广东省惠州市惠东燕岭学校2017-2018学年数学等比数列(共28张PPT)

列
a4 a3
qa4
a3qa1q3
……
由此归纳等差数列
由此归纳等比数列的通项公式可得：
的通项公式可得：
ana1(n1)d
an a1qn1
3、等比数列的通项公式：
法二：迭加法
等 差 数
a2 a1 d
a3a2 d
类比
列 a4 a3 d ……
+）an an1 d
a2 q
·
1·
0 1234 n
an
等比数 an列 122n的图:象
10
9 8 7
an

1 2

2n
6 5 4 3
等比数列图象 是函数 y 1 2x
2
图象上一群孤立的点
2
1
O 1234567
n
等差数列
等差数列通项公式:
a n = a 1 + ( n－1 ) d，n ∈N +
①函数观点； 一次函数形式：
A．5 B．10 C．15 D．20
【解题关键】∵{an}是等比数列，∴a3 是 a2 与 a4 的等 比中项，a5 是 a4 与 a6 的等比中项，因此条件式可以转 化为 a3 与 a5 的关系式．
例1：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年
剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多
a n = pn + q，n ∈N +
d=p a1=p+q ②方程思想. 方程中有四个量，知 三求一，这是公式最 简单的应用.
等比数列
等比数列通项公式: a n= a 1 q n－1
(a 1 ≠0 且 q ≠0,n ∈N +)
①函数观点； 指数函数形式：
a n= b c n q=c a1=bc
②方程思想.
方程中有四个量，知 三求一，这是公式最 简单的应用.
【即时练习】
已知等比数列前 3 项为12，－14，18，则其第 8 项是 __－_2_15_6___．
【解析】∵a1＝12，a2＝a1q＝12q＝－14， ∴q＝－12，∴a8＝a1q7＝12×(－12)7＝－2516.
等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后， 这三个数就会成为一个等比数列：
1 11
1 , 2 , 4 , 8 , ···.
③计算机病毒的传播
病毒制造者
邮件接收 被感染计算
者
机20台
(第一轮)
•••
第 二 轮
被感染计算 机202台
每一轮感染的计算机数构成的数列是：
1 , 20 , 202 , 203 , ···.
④ 银行另一种支付利息的方式——复利 计算本利和的公式是： 本利和 = 本金×（1+利率）存期。 现在存入银行10000元钱，年利率是1.98%， 那么按照复利，5年内各年末的本利和组成了 下面的数列：
叫做等比数列.
这个常数叫做等比数列的公比.公比通常用字母
q(q≠0)表示.
数学符号表示：
或
an q
(n 2，n N* )
an1
(判断一个数列是否
an1 q为等(n比数1列, n的依N据*) )
an
注意：
1.公比是等比数列从第2项起，每一项与它
的前一项的比,不能颠倒.
2.对于一个给定的等比数列，它的公比是
（1）1，±3 ，9
（2）-1，±2 ，-4
（3）-12，±6 ，-3 （4）1，±1 ，1 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成
等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
G ab
注意：若a，b异号则无等比中项；若a，b同
号则有两个等比中项
【即时练习】 已知{an}是等比数列，且 an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝ 25，那么 a3＋a5＝( A )
2.4 等比数列
（第一课时）
复习:
1、等差数列:
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数就 叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）.
数学表达式: anan1d ( n ≥ 2，n ∈N *)
2、等差中项：
如果三个数 a，A，b 成等差数列，那么A叫做a与b的等差中 项. （2A= a+b ）
④ 100001.0198, 100001.01982, 100001.01983,
100001.01984, 100001.01985.
共同特点：从第二项起，每一项与它前面一项的 比等于同一个常数.
等比数列的定义:
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项
与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列
同一个常数。
思考： 类比等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出
公比是q的等比数列{ a n } 的通项公式吗？
3、等比数列的通项公式：
法一：递推法
等 a2 a1d
等
a2 a1
qa2
a1q
差 数 a3 a12d 类比
比 数
a3 a2
qa3a2qa1q2
列 a4 a13d ……
3、等差数列的通项公式: ana1(n1)d
引例：
① 下图是某种细胞分裂的模型：
细胞分裂个数可以组成下面的数列：
1 ， 2 ，4 ，8 ， ···.
②“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 现代语言 ：一尺长的木棒，每天取它的一 半，永远也取不完。
如果把“一尺之棰”看成单位“1”， 那么，得到的数列是：
非零的 常数列
说明：(1) 因为等比数列每一项都可能作分母，
所以每一项均不为0，因此 q≠0 . (2) 当q<0时，数列是摆动数列.
当q>0时，数列单调性不定.
an1 an

q
当 q>1，a1>0，或 0<q<1，a1<0 时，数列是递增数列. 当 q>1，a1<0，或 0<q<1，a1>0 时，数列是递减数列.
两边取对数,得 n
0.84 n
解得
n lg 0.84 = lg 0.5， 当 nn=≈？4. 时，0.84 n = 0.5
答:的前5项，并建立数列 的递推公式，这个数列是等比数 列吗？
开始
A=1
n=1
输出A
n=n+1
AA==212 AA 否
ana1qn 1(a1,q0)
思考:
(1)在等比数列 an 中, a n 与 a m (n>m)之间有什么关系?
(2)在等比数列 an 中，若m,n,r,s∈ N *，且m+n=r+s， 那么，a m 、a n 、a r 、a s 这些项与项之间满足什么等
量关系？
作业： 课本P53习题2.4[A组]的 第1、2题。
(2)公比q能不能是1？ 能
2.用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是 ① ④ ⑥ .
① 1，-1，1，…，(-1)n+√1 ； ②1，2，4，6×…；
③a，a，a，…，a×； ⑤ m,2m,4m2,8m3,..×.
④已知a1=2，an=√3an+1 ；
3⑥.什2么a，样2的a，数2a列，既…是，等2a差. √数列又是等比数列？

a
1
=
1，
1
a n 2 a n1 ( n 1).
由于an =1，因此这个数列是等比数列， an1 2
其通项公式是an
（1） n1. 2
例3：一个等比数列的第3项和第4项分别是12和
18，求它的第1项和第2项。
解：设首项为a1，公比为q，则有
a1q 2 12

当q=1时，数列是常数数列.
思考2：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,
则通项公式是：＿an＿＿2n＿-1 ＿＿
an 8
·
上式还可以写成
an
1 2n 2
7 6
可见，这个等比数列
5
4
的图象都在函数
y

1 2

2x
3
·
的图象上，如右图所示。
2
等 比 数 列
a1
a3 q a2
a4 q
…a 3 …
×） a n q
a n1
迭乘法
共n – 1 项
ana1(n1)d
a n q n1 a1
3、等比数列的通项公式：
an a1qn1
（n∈N﹡,q≠0）
概念辨析
1.已知等比数列{ an }： (1) an 能不能是零？ 不能
100001.0198, 100001.01982, 100001.01983, 100001.01984, 100001.01985.
观察:这四个数列有什么共同特点？
① 1 , 2 , 4 , 8 , ···.
②
1,
1 2
1
,4
1
,8
,
··· .
③ 1 , 20 , 202 , 203 , ···.
长(精确到1年) ？
放射性物质衰变到
解:设这种物质最初分的析质: 量是1,经过n年,剩留量原是来a的n.一半所需时
由条件可得,数经列过{a1n年}是剩一留个量等: 比0.8数4列,其中间称为这种物质的
a1 =2 0.84，q = 00.8.844，2
半衰期.
设a n = 0.5，则 3
0.843
0·.·8·4 n = 0.5， ···
n＞5? 是
结束
【 解 析 】 若 将 打 印 出 来 的 数 依 次 记 为 a 1 ( 即 A ) , a 2 , a 3 , . 由图可知，
a1= 1
a2= a1
1 2
=
1， 2
a3= a2
1 2
=
1， 4
a4= a3
1 2
=
1， 8
a5= a4
1 2
=
1 16
.
于是，可得递推公式
a
1
q
3

18
解得： 所以
q

3 2,a1
16 3
a2 = 8
分析:
a3 12 a4 18
a1q2 12
a1q3 18
课堂小结
1、理解与掌握等比数列的定义及数学表达式：
an q(q 0) ，（n ≥ 2，n ∈N）； an1
2、掌握等比中项的定义. 3、要会推导等比数列的通项公式：