市中区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(1)

市中区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知三棱锥S ABC -外接球的表面积为32π，0
90ABC ∠=，三棱锥S ABC -的三视图如图 所示，则其侧视图的面积的最大值为（ ）
A ．4
B ．
C ．8
D ．
2． 二项式(1)(N )n
x n *
+?的展开式中3
x 项的系数为10，则n =（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10 【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力．
3． 已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是（ ）
A ． =1.23x+4
B ． =1.23x ﹣0.08
C ． =1.23x+0.8
D ． =1.23x+0.08 4． 已知复数z 满足：zi=1+i （i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．﹣i B ．i C ．1 D ．﹣1
5． 一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为
（ ）
（A ） 8
（ B ） 4 （C ） 8
3
（D ）
43
6． “3<-b a ”是“圆056222=++-+a y x y x 关于直线b x y 2+=成轴对称图形”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考查，属于中等难度．
7． 两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（ ）
A ．akm
B ．
akm
C ．2akm
D ．
akm
8． 如果a ＞b ，那么下列不等式中正确的是（ ） A ．
B ．|a|＞|b|
C ．a 2＞b 2
D ．a 3＞b 3
9． 已知偶函数f （x ）满足当x ＞0时，3f （x ）﹣2f （）=，则f （﹣2）等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，在平面直角坐标系中，锐角α、β及角α+β的终边分别与单位圆O 交于A ，B ，C 三点．分别作AA'、BB'、CC'垂直于x 轴，若以|AA'|、|BB'|、|CC'|为三边长构造三角形，则此三角形的外接圆面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．π
11．已知集合A={0，1，2}，则集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是（ ） A ．1
B ．3
C ．5
D ．9
12．常用以下方法求函数y=[f （x ）]g （x ）的导数：先两边同取以e 为底的对数（e ≈2.71828…，为自然对数的底
数）得lny=g （x ）lnf （x ），再两边同时求导，得•y ′=g ′（x ）lnf （x ）+g （x ）•[lnf （x ）]′，即y ′=[f （x ）]g （x
）
{g ′（x ）lnf （x ）+g （x ）•[lnf （x ）]′}．运用此方法可以求函数h （x ）=x x （x ＞0）的导函数．据此可以判断下列各函数值中最小的是（ ）
A ．h （）
B ．h （）
C ．h （）
D ．h （）
二、填空题
13．1F ，2F 分别为双曲线22
221x y a b
-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，
若12PF F ∆的内切圆半径与外接圆半径之比为1
2
，则该双曲线的离心率为______________.
【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．
14．函数y=a x +1（a ＞0且a ≠1）的图象必经过点 （填点的坐标）
15．二面角α﹣l ﹣β内一点P 到平面α，β和棱l 的距离之比为1：：2，则这个二面角的平面角是 度．
16．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，平面AB 1D 1和平面BC 1D 的位置关系为 ．
17．设是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数有_________个．
18．在等差数列}{n a 中，20161-=a ，其前n 项和为n S ，若
28
108
10=-S S ，则2016S 的值等于 . 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，对等差数列性质也有较高要求，属于中等难度.
三、解答题
19．某市出租车的计价标准是4km 以内10元（含4km ），超过4km 且不超过18km 的部分1.5元/km ，超出18km 的部分2元/km ．
（1）如果不计等待时间的费用，建立车费y 元与行车里程x km 的函数关系式； （2）如果某人乘车行驶了30km ，他要付多少车费？
20．武汉市为增强市民交通安全意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示． （1）分别求第3，4，5组的频率；
（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．
21．已知双曲线过点P（﹣3，4），它的渐近线方程为y=±x．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1||PF2|=41，求∠F1PF2的余弦值．
22．设函数，若对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立，求实数m的取值范围．
23．等差数列{a n}的前n项和为S n．a3=2，S8=22．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
24．某校为了解2015届高三毕业班准备考飞行员学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前3个小组的频率之比为1：2：4，其中第二小组的频数为11．
（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数；
（Ⅱ）若经该学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选3人，设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的数学期望与方差．
市中区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】A 【解析】
考
点:三视图．
【方法点睛】本题主要考查几何体的三视图,空间想象能力.空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面,左面,上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱,面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果. 要能够牢记常见几何体的三视图. 2． 【答案】B
【解析】因为(1)(N )n x n *+?的展开式中3
x 项系数是3C n ，所以3
C 10n =，解得
5n =，故选A ． 3． 【答案】D
【解析】解：设回归直线方程为=1.23x+a
∵样本点的中心为（4，5），
∴5=1.23×4+a
∴a=0.08
∴回归直线方程为=1.23x+0.08
故选D ．
【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．
4． 【答案】D
【解析】解：由zi=1+i ，得，
∴z 的虚部为﹣1． 故选：D ．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
5．【答案】A
【解析】
根据三视图可知，该几何体是长方体中挖去一个正四棱锥，故该几何体的体积等于1
⨯⨯-⨯⨯⨯=
2232238
3
6．【答案】A
【解析】
7．【答案】D
【解析】解：根据题意，
△ABC中，∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°，
∵AC=BC=akm，
∴由余弦定理，得cos120°=，
解之得AB=akm，
即灯塔A与灯塔B的距离为akm，
故选：D．
【点评】本题给出实际应用问题，求海洋上灯塔A 与灯塔B 的距离．着重考查了三角形内角和定理和运用余弦定理解三角形等知识，属于基础题．
8． 【答案】D
【解析】解：若a ＞0＞b ，则
，故A 错误；
若a ＞0＞b 且a ，b 互为相反数，则|a|=|b|，故B 错误； 若a ＞0＞b 且a ，b 互为相反数，则a 2＞b 2，故C 错误； 函数y=x 3在R 上为增函数，若a ＞b ，则a 3＞b 3，故D 正确； 故选：D
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性，难度不大，属于基础题．
9． 【答案】D
【解析】解：∵当x ＞0时，3f （x ）﹣2f （）=
…①，
∴3f （）﹣2f （x ）==…②，
①×3+③×2得：
5f （x ）=，
故f （x ）=
，
又∵函数f （x ）为偶函数，
故f （﹣2）=f （2）=，
故选：D ．
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中根据已知求出当x ＞0时，函数f （x ）的解析式，是解答的关键．
10．【答案】 A
【解析】（本题满分为12分）
解：由题意可得：|AA'|=sin α、|BB'|=sin β、|CC'|=sin （α+β）， 设边长为sin （α+β）的所对的三角形内角为θ， 则由余弦定理可得，cos θ=
=﹣cosαcosβ
=﹣cosαcosβ
=sinαsinβ﹣cosαcosβ
=﹣cos（α+β），
∵α，β∈（0，）
∴α+β∈（0，π）
∴sinθ==sin（α+β）
设外接圆的半径为R，则由正弦定理可得2R==1，
∴R=，
∴外接圆的面积S=πR2=．
故选：A．
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，正弦定理，圆的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．
11．【答案】C
【解析】解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，
∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2；
当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；
当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；
∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．
故选C．
12．【答案】B
【解析】解：（h（x））′=x x[x′lnx+x（lnx）′]
=x x（lnx+1），
令h（x）′＞0，解得：x＞，令h（x）′＜0，解得：0＜x＜，
∴h（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，
∴h（）最小，
故选：B．
【点评】本题考查函数的导数的应用，极值的求法，基本知识的考查．
二、填空题
13．1
【解析】
14．【答案】（0，2）
【解析】解：令x=0，得y=a0+1=2
∴函数y=a x+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（0，2）
故答案为：（0，2）．
【点评】本题考查指数函数的单调性与特殊点，解题的关键是熟练掌握指数函数的性质，确定指数为0时，求函数的图象必过的定点
15．【答案】75度．
【解析】解：点P可能在二面角α﹣l﹣β内部，也可能在外部，应区别处理．当点P在二面角α﹣l﹣β的内部
时，如图，A、C、B、P四点共面，∠ACB为二面角的平面角，
由题设条件，点P到α，β和棱l的距离之比为1：：2可求∠ACP=30°，∠BCP=45°，∴∠ACB=75°．
故答案为：75．
【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查分类讨论的数学思想，正确找出二面角的平面角是关键．
16．【答案】平行．
【解析】解：∵AB1∥C1D，AD1∥BC1，
AB1⊂平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，AB1∩AD1=A
C1D⊂平面BC1D，BC1⊂平面BC1D，C1D∩BC1=C1
由面面平行的判定理我们易得平面AB1D1∥平面BC1D
故答案为：平行．
【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法．
17．【答案】1
【解析】【知识点】平面向量坐标运算
【试题解析】设
设，则
因为，
所以，所以
因此，存在唯一的点M，使成立。

故答案为：
18．【答案】2016
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）依题意得：
当0＜x≤4时，y=10；…（2分）
当4＜x≤18时，y=10+1.5（x﹣4）=1.5x+4…
当x＞18时，y=10+1.5×14+2（x﹣18）=2x﹣5…（8分）
∴…（9分）
（2）x=30，y=2×30﹣5=55…（12分）
【点评】本题考查函数模型的建立，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．20．【答案】
【解析】解：（1）由题意可知第3组的频率为0.06×5=0.3，
第4组的频率为0.04×5=0.2，
第5组的频率为0.02×5=0.1；
（2）第3组的人数为0.3×100=30，
第4组的人数为0.2×100=20，
第5组的人数为0.1×100=10；
因为第3，4，5组共有60名志愿者，
所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，
每组抽取的人数分别为：第3组=3；第4组=2；第5组=1；
应从第3，4，5组各抽取3，2，1名志愿者．
（3）记第3组3名志愿者为1，2，3；第4组2名志愿者为4，5；第5组1名志愿者为6；
在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者有：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，4），（3，5），（3，6），
（4，5），（4，6），
（5，6）；
共有15种，第4组2名志愿者为4，5；至少有一名志愿者被抽中共有9种，
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为．
【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，频率分布直方图，考查计算能力．
21．【答案】
【解析】解：（1）设双曲线的方程为y2﹣x2=λ（λ≠0），
代入点P（﹣3，4），可得λ=﹣16，
∴所求求双曲线的标准方程为
（2）设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1d2=41，
又由双曲线的几何性质知|d1﹣d2|=2a=6，
∴d12+d22﹣2d1d2=36即有d12+d22=36+2d1d2=118，
又|F1F2|=2c=10，
∴|F1F2|2=100=d12+d22﹣2d1d2cos∠F1PF2
∴cos∠F1PF2=
【点评】本题给出双曲线的渐近线，在双曲线经过定点P的情况下求它的标准方程，并依此求∠F1PF2的余弦值．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：∵，
∴f′（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），
∴当x∈[﹣1，﹣），（1，2]时，f′（x）＞0；
当x∈（﹣，1）时，f′（x）＜0；
∴f（x）在[﹣1，﹣），（1，2]上单调递增，在（﹣，1）上单调递减；
且f（﹣）=﹣﹣×+2×+5=5+，f（2）=8﹣×4﹣2×2+5=7；
故f max（x）=f（2）=7；
故对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立可化为7＜m；
故实数m的取值范围为（7，+∞）．
【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于中档题．
23．【答案】
【解析】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=2，S8=22．
∴，
解得，
∴{a n}的通项公式为a n=1+（n﹣1）=．
（2）∵b n===﹣，
∴T n=2+…+
=2
=．
24．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设该校报考飞行员的总人数为n，前三个小组的频率为p1，p2，p3，
则，
解得，，，…
由于，故n=55．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一个报考学生的体重超过60公斤的概率为：
p=
，
由题意知X 服从二项分布，即：X ～B （3，），…
∴P （X=k ）=，k=0，1，2，3，
∴EX=
=
，DX=
=
．…
【点评】本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．。