高三数学第二学期数列多选题单元达标提高题检测试卷

高三数学第二学期数列多选题单元达标提高题检测试卷
一、数列多选题
1．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若11a >，公比1q ≠，则下列命题正确的是（ ）
A ．若59T T =，则必有141T =
B ．若59T T =，则必有7T 是n T 中最大的项
C ．若67T T >，则必有78T T >
D ．若67T T >，则必有56T T >
【答案】ABC 【分析】
根据题意，结合等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，以及等比数列的性质，逐项分析，即可求解. 【详解】
由等比数列{}n a 可知1
1n n a a q -=⋅，由等比数列{}n a 的前n 项积结合等差数列性质可知：
()
12
1
1212
11111
1
123n n n n n n n n a a q a q a q
a a T a a a q a q
--+++-=⋅⋅⋅==⋅=
对于A ，若59T T =，可得51093611a q a q =，即42611a q =，()
71491426
2
11141a q q T a ∴===，故
A 正确；
对于B ，若59T T =，可得4
26
1
1a q =，即132
1
1a q
=，又11a >，故1q <，又59T T =，可知
67891a a a a =，利用等比数列性质知78691a a a a ==，可知67891,1,1,1a a a a >><<，故7T 是n T 中最大的项，故B 正确；
对于C ，若67T T >，则61572111a q a q >，即611a q <，又10a >，则1q <，可得
768118
7
1T T a a q a q <=<=，故78T T >，故C 正确； 对于D ，若67T T >，则611a q <，566
5
1T a T a q ==，无法判断其与“1”的大小关系，故D 错误. 故选：ABC 【点睛】
关键点点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式及等差数列前n 项和公式，以及等比数列的性质的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和性质及等差数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于较难题.
2．在n n n A B C （1,2,3,
n =）中，内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ，n n n A B C 的
面积为n S ，若5n a =，14b =，13c =，且2221
24n n n a c b ++=
，222
124
n n n a b c ++=，则（ ） A ．n n n A B C 一定是直角三角形
B ．{}n S 为递增数列
C ．{}n S 有最大值
D ．{}n S 有最小值
【答案】ABD 【分析】
先结合已知条件得到()22
2211125=
252
n n n n b c b c +++-+-，进而得到222
25=n n n b c a +=，得A 正确，再利用面积公式得到递推关系12
21875
=644
n n S S ++，通过作差法判定数列单调性和最值即可. 【详解】 由222
1
24n n n a c b ++=
，222
124
n n n a b c ++=得，222222
1
1
2244
n n n n n n a c a b b
c
+++++=+
()22
21122n n n a b c =++()2225122n n b c =++，故()222
211125=
252
n n n n b c b c +++-+-， 又221125=0b c +-，22250n n b c ∴+-=，222
25=n n n b c a ∴+=，故n n n A B C 一定是直角
三角形，A 正确；
n n n A B C 的面积为1
2
n n n S b c =，而
()
422222
222222
1124224416
n n n n n n n n n n n n a b c a b c a c a b b c +++++++=⨯=
， 故()
422222
2222211
1
241875161875==16
166
41n n n n n n n n n n n a b c a b b
S S c c S +++++++==
+，
故22
21
22
18751875==6446434
n n n n n S S S
S S +-+--
，
又22125=244n n n n n b c b c S +=≤（当且仅当=n n b c 2
21
2
1875=06344
n n n S S
S +∴--≥，又由14b =，13c =知n n b c ≠不是恒成立，即
212n n S S +>，故1n n S S +>，故{}n S 为递增数列，{}n S 有最小值16=S ，无最大值，故
BD 正确，C 错误. 故选：ABD. 【点睛】
本题解题关键是利用递推关系得到()22
2
211125=
252
n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判
断.
3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（ ） A ．60a >
B ．数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是递增数列 C ．0n S <时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
中最小项为第7项
【答案】ACD 【分析】 由已知得()
()612112712+12+2
2
0a a a a S ==
>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知
得出24
37
d -
<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又
()1112+3n a n d =-，可得出1n
a 在1,6n n N
上单调递增，
1
n
a 在7n n
N ，
上单调递增，可判断B ；由
()
313117
713+12
2
03213a a a S a ⨯=
=<=
，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ； 【详解】
由已知得311+212,122d a a a d ===-，()
()612112712+12+2
2
0a a a a S =
=
>，又
70a <，所以6>0a ，故A 正确；
由716167
1+612+40
+512+3>0+2+1124+7>0
a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪
==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，
当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()11
12+3n a n d =-，所以[]1,6n ∈时，1>0n
a ，7n ≥时，1
0n a <，
所以1
n
a 在1,6n
n N
上单调递增，1
n
a 在7n
n N
，上单调递增，所
以数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
不是递增数列，故B 不正确；
由于()
313117
713+12
2
03213a a a S a ⨯=
=<=
，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为
13，故C 选项正确 ；
当[]
1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]
1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，
0n S <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，
0n
n
S a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
中最小项为第7项，故D 正确； 【点睛】
本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题.
4．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其公差分别为1d 和2d ，其前n 项和分别为n S 和n T ，则下列命题中正确的是（ ） A
．若
为等差数列，则1
12d
a =
B ．若{}n n S T +为等差数列，则120d d +=
C ．若{}n n a b 为等差数列，则120d d ==
D ．若*
n b N ∈，则{}
n b a 也为等差数列，且公差为12d d +
【答案】AB 【分析】
对于A
，利用=
对于B ，利用()2211332S T S T S T +=+++化简可得答案； 对于C ，利用2211332a b a b a b =+化简可得答案； 对于D ，根据112n n b b a a d d +-=可得答案. 【详解】 对于A
，因为
为等差数列，所以=
即=
= 化简得()2
1120d a -=，所以112d a =，故A 正确；
对于B ，因为{}n n S T +为等差数列，所以()2211332S T S T S T +=+++， 所以()11121111122223333a d b d a b a d b d +++=+++++， 所以120d d +=，故B 正确；
对于C ，因为{}n n a b 为等差数列，所以2211332a b a b a b =+， 所以11121111122()()(2)(2)a d b d a b a d b d ++=+++， 化简得120d d =，所以10d =或20d =，故C 不正确；
对于D ，因为11(1)n a a n d =+-，且*
n b N ∈，所以
11(1)n b n a a b d =+-()112111a b n d d =++--⎡⎤⎣⎦，
所以()()1111211n b a a b d n d d =+-+-，
所以()()()11111211112111n n b b a a a b d nd d a b d n d d +-=+-+-----12d d =， 所以{}
n b a 也为等差数列，且公差为12d d ，故D 不正确. 故选：AB 【点睛】
关键点点睛：利用等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键.
5．下列说法正确的是（ ）
A ．若{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，…仍为等差数列
()k N *
∈
B ．若{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，
仍为等比数列
()k N *
∈
C ．若{}n a 为等差数列，10a >，0d <，则前n 项和n S 有最大值
D ．若数列{}n a 满足21159,4n n n a a a a +=-+=，则
1211
1
122
2
n a a a +++
<--- 【答案】ACD 【分析】
根据等差数列的定义，可判定A 正确；当1q =-时，取2k =，得到20S =，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；化简得到1111
233
n n n a a a +=----，利用裂项法，可判定D 正确. 【详解】
对于A 中，设数列{}n a 的公差为d ， 因为12k k S a a a =++
+，2122k k k k k S S a a a ++-=++
+，
3221223k k k k k S S a a a ++-=+++，
，
可得()()()()22322k k k k k k k S S S S S S S k d k N *--=---==∈，
所以k S ，2k k S S -，32k k S S -，
构成等差数列，故A 正确；
对于B 中，设数列{}n a 的公比为()0q q ≠，
当1q =-时，取2k =，此时2120S a a =+=，此时不成等比数列，故B 错误； 对于C 中，当10a >，0d <时，等差数列为递减数列，
此时所有正数项的和为n S 的最大值，故C 正确；
对于D 中，由2
159n n
n a a a +=-+，可得()()2135623n n n n n a a a a a +-=-+=-⋅-， 所以2n a ≠或3n a ≠， 则
()()
111
113
2332n n n n n a a a a a +=
=
------，所以1111
233
n n n a a a +=----， 所以121223111
11111
11
2223333
33
n n n a a a a a a a a a ++++
=-+-++
---------- 111111
1333
n n a a a ++=
-=----. 因为14a =，所以2
159n n
n n a a a a +=-+>，可得14n a +>，所以11113
n a +-<-，故D 正确.
故选：ACD 【点睛】
方法点睛：由2
159n n
n a a a +=-+，得到()()2135623n n n n n a a a a a +-=-+=-⋅-，进而得出1111
233
n n n a a a +=----，结合“裂项法”求解是解答本题的难点和关键.
6．设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，1121,n n n S S S n ++==，且2
1
2
n n n n a b a a ++=，则下列结论正确的是（ ） A ．20202020a = B ．()12
n n n S += C ．()
1
12n b n n =-
+
D ．
1334
n T n ≤-< 【答案】ABD 【分析】
可由累乘法求得n S 的通项公式，再由()12
n n n S +=得出n a n =，代入2
1
2n n n n a b a a ++=中可得
()112n b n n =+
+.由裂项相消法求出n T ，利用数列的单调性证明13
34n T n ≤-<.
【详解】 由题意得，
12
n n S n S n
++=， ∴当2n ≥时，
121121112n n n n n S S S n n S S S S S n n ---+=
⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅--()13112
n n +⋅=，且当1n =时也成立，
∴ ()
12
n n n S +=
，易得n a n =，∴ 20202020a =，故,A B 正确； ∴ ()()()2
11111112222n n b n n n n n n +⎛⎫==+=+- ⎪+++⎝⎭
，
∴
111111
1111111111232435
1122212n T n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫
=+-+-+-+
+
-+-=++-- ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭
3111342124
n n n n ⎛⎫=+
-+<+ ⎪++⎝⎭， 又n T n -随着n 的增加而增加， ∴1113n T n T -≥-=，∴13
34
n T n ≤-<，C 错误，D 正确， 故选：ABD. 【点睛】
使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
7．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ，下列四个命题中不正确的有（ ） A ．若0q ≠，且对于*
2
12,n n n n a a a ++∀∈=N ，则数列{}n a 为等比数列
B ．若n
n S Aq B =+（非零常数q ，A ，B 满足1q ≠，0A B +=），则数列{}n a 为等比数
列
C ．若数列{}n a 为等比数列，则232,,,
n n n n n S S S S S --仍为等比数列
D ．设数列{}n a 是等比数列，若123a a a <<，则{}n a 为递增数列 【答案】AC 【分析】
若0n a =，满足对于*2
12,n n n n a a a ++∀∈=N ，但数列{}n a 不是等比数列，可判断A ；利用
n a 与n S 的关系，可求得数列{}n a 的通项公式，可判断B ；若数列{}n a 为等比数列，当公
比1q =-，且n 为偶数时，此时232,,,
n n n n n S S S S S --均为0，可判断C ；设数列{}
n a 是等比数列，且公比为q ，若123a a a <<，即12
11a a q a q <<，分类讨论10a >与10
a <两种情况，可判断D ； 【详解】
对于A ，若0n a =，满足对于*2
12,n n n n a a a ++∀∈=N ，但数列{}n a 不是等比数列，故A 错
误；
对于B ，当2n ≥时，(
)1
11(1)n
n n n n n a S S Aq B Aq
B Aq q ---=-=+-+=-且1q ≠；当
1n =时，0A B +=，则()111a S Aq B A q ==+=-符合上式，故数列{}n a 是首项为
()1A q -公比为q 的等比数列，故B 正确；
对于C ，若数列{}n a 为等比数列，当公比1q =-，且n 为偶数时，此时
232,,,
n n n n n S S S S S --均为0，不为等比数列，故C 错误；
对于D ，设数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，若123a a a <<，即12
11a a q a q <<，若
10a >，可得21q q <<，即1q >，则{}n a 为递增数列；若10a <，可得21q q >>，即01q <<，则{}n a 为递增数列；故D 正确；
故选：AC 【点睛】
结论点睛：本题考查等比数列通项公式及和的性质，等比数列和的性质：公比为1q ≠-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,,
n n n n n S S S S S --仍成等比数列，其公比为
n q ；同理等差数列和的性质：公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列232,,,
m m m m m S S S S S --构成等差数列，公差为md ，考查学生的分析能力，属于中档
题.
8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若981S =，713a =，3S ，1716S S -，k S 成等比数列，则（ ） A ．2
n S n = B ．122310*********
a a a a a a ++⋅⋅⋅+= C ．11k = D ．21n a n =-
【答案】ACD 【分析】
先根据题意求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的通项公式和求和公式求得
,n n a S ，再由3S ，1716S S -，k S 成等比数列列出式子求解得出k 的值，再利用裂项相消法求和，得到1223101111110
21
a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，从而判断各项的正误. 【详解】
依题意，95981S a ==，解得59a =； 而713a =，故75
275
a a d -=
=-，则1541a a d =-=， 则21n a n =-，2
n S n =，故D 、A 正确：
因为3S ，1716S S -，k S 成等比数列，
故()2
2
3171617k S S S S a =-=，
则22933k =，解得11k =，故C 正确； 而
122310*********
a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，故B 错误． 故选：ACD ． 【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下： （1）根据题意，求得通项公式，进而求得前n 项和； （2）根据三项成等比数列的条件，列出等式，求得k 的值；
（3）利用裂项相消法，对12231011
111
a a a a a a ++⋅⋅⋅+求和； （4）对选项逐个判断正误，得到结果.
9．已知首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，当n 为偶数时，11n n a a --=；当n 为奇数且1n >时，121n n a a --=.若4000m S >，则m 的值可以是（ ） A ．17 B ．18
C ．19
D ．20
【答案】BCD 【分析】
由已知条件得出数列奇数项之间的递推关系，从而得数列21{3}k a -+是等比数列，由此可求得奇数项的表达式（也即得到偶数项的表达式），对2k S 可先求得其奇数项的和，再得偶数项的和，从而得2k S ，计算出与4000接近的和，184043S =，173021S =，从而可得结论． 【详解】
依题意，2211k k a a -=+，21221k k a a +=+，*k N ∈，所以2211k k a a -=+，
2122121212(1)123k k k k a a a a +--=+=++=+,∴()2121323k k a a +-+=+.
又134a +=，故数列{}213k a -+是以4为首项，2为公比的等比数列，所以
121423k k a --=⋅-，
故S 奇
()21321141232
(44242)43321k k k k k a a a k k -+-===
+⨯+
+⨯--+++-=---，
S 偶21232412()242k k k a a a k k a a a +-=+=++
+=+++
--，故2k S S =奇＋S 偶
3285k k +=--，
故12
1828454043S =--=，173021S =，故使得4000m S >的最小整数m 的值为18.
故选：BCD . 【点睛】
关键点点睛：本题考查数列的和的问题，解题关键是是由已知关系得出数列的奇数项满足
的性质，求出奇数项的表达式（也可求出偶数项的表达式），而求和时，先考虑项数为偶数时的和，这样可分类求各：先求奇数项的和，再求偶数项的和，从而得所有项的和，利用这个和的表达式估计和n S 接近4000时的项数n ，从而得出结论．
10．若数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足2log n n b a =，则下列选项正确的为（ ） A ．数列{}n a 是等差数列
B ．2n
n a =
C ．数列{}2n
a 的前n 项和为2122
3
n +-
D ．数列11n n b b +⎧⎫
⎨⎬⋅⎩⎭
的前n 项和为n T ，则
1n T <
【答案】BD 【分析】
根据22n n
S a =-，利用数列通项与前n 项和的关系得1,1
,2
n n S n a S n =⎧=⎨≥⎩，求得通项n a ，然后再根据选项求解逐项验证. 【详解】
当1n =时，12a =，
当2n ≥时，由22n n S a =-，得1122n n S a --=-， 两式相减得：12n n a a -=， 又212a a =，
所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列， 所以2n
n a =，2
4n
n a =，数列{}2n
a 的前n 项和为()14144414
3
n n n
S +--'=
=
-， 则22log log 2n
n n b a n ===，
所以()11111
11
n n b b n n n n +==-⋅⋅++，
所以 1111111
(11123411)
n T n n n =-+-++-=-<++， 故选：BD 【点睛】
方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()
11122
n n n a a n n S na d +-=
=+②等比数列
的前n 项和公式()
11,11,11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩； (2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.
(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．。