2023~2024学年人教A版(2019)选择性必修第一册《3.1.1 椭圆及其标准方程》易错题集二

2023~2024学年人教A 版（2019）选择性必修第一册《3.1.1 椭圆及其标准方程》易错题集二考试总分：67 分 考试时间： 120 分钟
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;
卷I （选择题）
一、 选择题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）
1. 若，，是椭圆上的动点，则的最小值为( )A.B.C.D.
2. 平面内已知点，，若动点满足，则点的轨迹是（ ）
A.线段
B.
双曲线C.抛物线
D.椭圆
3. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围为( )
A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）
4. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点，在轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点作C (−,0)3–√D (,0)3–√M +=1x 24y 2+1|MC|1|MD|
1
2
4
14
A (−3，0)
B (3，0)P |PA|+|PB|=6P +k =2x 2y 2y k (0,+∞)
(0,2)
(1,+∞)
(0,1)
C F 1F 2y 26–√3
F 1C Q ()
轴的垂线交椭圆于，两点，则下列说法正确的是 A.椭圆的方程为B.椭圆的方程为C.D.的周长为
5. 设椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，是椭圆上的动点（异于，），则下列结论正确的是( )
A.B.的面积的最大值为C.离心率D.与，连线的斜率之积为定值
6. 已知为椭圆 的左焦点，，为的两个顶点．若，则的方程为( )
A.B.C.D.卷II （非选择题）
三、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）
y C P Q ()
C +=1y 23
x 2C +=1x 23
y 2|PQ|=23–√3
△P Q F 2
43–√C :+=1x 24y 23F 1F 2A 1A 2P C A 1A 2|P |+|P |=4
F 1F 2△PF 1F 23
–√e =3–√2
P A 1A 2−
34
F E ：+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2A B E |AF|=5,|BF|=3E +=1x 29y 25
+=1x 225y 216
+=1x 225y 221
+=1x 216y 215
7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，则的面积为________．
8. 已知双曲线，的左焦点为，圆的半径长为，且圆与的一条渐近线交于，两点，若的面积为，则的离心率为________．
9. 设，分别是椭圆的左、右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则的值为________.
四、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）
10. 22已知椭圆的方程为，左、右焦点分别是，若椭圆上的点
到的距离和等于写出椭圆的方程和焦点坐标：是否存在过定点的直线与椭圆交于不同的两点，，且以线段为直径的圆过原点（如果存在，求出直线的方程．如果不存在，请说明理由．
11. 设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，求的面积．
12. 已知一圆的圆心为，且该圆被直线截得的弦长是，求该圆的方程和过弦两端点的切线的方程．
13. 已知椭圆的离心率为，点是椭圆上一点，且点到两焦点的距离之和为求椭圆的方程；过原点作垂直的射线，交椭圆于点，求证：原点到直线的距离是定值．
+=1x 23y 22F 1F 2F 145∘l A B △ABF 2C:−=1(a >0x 2a 2y 2b 2b >0)F F a F C A B △ABF 3–√4
a 2C F 1F 2C :+=1(a >0)x 2a 2y 22F 2x C A B △ABF 1a C +=1(a >
b >0)x 2a 3y 2b 2F,F 2C p (1,)3–√2
,F 1F 2 4.(1)C (2)M (0,2)1C ∘A B AB 1F 1F 2+=1x 29y 24P |P |∶|P |=2∶1F 1F 2△P F 1F 2C C(2,−1)l :x −y −1=022–√C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 223
M C M 6.
(1)C (2)O OM N O MN
参考答案与试题解析
2023~2024学年人教A 版（2019）选择性必修第一册《3.1.1 椭圆及其标准方程》易错题集二
一、 选择题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）
1.
【答案】
A
【考点】
椭圆的定义
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
由题设条件知椭圆的焦点即为，两点，根据椭圆的定义得出为定值，
从而利用基本不等式得到的最小值．
【解答】
解：由椭圆，可得．
所以，所以，是该椭圆的两焦点．
令，，则，
所以．
因为，
所以，
当且仅当时，等号成立．
故的最小值为．
故选．
2.
【答案】
A
【考点】+=1x 24y 2C D |MC|+|MD|
+1|MC|1|MD|+=1x 24
y 2=4−1=3c 2c =3–√C D |MC|=r 1|MD|=r 2+=2a =4r 1
r 2+=+==1|MC|1|MD|1
r 11r 2+r 1r 2r 1r 24r 1r 2
≤(=
4r 1r 2+r 1r 22)2+=≥11|MC|1|MD|4
r 1r 2
==2r 1r 2+1|MC|1|MD|1A
椭圆的标准方程
椭圆的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
D
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的定义
【解析】
利用椭圆的定义求解．
【解答】
解：∵表示焦点在轴上的椭圆，
把转化为椭圆的标准方程，得，∴，解得．∴实数的取值范围是．
故选．
二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）
4.
【答案】
A,C,D
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
椭圆的应用
椭圆的定义
+k =2x 2y 2y +k =2x 2y 2+=1x 22y 22k >22k 0<k <1k (0,1)D
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由已知得， .又 ，
解得 ，
∴椭圆方程为 ，故正确，错误；
如图：
∴，故正确；的周长为 ，故正确.
故选5.
【答案】
A,B,D
【考点】
椭圆的定义
椭圆的离心率
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意知，，所以正确；当在短轴端点时， 面积最大，此时面积为，所以正确； ，，所以离心率，错误；设，由题意知，，
，，2b =2,b =1,=c a 6–√3=+a 2b 2c 2=3a 2+=1x 2y 23A B |PQ|===2b 2a 23
–√23–√3C △P O F 24a =43–√D ACD.a =2|P |+|P |=2a =4F 1F 2A P PF 1F 2×2×=123–
√3–
√B a =2c ==14−3−−−−√e ==c a 12C P(,)x 0y 0(−2,0)A 1(2,0)A 2∵+=1x 24y 23∴=(4−)y 2034
x 20==−
(4−)3
，正确．故选.
6.
【答案】
A,C,D
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
根据题意可得，求得的值，然后求得的值，进而即可得到，从而即可求得结果.
【解答】
解：当为右顶点，为左顶点时，
根据题意可得，
则，
∵，
∴，
∴，∴的方程为；当为右顶点，为上顶点或下顶点时，
可知，
∵，，
∴，
∴的方程为；当为左顶点，为上顶点或下顶点时，
可知，
∴，
解得，
∴，
∴的方程为.故选.
三、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）
7.
【答案】
【考点】
椭圆的定义
∴⋅==−y 0−2x 0y 0+2x 0(4−)34
x 20−4
x 2034D ABD |AF|+|BF|=5+3=8=2a
a c
b 2A B |AF|+|BF|=5+3=8=2a
a =43+c =a c =1=−=15
b 2a 2
c 2E +=1x 216y 215A B |BF|=a =32a =2|BF|=6|AF|=5=−=5b 2a 222E +=1x 29y 25B A |AF|=a =52c +|BF|+|BF|=2a =10c =2=−=21b 2a 2c 2E +=1x 225y 221ACD
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
或【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
点到直线的距离公式
【解析】
无
【解答】
解：点到渐近线的距离为．的面积为，即，故或．当时，，此时的离心率；当时，，此时的离心率，即的离心率为或．故答案为：或．9.
5–√27–√2
F (−c,0)bx −ay =0d ==b |bc|+b 2a 2
−−−−−−√△ABF S =|AF|⋅|BF|sin ∠AFB 12=×sin ∠AFB =12a 23–√4a 2sin ∠AFB =3–√2∠AFB =60∘120∘∠AFB =60∘=sin =b a 60∘3–√2C e ==1+b 2a 2−−−−−−√7–√2∠AFB =120∘=sin =b a 30∘12C e ==1+b 2a 2
−−−−−−√5–√2C 5–√27–√25–√27–√2
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的定义
【解析】
易知，即，求得 . 【解答】
解：由椭圆定义可知，，
，
∴，
∵为正三角形，∴，且，则，解得 .
故答案为：.四、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）
10.
【答案】
由题意得：，得，
又点在椭圆上，，解得，椭圆的方程为，焦点，．
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
由题意得到椭圆的半长轴长，把点的坐标代入椭圆方程求得，则椭圆方程可求；
【解答】
3
–√=A F 1F 23–√F 22=×
−2a 2−−−−−√3–√2a 3a =3–√|A|+|A|=2a F 1F 2|B|+|B|=2a F 1F 2|A|+|AB|+|B|=4a F 1F 1△ABF 1AB =
a 43=A F 1F 23–√F 22=×−2a 2−−−−−√3–√2a 3a =3–√3–√(1)2a =4a =2p (1,)3–√2+=1x 2a 2y 2
b 2∴+=11434b 2
=1b 2∴C +=1x 24y 2(−,0)F 13–√(,0)F 23–√(1)P b (1)
解：由题意得：，得，
又点在椭圆上，，解得，椭圆的方程为，焦点，． 11.
【答案】
【考点】
椭圆的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
解：设圆的方程是，
则弦长，
其中为圆心到直线的距离，∴，则，
∴圆的方程为；
如图，
联立，解得或．∴弦的两个端点为，，
由图可知，过点的切线方程为；
过点的切线方程为．
【考点】
圆的切线方程
【解析】
设圆的方程是，利用圆的半径、弦心距及弦长的关系求得，则圆的方程可求；画出图形，联立直线方程和圆的方程，求出弦的两端点的坐标，即可得到过弦两端点的切线的方程．
【解答】
(1)2a =4a =2p (1,)3–√2+=1x 2a 2y 2
b 2∴+=11434b 2
=1b 2∴C +=1x 24y 2(−,0)F 13–√(,0)F 23–√C (x −2+(y +1=(r >0))2)2r 2P =2−r 2d 2−−−−−−√d x −y −1=0d ==|2×1+1−1|2–√2–√P =2=2−(r 22–√)2−−−−−−−−−√2–√=4r 2(x −2+(y +1=4)2)2{y =x −1(x −2+(y +1=4)2)2{x =0y =−1{x =2y =1
(0,−1)(2,1)(0,−1)x =0(2,1)y =1C (x −2+(y +1=(r >0))2)2r 2r (x −2+(y +1=(r >0))2)22
解：设圆的方程是，
则弦长，
其中为圆心到直线的距离，∴，则，
∴圆的方程为；
如图，
联立，解得或．∴弦的两个端点为，，
由图可知，过点的切线方程为；
过点的切线方程为．
13.
【答案】
解：由题意得 ，解得，故椭圆的方程是．设，①若直线与轴垂直，由对称性可知 ，
将点，代入椭圆方程中，解得，此时，原点到直线的距离，②若直线不与轴垂直，设直线的方程是由，消去整理得，故，，又，则，
即，
故，整理得，即原点到直线的距离，综上，原点到直线的距离为定值．
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C (x −2+(y +1=(r >0))2)2r 2P =2−r 2d 2−−−−−−√d x −y −1=0d ==|2×1+1−1|2–√2–√P =2=2−(r 22–√)2−−−−−−−−−√2–√=4r 2(x −2+(y +1=4)2)2{y =x −1(x −2+(y +1=4)2)2{x =0y =−1{x =2y =1
(0,−1)(2,1)(0,−1)x =0(2,1)y =1(1) =c a 232a =6=+a 2b 2c
2=9,=5a 2b 2C +=1x 29y 25(2)M (x,y)MN x ||=||x 1y 1M (,)x 1y 1||=x 1370−−√14O MN 31470−−√MN x MN y =kx +m,N (,),
x 1y 2 y =kx +m
++y x 29y 25y (9+5)+18kmx +9−45=0k 2x 2m 2+=−x 2x 118km 9+5k 2=x 1x 29−45m 29+5k 2⋅=0OM −→−ON −→−++0x 1x 2y 1y 2(+1)+km(+)+=0k 2x 1x 2x 1x 2m 2(+1)+km(−)k 29−45m 29+5k 218km 9+5k 245+45=14k 2m 2O MN d ===|m|+1
k 2−−−−−√4514−−−√31470−−√O MN 2
解：由题意得 ，解得，故椭圆的方程是．设，①若直线与轴垂直，由对称性可知 ，
将点，代入椭圆方程中，解得，此时，原点到直线的距离，②若直线不与轴垂直，设直线的方程是由，消去整理得，故，，又，则，
即，故，整理得，
即原点到直线的距离，
综上，原点到直线的距离为定值．(1) =c a 232a =6=+a 2b 2c
2=9,=5a 2b 2C +=1x 29y 25(2)M (x,y)MN x ||=||x 1y 1M (,)x 1y 1||=x 1370−−√14O MN 31470−−√MN x MN y =kx +m,N (,),
x 1y 2 y =kx +m
++y x 29y 25y (9+5)+
18kmx +9−45=0k 2x 2m 2+=−x 2x 118km 9+5k 2=x 1x 29−45
m 2
9+5k 2⋅=0OM −→−ON −→−++0x 1x 2y 1y 2(+1)+km(+)+=0k 2x 1x 2x 1x 2m 2(+1)+km(−)k 29−45
m 29+5k 218km
9+5k 245+45=14k 2m 2O MN d ===|m|+1k 2−−−−−√4514−−−√31470−−√O MN。