函数的单调性课件-2023-2024学年高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章 导 数
§6.1 函数的单调性
【问题引入】 引例：求函数 y 2x sin x在 x (0,2 )上的单调性？
分析：判断函数单调性的方法： 1.定义法； 2.图像法； 3.性质法：增+增→增，减+减→减，复合函数单调性同增异减.
【温习旧知】
f
x0
= lim x1 x0
f
x1 f x0
【自主探究】
“导数”与“函数单调性”之间有何关系呢? 1.计算下面几个一次函数的导数，并讨论这些一次函数的单调性. (1) y f (x) x; (2) y f (x) 2x 5; (3) y f (x) 3x 4.
2.计算下面指数函数、对数函数的导数,并讨论这些函数的单调性.
(1) y
f (x) 2x; (2) y
3
4
定义域内单调递减.
最后再看函数 y f x x2 的导
数及其单调性.
函数f x x2的导函数f x = ___ ，
当x 0，+时，f x 2x＞0， 函数y x2在 0，+ 上是增加的；
当x －，0时，f x 2x＜0， 函数y x2在 －，0 上是减少的.
【抽象概括】
x1 x0
lim x0
f
x0
x
x
f
x0
x0
x0
【思考探究】 我们知道，对于函数 y f (x) 来说，导数 f (x) 刻画的是函数
y f (x)在点 x的瞬时变化率，函数的单调性描述的是函数值 y 随自 变量 x取值的增加而增加，或函数值 y 自变量 x取值的增加而减少. 两者都在刻画函数的变化， 那么，“导数”与“函数单调性”之间有何关系呢?
2
3 y f x log3 x, f x ______;
4 y f x log1 x, f x ______.
2
对函数(1)(3)，相应
的定义域上的每一个x都
有f ′(x)＞0，函数y=f(x)在
1
2
定义域内单调递增；
对函数(2)(4)，相应
的定义域上的每一个x都
有f ′(x)＜0，函数y=f(x)在
f (x) (1)x; (3) y
2
f (x) log3 x; (4) y
f (x) log1 x.
2
3.幂函数 y f (x) x2的导数及其单调性.
【实例分析】
先来看下面几个函数的导数及其单 调性.
1 y f x =x, f x ______; 2 y f x 2x 5, f x ______; 3 y f x 3x 4, f x ______ .
函数(1)(2)的导数都是正的，它们在定
义域内单调递增；
函数(3)的导数是负的，它在定义域内
单调递减.
y
7
6
5
4
3 2
1
x –3 –2 –1 O 1 2 3
–1
–2
再来看指数函数、对数函数的导 数及其单调性.
1 y f x 2x , f x ______;
2 y f x (1)x , f x ______;
【抽象概括】 导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系：
（1）若在某个区间内,f'(x)≥0且只在有限个点为0，则在这个区间内， 函数y=f(x)单调递增;
（2）若在某个区间内，f'(x)≤0,且只在有限个点为0,则在这个区间内， 函数y=f(x)单调递减.
Байду номын сангаас
【解决问题】 引例：求函数 y 2x sin x在 x (0,2 )上的单调性？
解不等式f'(x)<0,得函数单调递减区间.
注意： (1)“定义域优先”：必须先求函数的定义域； (2)一个函数具有相同单调性的区间不止一个时， 这些单调区间不能写“U”，应用逗号或和字隔 开.
【合作交流】 （1）利用导数来判断y=x3的单调性？ （2）如果在某个区间内恒有f'(x)=0，则函数y=f(x)有什么特征？
“导数”与“函数单调性”之间的关系：
(1)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f'(x)>0, 则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增；
(2)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f'(x)<0, 则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减.
【抽象概括】
“导数”与“函数单调性”之间的关系：
f'(x)<0 y=f(x)单调递减； f'(x)>0 y=f(x)单调递增.
解：f x =2 cos x＞0.
故f x 在0, 2 上单调递增.
y 15
12
9
6
3
O
图
像
f (x)=2x-sinx
欣
赏
π
2π x
【课堂小结】 一、知识层面
导数的符号
函数的单调性
判断 函数的单调性
注意：若在某个区间内,f'(x)≥0（≤0）且只在有限个点为0， 则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增（减）;
【例题分析】 讨论函数
f x 2x3 3x2 36x 16
的单调性. 【追问】你能确定
该函数的大致图像吗？ y
60
40
20
–4 –3 –2 –1 O
–20
–40
–60
1 2 3 4 5x
方法归纳： 根据导数确定函数的单调性步骤：
（1）确定函数f(x)的定义域； （2）求出函数的导数； （3）解不等式f'(x)>0,得函数单调递增区间;
二、思想方法层面
“从特殊到一般，再到特殊”的研究数学问题的方法，以及数 形结合的重要性.
【思考题】
函数 y f (x)在某个区间图像单调递增，是否可以得到该函数的 导数 f (x) 0在该区间恒成立呢？
§6.1 函数的单调性
【问题引入】 引例：求函数 y 2x sin x在 x (0,2 )上的单调性？
分析：判断函数单调性的方法： 1.定义法； 2.图像法； 3.性质法：增+增→增，减+减→减，复合函数单调性同增异减.
【温习旧知】
f
x0
= lim x1 x0
f
x1 f x0
【自主探究】
“导数”与“函数单调性”之间有何关系呢? 1.计算下面几个一次函数的导数，并讨论这些一次函数的单调性. (1) y f (x) x; (2) y f (x) 2x 5; (3) y f (x) 3x 4.
2.计算下面指数函数、对数函数的导数,并讨论这些函数的单调性.
(1) y
f (x) 2x; (2) y
3
4
定义域内单调递减.
最后再看函数 y f x x2 的导
数及其单调性.
函数f x x2的导函数f x = ___ ，
当x 0，+时，f x 2x＞0， 函数y x2在 0，+ 上是增加的；
当x －，0时，f x 2x＜0， 函数y x2在 －，0 上是减少的.
【抽象概括】
x1 x0
lim x0
f
x0
x
x
f
x0
x0
x0
【思考探究】 我们知道，对于函数 y f (x) 来说，导数 f (x) 刻画的是函数
y f (x)在点 x的瞬时变化率，函数的单调性描述的是函数值 y 随自 变量 x取值的增加而增加，或函数值 y 自变量 x取值的增加而减少. 两者都在刻画函数的变化， 那么，“导数”与“函数单调性”之间有何关系呢?
2
3 y f x log3 x, f x ______;
4 y f x log1 x, f x ______.
2
对函数(1)(3)，相应
的定义域上的每一个x都
有f ′(x)＞0，函数y=f(x)在
1
2
定义域内单调递增；
对函数(2)(4)，相应
的定义域上的每一个x都
有f ′(x)＜0，函数y=f(x)在
f (x) (1)x; (3) y
2
f (x) log3 x; (4) y
f (x) log1 x.
2
3.幂函数 y f (x) x2的导数及其单调性.
【实例分析】
先来看下面几个函数的导数及其单 调性.
1 y f x =x, f x ______; 2 y f x 2x 5, f x ______; 3 y f x 3x 4, f x ______ .
函数(1)(2)的导数都是正的，它们在定
义域内单调递增；
函数(3)的导数是负的，它在定义域内
单调递减.
y
7
6
5
4
3 2
1
x –3 –2 –1 O 1 2 3
–1
–2
再来看指数函数、对数函数的导 数及其单调性.
1 y f x 2x , f x ______;
2 y f x (1)x , f x ______;
【抽象概括】 导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系：
（1）若在某个区间内,f'(x)≥0且只在有限个点为0，则在这个区间内， 函数y=f(x)单调递增;
（2）若在某个区间内，f'(x)≤0,且只在有限个点为0,则在这个区间内， 函数y=f(x)单调递减.
Байду номын сангаас
【解决问题】 引例：求函数 y 2x sin x在 x (0,2 )上的单调性？
解不等式f'(x)<0,得函数单调递减区间.
注意： (1)“定义域优先”：必须先求函数的定义域； (2)一个函数具有相同单调性的区间不止一个时， 这些单调区间不能写“U”，应用逗号或和字隔 开.
【合作交流】 （1）利用导数来判断y=x3的单调性？ （2）如果在某个区间内恒有f'(x)=0，则函数y=f(x)有什么特征？
“导数”与“函数单调性”之间的关系：
(1)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f'(x)>0, 则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增；
(2)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f'(x)<0, 则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减.
【抽象概括】
“导数”与“函数单调性”之间的关系：
f'(x)<0 y=f(x)单调递减； f'(x)>0 y=f(x)单调递增.
解：f x =2 cos x＞0.
故f x 在0, 2 上单调递增.
y 15
12
9
6
3
O
图
像
f (x)=2x-sinx
欣
赏
π
2π x
【课堂小结】 一、知识层面
导数的符号
函数的单调性
判断 函数的单调性
注意：若在某个区间内,f'(x)≥0（≤0）且只在有限个点为0， 则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增（减）;
【例题分析】 讨论函数
f x 2x3 3x2 36x 16
的单调性. 【追问】你能确定
该函数的大致图像吗？ y
60
40
20
–4 –3 –2 –1 O
–20
–40
–60
1 2 3 4 5x
方法归纳： 根据导数确定函数的单调性步骤：
（1）确定函数f(x)的定义域； （2）求出函数的导数； （3）解不等式f'(x)>0,得函数单调递增区间;
二、思想方法层面
“从特殊到一般，再到特殊”的研究数学问题的方法，以及数 形结合的重要性.
【思考题】
函数 y f (x)在某个区间图像单调递增，是否可以得到该函数的 导数 f (x) 0在该区间恒成立呢？