无为县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

无为县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知在平面直角坐标系xOy 中，点),0(n A -，),0(n B （0>n ）.命题p ：若存在点P 在圆
1)1()3(22=-++y x 上，使得2
π
=
∠APB ，则31≤≤n ；命题：函数x x
x f 3log 4
)(-=
在区间 )4,3(内没有零点.下列命题为真命题的是（ ）
A ．)(q p ⌝∧
B ．q p ∧
C ．q p ∧⌝)(
D ．q p ∨⌝)( 2． 设方程|x 2+3x ﹣3|=a 的解的个数为m ，则m 不可能等于（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3． 命题“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2＞bc 2则a ＞b ”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
4． 已知22(0)()|log |(0)
x x f x x x ⎧≤=⎨
>⎩，则方程[()]2f f x =的根的个数是（ ）
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个 5． 若集合A={x|1＜x ＜3}，B={x|x ＞2}，则A ∩B=（ ） A ．{x|2＜x ＜3} B ．{x|1＜x ＜3} C ．{x|1＜x ＜2} D ．{x|x ＞1}
6． 阅读如右图所示的程序框图，若输入0.45a =，则输出的k 值是（ ） （A ） 3 （ B ） 4 （C ） 5 （D ） 6
7． 若f （x ）=sin （2x+θ），则“f （x ）的图象关于
x=对称”是“θ=
﹣
”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
8． 某工厂生产某种产品的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）有如表几组样本数据：
0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ）
A ． =0.7x+0.35
B ． =0.7x+1
C ． =0.7x+2.05
D ． =0.7x+0.45
9． 若函数y=|x|（1﹣x ）在区间A 上是增函数，那么区间A 最大为（ ） A ．（﹣∞，0） B
． C ．[0，+∞） D
．
10．已知f （x ），g （x ）都是R 上的奇函数，f （x ）＞0的解集为（a 2，b ），g （x ）＞0
的解集为（，），
且a 2
＜，则f （x ）g （x ）＞0的解集为（ ）
A
．（﹣，﹣a 2）∪（a 2
，） B
．（﹣，a 2）∪（﹣a 2
，） C
．（﹣，﹣a 2）∪（a 2，b ）
D ．（﹣b ，﹣a 2）∪（a 2
，）
11．在△ABC 中，a=1，b=4，C=60°，则边长c=（ ） A ．13
B
．
C
．
D ．21
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
二、填空题
13．设复数z 满足z （2﹣3i ）=6+4i （i 为虚数单位），则z 的模为 ．
14．已知数列
的前项和是
, 则数列的通项
__________
15．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 ．
16 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 升．
17．设,y x 满足约束条件2110y x
x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，则3z x y =+的最大值是____________．
18．已知数列{a n }满足a n+1=e+a n （n ∈N *，e=2.71828）且a 3=4e ，则a 2015= ．
三、解答题
19．某市出租车的计价标准是4km以内10元（含4km），超过4km且不超过18km的部分1.5元/km，超出18km的部分2元/km．
（1）如果不计等待时间的费用，建立车费y元与行车里程x km的函数关系式；
（2）如果某人乘车行驶了30km，他要付多少车费？
20．已知S n为数列{a n}的前n项和，且满足S n=2a n﹣n2+3n+2（n∈N*）
（Ⅰ）求证：数列{a n+2n}是等比数列；
（Ⅱ）设b n=a n sinπ，求数列{b n}的前n项和；
（Ⅲ）设C n=﹣，数列{C n}的前n项和为P n，求证：P n＜．
21．已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）．
（Ⅰ）若a=﹣2，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，求正整数k的值．（参考数据：ln2=0.6931，ln3=1.0986）
22．（本小题满分12分）已知()()2,1,0,2A B 且过点()1,1P -的直线与线段AB 有公共点, 求直 线的斜率的取值范围.
23．已知数列{a n }的首项a 1=2，且满足a n+1=2a n +3•2n+1，（n ∈N *）． （1）设b n =
，证明数列{b n }是等差数列；
（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．
24．已知曲线C 1的参数方程为
曲线C 2的极坐标方程为ρ=2
cos （θ﹣
），以极点为坐标
原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线C 2的直角坐标方程；
（2）求曲线C 2上的动点M 到直线C 1的距离的最大值．
无为县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A 【解析】
试题分析：命题p ：2
π
=
∠APB ,则以AB 为直径的圆必与圆()
()1132
2
=-++y x 有公共点,所以
121+≤≤-n n ,解得31≤≤n ,因此,命题p 是真命题.命题：函数()x
x
x f 3log 4-=
，()0log 144
3<-=f ,()0log 3
4
333>-=
f ,且()x f 在[]4,3上是连续不断的曲线,所以函数()x f 在区间()4,3内有零点，因此,命题是假命题.因此只有)(q p ⌝∧为真命题．故选A ．
考点：复合命题的真假．
【方法点晴】本题考查命题的真假判断,命题的“或”、“且”及“非”的运算性质,同时也考查两圆的位置关系和函数零点存在定理,属于综合题.由于点P 满足2
π
=
∠APB ,因此在以AB 为直径的圆上,又点P 在圆
1)1()3(22=-++y x 上，因此P 为两圆的交点,利用圆心距介于两圆半径差与和之间,求出的范围.函数
x x
x f 3log 4
)(-=是单调函数,利用零点存在性定理判断出两端点异号,因此存在零点.
2． 【答案】A
【解析】解：方程|x 2+3x ﹣3|=a 的解的个数可化为函数y=|x 2
+3x ﹣3|与y=a 的图象的交点的个数，
作函数y=|x 2
+3x ﹣3|与y=a 的图象如下，
，
结合图象可知， m 的可能值有2，3，4； 故选A ．
3． 【答案】C
【解析】解：命题“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2＞bc 2，则c 2＞0，则a ＞b ”为真命题； 故其逆否命题也为真命题；
其逆命题为“设a 、b 、c ∈R ，若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”在c=0时不成立，故为假命题 故其否命题也为假命题
故原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2个 故选C
【点评】本题考查的知识点是四种命题的真假判断，不等式的基本性质，其中熟练掌握互为逆否的两个命题真假性相同，是解答的关键．
4． 【答案】C
【解析】由[()]2f f x =，设f （A ）=2,则f （x ）=A,则2log 2x =，则A=4或A=1
4
，作出f （x ）的图像，由数型结合，当A=
1
4
时3个根，A=4时有两个交点，所以[()]2f f x =的根的个数是5个。

5． 【答案】A
【解析】解：∵A={x|1＜x ＜3}，B={x|x ＞2}， ∴A ∩B={x|2＜x ＜3}， 故选：A ．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
6． 【答案】 D.
【解析】该程序框图计算的是数列前n 项和，其中数列通项为()()
1
2121n a n n =
-+
()()
111
1111335
2121221n S n n n ⎡⎤∴=
+++
=
-⎢⎥⨯⨯-++⎣⎦
9
0.452
n S n n >∴>∴最小值为5时满足
0.45n S >，由程序框图可得k 值是6． 故选D ．
7． 【答案】B
【解析】解：若f （x ）的图象关于x=对称，
则2×
+θ=
+k π，
解得θ=﹣+k π，k ∈Z ，此时θ=﹣
不一定成立，
反之成立，
即“f （x ）的图象关于x=对称”是“θ=﹣”的必要不充分条件，
故选：B
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性是解决本题的关键．
8． 【答案】A
【解析】解：设回归直线方程=0.7x+a ，由样本数据可得， =4.5， =3.5．
因为回归直线经过点（，），所以3.5=0.7×4.5+a ，解得a=0.35．
故选A ．
【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．
9． 【答案】B
【解析】解：y=|x|（1﹣x ）=，
再结合二次函数图象可知
函数y=|x|（1﹣x ）的单调递增区间是：． 故选：B ．
10．【答案】A
【解析】解：∵f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a2，b），g（x）＞0的解集为（，
），且a2＜，
∴f（x）＜0的解集为（﹣b，﹣a2），g（x）＜0的解集为（﹣，﹣），
则不等式f（x）g（x）＞0等价为或，
即a2＜x＜或﹣＜x＜﹣a2，
故不等式的解集为（﹣，﹣a2）∪（a2，），
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的对称性的性质求出f（x）＜0和g（x）＜0的解集是解决本题的关键．
11．【答案】B
【解析】解：∵a=1，b=4，C=60°，
∴由余弦定理可得：c===．
故选：B．
12．【答案】C
【解析】解：∵甲、乙、丙、丁四人的平均环数乙和丙均为8.8环，最大，
甲、乙、丙、丁四人的射击环数的方差中丙最小，
∴丙的射击水平最高且成绩最稳定，
∴从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，
最佳人选是丙．
故选：C．
【点评】本题考查运动会射击项目比赛的最佳人选的确定，是基础题，解题时要认真审题，注意从平均数和方差两个指标进行综合评价．
二、填空题
13．【答案】2．
【解析】解：∵复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（i为虚数单位），
∴z=，∴|z|=
==2，
故答案为：2． 【点评】本题主要考查复数的模的定义，复数求模的方法，利用了两个复数商的模等于被除数的模除以除数的
模，属于基础题．
14．【答案】 【解析】 当时，
当
时，
，
两式相减得：
令得
，所以
答案：
15．【答案】 50π
【解析】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，
所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，
所以球的半径为：
；则这个球的表面积是：
=50π．
故答案为：50π．
16．【答案】 8 升．
【解析】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8． 故答案是：8．
17．【答案】73
【解析】
试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点12,
33A ⎛⎫
⎪⎝⎭
处取得最大值为73.
考点：线性规划．
18．【答案】2016．
【解析】解：由a n+1=e+a n，得a n+1﹣a n=e，
∴数列{a n}是以e为公差的等差数列，
则a1=a3﹣2e=4e﹣2e=2e，
∴a2015=a1+2014e=2e+2014e=2016e．
故答案为：2016e．
【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差数列的通项公式，是基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）依题意得：
当0＜x≤4时，y=10；…（2分）
当4＜x≤18时，y=10+1.5（x﹣4）=1.5x+4…
当x＞18时，y=10+1.5×14+2（x﹣18）=2x﹣5…（8分）
∴…（9分）
（2）x=30，y=2×30﹣5=55…（12分）
【点评】本题考查函数模型的建立，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．20．【答案】
【解析】（I）证明：由S n=2a n﹣n2+3n+2（n∈N*），∴当n≥2时，，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1﹣2n+4，
变形为a n+2n=2[a n﹣1+2（n﹣1）]，当n=1时，a1=S1=2a1﹣1+3+2，解得a1=﹣4，∴a1+2=﹣2，∴数列{a n+2n}是等比数列，首项为﹣2，公比为2；
（II）解：由（I）可得a n=﹣2×2n﹣1﹣2n=﹣2n﹣2n．
∴b n=a n sinπ=﹣（2n+2n），∵==（﹣1）n，
∴b n=（﹣1）n+1（2n+2n）．
设数列{b n}的前n项和为T n．
当n=2k（k∈N*）时，T2k=（2﹣22+23﹣24+…+22k﹣1﹣22k）+2（1﹣2+3﹣4+…+2k﹣1﹣2k）
=﹣2k=﹣n．
当n=2k﹣1时，T2k﹣1=﹣2k﹣（﹣22k﹣4k）=+n+1+2n+1=+n+1．
（III）证明：C n=﹣=，当n≥2时，c n．
∴数列{C n}的前n项和为P n＜==，
当n=1时，c1=成立．
综上可得：∀n∈N*，．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“放缩法”、三角函数的诱导公式、递推式的应用，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．【答案】
【解析】解：（I）a=﹣2时，f（x）=xlnx﹣2x，则f′（x）=lnx﹣1．
令f′（x）=0得x=e，
当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递减区间是（0，e），单调递增区间为（e，+∞）．
（II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，
则xlnx+ax＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，即k（x﹣1）＜xlnx+ax﹣ax+x恒成立，
又x﹣1＞0，则k＜对任意x∈（1，+∞）恒成立，
设h （x ）=，则h ′（x ）=．
设m （x ）=x ﹣lnx ﹣2，则m ′（x ）=1﹣，
∵x ∈（1，+∞），∴m ′（x ）＞0，则m （x ）在（1，+∞）上是增函数．
∵m （1）=﹣1＜0，m （2）=﹣ln2＜0，m （3）=1﹣ln3＜0，m （4）=2﹣ln4＞0，
∴存在x 0∈（3，4），使得m （x 0）=0，
当x ∈（1，x 0）时，m （x ）＜0，即h ′（x ）＜0，
当x ∈（x 0，+∞）时，m （x ）＞0，h ′（x ）＞0，
∴h （x ）在（1，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增，
∴h （x ）的最小值h min （x ）=h （x 0）=．
∵m （x 0）=x 0﹣lnx 0﹣2=0，∴lnx 0=x 0﹣2．∴h （x 0）=
=x 0． ∴k ＜h min （x ）=x 0．
∵3＜x 0＜4，
∴k ≤3．
∴k 的值为1，2，3．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的最值，函数恒成立问题，构造函数求出h （x ）的最小值是解题关键，属于难题．
22．【答案】3k ≤-或2k ≥.
【解析】
试题分析：根据两点的斜率公式，求得2PA k =，3PB k =-，结合图形，即可求解直线的斜率的取值范围. 试题解析：由已知，11212PA k --=
=-，12310
PB k --==-- 所以，由图可知，过点()1,1P -的直线与线段AB 有公共点, 所以直线的斜率的取值范围是:3k ≤-或2k ≥.
考点：直线的斜率公式.
23．【答案】
【解析】解：（1）∵=，
∴数列{b n}是以为首项，3为公差的等差数列．
（2）由（1）可知，
∴①
②
①﹣②得：
，
∴．
【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用定义法和错位相减法是解决本题的关键．24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ），…
即ρ2=2（ρcosθ+ρsinθ），
∴x2+y2﹣2x﹣2y=0，
故C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．…
（Ⅱ）∵曲线C1的参数方程为，
∴C1的直角坐标方程为，
由（Ⅰ）知曲线C2是以（1，1）为圆心的圆，
且圆心到直线C1的距离，…
∴动点M到曲线C1的距离的最大值为．…
【点评】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查点到曲线的距离的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．。