2010·广东，7)若一个椭圆长轴的长度、 短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的 离心率是( )
• 1．圆锥曲线 • (1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线
在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． • (2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标
准方程及简单性质． • (3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，
知道他们的简单几何性质． • (4)了解圆锥曲线的简单应用．
• 课程标准对解析几何作了适当调整，圆锥曲 线为选修内容，近年广东高考，一般情况下
解得ab22＝ ＝455
此时所求的椭圆方程为
4x52 ＋y52＝1.
(2)当焦点在 y 轴上时，设所求椭圆方程为
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
2a＝3·2b 则a42＋b时所求椭圆的方程为98x52＋8y52 ＝1 故所求的椭圆方程为4x52 ＋y52＝1 或98x52＋8y52 ＝1.
即 6－y1y2＝0，即 y2＝－y62. 由于 y1＞y2，则 y1＞0，y2＜0， ∴|MN|＝y1－y2＝y1＋y61≥2 y1·y61＝2 6. 当且仅当 y1＝ 6，y2＝－ 6时，等号成立． 故|MN|的最小值为 2 6.
(2010·辽宁，20)设 F1，F2 分别为椭圆 C：ax22＋by22＝1(a ＞b＞0)的左，右焦点，过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60°，F1 到直线 l 的距离为 2 3.
是一道小题和一道解答题，小题是基础题、 大题是一道中档偏难题.
• 1．椭圆的定义
• (1)平面内与两个定点F1、F距2的离之和 常数(大于|F1F2|)的椭圆点的轨迹叫做
为 ．
• (2)根据椭圆的定义，点M在椭圆上的充分必
要
条
件
是
|MF1|＋|MF2|＝2a (2a>|F1F2|)
．
• 2．椭圆的标准方程与几何性质
• [点评与警示] 椭圆的几何性质是解决椭圆问 题的基础，必须牢记，并体会由方程如何推 得相关性质，体会解析几何的思想．
(2010·福建，11)若点 O 和点 F 分别为椭圆x42＋y32＝1 的
中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则O→P·F→P的最大
值为( )
A．2
B．3
C．6
D．8
[解析] 设椭圆上任意一点 P(x0，y0)，则有x402＋y302＝1， 则 y02＝3－34x02，O(0,0)，F(－1,0)，则O→P·F→P＝x0(x0＋1)＋y02 ＝14x02＋x0＋3＝14(x0＋2)2＋2.
• [点评与警示] 在题目没有指明椭圆焦点在哪 一坐标轴上时，应设椭圆的两种标准方程求 解，以防漏解．
• 设A(－2,0)，B(2,0)，△ABC的周长为10， 则动点C的轨迹方程为________．
[解析] ∵|AB|＝4，|AC|＋|CB|＝6(＞4)，由椭圆的定义 知点 C 的轨迹是椭圆，其中 a＝3，c＝2，b＝ 5，但 A、B、 C 不能共线，∴y≠0，∴动点 C 的轨迹方程为：x92＋y52＝ 1(y≠0)．
4
3
A.5
B.5
2
1
C.5
D.5
• [解析] 依题意有2×2b＝2a＋2c，即2b＝a＋ c，所以4b2＝a2＋2ac＋c2.∵b2＝a2－c2， ∴4a2－4c2＝a2＋2ac＋c2，∴3a2－2ac－5c2＝ 0，两边同除以a2，即有5e2＋2e－3＝0，解得 e＝或e＝－1(舍)．故选B.
• [答案] B
∵|x0|≤2，∴当 x0＝2 时，O→P·F→P取得最大值为 6，故选 C.
[答案] C
(2010·广州一模)已知动点 P 到定点 F( 2，0)的
距离与点 P 到定直线 l：x＝2
2的距离之比为
2 2.
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；
(2)设 M、N 是直线 l 上的两个点，点 E 与点 F 关于原点
得 a＝3.而 a2－b2＝4，所以 b＝ 5. 故椭圆 C 的方程为x92＋y52＝1.
1．求椭圆标准方程的方法 求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数 法(先定性，后定型，再定参)． 当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设 方程为xm2＋yn2＝1(m＞0，n＞0 且 m≠n)，可以避免讨论和繁杂的 计算，也可以设为 Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0 且 A≠B)，这种形 式在解题中更简便．