高二数学上学期期中同步测试.doc

新课标高二数学同步测试（6）—（期中测试题2－1）
说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代
号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．判断下面命题的真值“如果明天太阳从西边出来，那么我就去死” （ ） A ．假命题 B ．真命题 C ．不是命题 D ．可真可假
2．若中心在原点，焦点在坐标上的椭圆短轴端点是双曲线y 2－x 2=1的顶点，且该椭圆的离
心率与此双曲线的离心率的乘积为1，则该椭圆的方程为 （ ）
A ．22x +y 2=1
B ．22y +x 2
=1
C ．42x +y 2=1
D ．4
2y +x 2
=1
3．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，x 3
1
21++= 则x
的值为
（ ）
A ．
61
B ．
3
1
C ．2
1
D ．0 4．双曲线x 2－ay 2＝1的焦点坐标是
（ ）
A ．(a +1, 0) , (－a +1, 0)
B ．(a -1, 0), (－a -1, 0)
C ．（－
a a 1+, 0）,（a
a 1
+, 0） D ．(－
a a 1-, 0), (a
a 1
-, 0) 5．设双曲线的焦点在x 轴上,两条渐近线为1
2
y x =±
,则该双曲线的离心率e （ ）
A ．5
B
C D ．
54
6．在下列四个命题中 ①已知A 、B 、C 、D 是空间的任意四点，则=+++． ②若{,,}为空间的一组基底，则{+++,,}也构成空间的一组基底． ③|||||||)(|c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅．
④对于空间的任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若z y x ++=（其中R z y x ∈,,）
，则P 、A 、B 、C 四点共面．
其中正确的个数是
（ ）
A ．３ A ．２ C ．１ D ．０ 7．设a ∈R ，则a>1是a
1
<1 的
（ ）
A ．充分但不必要条件
B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．设原命题：若a+b ≥2，则a,b 中至少有一个不小于1．则原命题与其逆命题的真假情况是（ ） A ．原命题真，逆命题假
B ．原命题假，逆命题真
C ．原命题与逆命题均为真命题
D ．原命题与逆命题均为假命题 9．在正方体AC 1中, M 为棱DD 1的中点, O 为底面ABCD 的中心, P 为棱A 1B 1上任意一点, 则
直线OP 与AM 所成的角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 10．如图,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,P 是侧面BB 1C 1C 内一动点,若P 到
直线BC 与直线C 1D 1的距离相等,则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ） A ．直线 B ．圆 C ．双曲线 D ．抛物线
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．若方程x 2－m x +2m=0有两个大于2的根的充要条件是 ．
12．对于曲线C ∶1
42
2-+-k y k x =1，给出下面四个命题： ①由线C 不可能表示椭圆；
②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆；
③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4; ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜2
5 其中所有正确命题的序号为_______ ______.
13．已知四棱锥P-ABCD 的底面为平行四边形, BD ⊥AD, BD=23, 又PD ⊥底面ABCD, 二面角P －BC －A 为60°, 则直线AD 到平面PBC 的距离为 . 14．直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中, ∠A 1B 1C 1=90°, 且AB=BC=BB 1, E, F 分别是AB, CC 1的中点,
那么A 1C 与EF 所成的角的余弦值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）． 15．（12分）写出下列命题的否命题： （1）若0>m ，则关于x 的方程02
=-+m x x 有实数根； （2）若x ，y 都是奇数，则x +y 是奇数；
（3）若abc=0，则a ，b ，c 中至少有一个为0； （4）当c>0时，若a>b ，则ac>bc ．
16．（12分）如图，正方形ACDE 与等腰直角△ACB 所在的平面互相垂直，且AC=BC=2，
ACB=90∠︒， F 、G 分别是线段AE 、BC 的中点． 求AD 与GF 所成的角的大小．
17．（12分）设椭圆方程为4
2
2
y x +=1，求点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐
标原点，点P 满足→→
→
+=)(2
1OB OA OP ，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程.
E G
F A B
C D
18．（12分）如图，正四棱锥S ABCD -的高2SO =
，底边长AB ．求异面直线BD 和SC
之间的距离．
19．（12分）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的
动点．
（Ⅰ）试确定点F 的位置，使得D 1E ⊥平面AB 1F ； （Ⅱ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，求二面角C 1―EF ―A 的大小（结果用反三角函数值表示）及BA 1与面C 1EF 所成的角的大小．
1
20．（14分）若F 1、F 2分别为双曲线 y 2a 2－x 2
b
2＝1下、上焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线
的下支上，点M 在上准线上，且满足：2F O MP =u u u u r u u u r ，11
111()||||
F P FO F M F P FO λ=+u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r (>0)． （1）求此双曲线的离心率；
（2）若此双曲线过N(3，2)，求此双曲线的方程
（3）若过N(3，2)的双曲线的虚轴端点分别B 1，B 2(B 2在x 轴正半轴上)，点A 、B 在
双曲线上，且22B A B B μ=u u u u r u u u u r ，求11B A B B ⊥u u u r u u u r
时，直线AB 的方程．
参考答案
一、
1．A ；解析：命题的条件一定为假，不可能成立；故原命题一定为假．
2．A ；解析：由双曲线y 2－x 2=1的顶点坐标为)1,0(±，可得椭圆的b=1，在有双曲线的离心
率为
2111=+，从而得到椭圆的离心率为2
2
，可得2=a ，所以选项为A ． 3．A ；解析：四点M 、A 、B 、C 共面，使得x 3121++=中13
1
21=++x ，
从而可得6
1
=
x ．
4．C ；解析：将双曲线方程x 2－ay 2＝1化为标准方程1122
=-a
y
x ，从而可得半焦距为a
a a +=+
111，可得答案． 5．C ；解析：由于焦点在x 轴上的取向的渐近线方程x a b y ±
=为12y x =±，可得2
1
=a b ，222c b a +=，可得a
c
e =
的值． 6．B ；解析：正确的为①②；而命题③中⋅⋅⋅=⋅⋅|cos ||||||)(|θ，左边应为一个数乘的形式，右边则成了实数；命题④成立时当且仅当1=++z y x 时成立． 7．A ；提示：100111><⇔>-⇔<a a a
a a 或Θ
； 8． A ；提示：举例：a=1.2，b=0.3，则a+b=1.5<2，∴逆命题为假．
9．C ； 10．D ； 二、
11．8≥m ；解析：方程两根x 2－m x +2m=0都大于2，构造函数f (x )= x 2－m x +2m,结合原题
意可得：⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧>>-≥∆0
)2(220f a b ，即可得到正确结果．
12．③④；解析：由椭圆和双曲线方程的定义易得．
13．3； 14．3
2
2； 三、
15．解：（1）若0≤m ，则关于x 的方程02
=-+m x x 无实数根；
（2）若x ，y 不都是奇数，则x +y 不是奇数； （3）若abc ≠0，则a ，b ，c 中都不为0； （4）当c>0时，若a ≤b ，则ac ≤bc ．
16．解：如图，正方形ACDE 与等腰直角△ACB 所在的
平面互相垂直，且AC=BC=2，ACB=90∠︒， F 、G 分别是线段AE 、BC 的中点． 求AD 与GF 所成的角的大小．
分析提示：以C 为原点建立空间直角坐标系C —xy z E
F
D
A （0，2，0）
B （2，0，0） D （0，0，2）
G （1，0，0） F （0，2，1）
(0,2,2)AD =-u u u r (1,2,1)GF =-u u u r
||AD =u u u r
||GF =u u u r
2AD GF ⋅=-u u u r u u u r
cos ,6||||
AD GF AD GF AD GF ⋅<>==-⋅u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u
r u u u r AD 与GF
所成的角的大小为cos 6arc ． 17．解：设P （x ，y ）是所求轨迹上的任一点，
①当斜率存在时，直线l 的方程为y =k x +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 4x 2+y 2－4=0 由 得： y =k x +1
（4+k 2）x 2+2k x －3=0， x 1+x 2=－
,422k k +y 1+y 2=2
48
k
+， 由)(2
1→→
→
+=OB OA OP 得：
（x ，y ）=
2
1
（x 1+x 2，y 1+y 2）， 即：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=+-=+=2212
2144242k y y y k k x x x
消去k 得：4x 2+y 2－y =0
当斜率不存在时，AB 的中点为坐标原点，也适合方程
所以动点P 的轨迹方程为：4x 2+y 2－y = 0． 18．分析：建立如图所示的直角坐标系，则
A ，
B ，
(C ，
(22D -，(0,0,2)S ．
DB ∴=u u u r
，CS =u u u r ．
令向量(,,1)n x y =r ，且,n DB n CS ⊥⊥r u u u r r u u u r ，则00n DB n CS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
r u u u r
r u u u r
，
(,,1)0
(,,1)2)0x y x y ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩
，0
0x y x y +=⎧⎪⎨-+⎪⎩，
x y ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩
(n ∴=r ．
∴异面直线BD 和SC 之间的距离为：
OC n d n ⋅=u u u r r
r =
==
19．解：（1）以A 为原点，直线AB 、AD 、AA 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为1，且x DF =，则)0,1,0(),0,0,1(),000()1,0,0(1D B A A ，，
， )0,1,(),0,21
,1()1,1,0(),1,0,1(11x F E D B
于是)0,1,(),1,0,1(),1,2
1
,1(11x AB D ==--=
由D AB D F AB E D ⊥⊥⇔⊥11111且面 于是00111=⋅=⋅AF E D AB E D 与，可解得2
1=x 所以当点F 是CD 的中点时，F AB E D 11平面⊥
（2）当F AB E D 11平面⊥时，F 是CD 的中点，)0,1,2
1(F
平面AEF 的一个法向量为)1,0,0(= 而在平面C 1EF 中，)0,2
1,21(),1,21,
0(1-==EC 所以平面C 1EF 的一个法向量为)1,2,2(-=n
31
,cos ->=< ，3
1arccos ,->=<π
又因为当把,都移向这个二面角内一点时，背向平面AEF ，而指向平面C 1EF 故二面角C 1―EF ―A 的大小为3
1arccos -π
又)1,0,1
(1-=, >=<BA ,cos 12
2-, 所以0
1135,>=<BA ∴BA 1与平面C 1EF 所成的角的大小为045．
20．解：(1) 2F O MP =u u u u r u u u r 1OF MP ⇒=u u u r u u u r
，∴PF 1OM 为平行四边形， 又11
111()||||
F P FO F M F P FO λ=+u u u r u u u r
u u u u r u u
u r u u u r 知M 在∠PF 1O 的角平分线上， ∴四边形PF 1OM 为菱形，且边长为11||PF FO =u u u r u u u r
＝c
∴2||PF u u u u r ＝2a +1||PF u u u r ＝2a +c ，由第二定义|PF 2||PM |＝e 即2a +c c ＝e ，∴2e
+1＝e 且e >1
∴e =2
(2)由e =2，∴c =2a 即
b 2=3a 2，双曲线方程为
y 2a 2－x 2
3a 2
＝1 又N(3，2)在双曲线上，∴4a 2－33a 2＝1，∴a 2
＝3∴双曲线的方程为y 23－x 2
9
＝1…7分
(3)由22B A B B μ=u u u u r u u u u r
知AB 过点B 2，若AB ⊥x 轴，即AB 的方程为x =3，此时AB 1与BB 1
不垂直；设AB 的方程为y =k (x －3)代入y 23－x 2
9＝1得
(3k 2－1)x 2－18k 2x +27k 2－9=0
由题知3k 2－1≠0且△>0即k 2> 16且k 2≠1
3
，
设交点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，1B A u u u r ＝(x 1+3，y 1)，1B B u u u r
＝(x 2+3，y 2)， ∵11B A B B ⊥u u u r u u u r ，∴11B A B B u u u r u u u r
g ＝0即x 1x 2+3(x 1+x 2)+9+y 1y 2＝0
此时x 1+x 2＝18k 2
3k 2－1
，x 1·x 2=9，
y 1y 2＝k 2
(x 1－3) (x 2－3)＝k 2
[x 1x 2－3(x 1+x 2)+9]= k 2
[18－54k 23k 2－1]＝－18k 2
3k 2－1
∴9＋318k 23k 2－1＋9－18k 23k 2－1
＝0，∴5 k 2＝1，∴k ＝±5
5
∴AB 的方程为y =±5
5
(x －3) .。