2023年中考数学微专题复习课件2 中点模型

A.10
C.5
22
5.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点. （1）如图1，E，F分别是AC，BC上的点，且AE＝CF，请判断△DEF的形状，并写出证 明过程.
图1
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解：（1）△DEF是等腰直角三角形.证明如下：如图1，连接CD.
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°.
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▶类型3：等腰三角形“三线合一” 3.如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF， BF.求证：AF⊥BF.
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∴∠AFB＝∠DFC＝90°， ∴AF⊥BF.
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▶类型4：直角三角形斜边上的中线 4.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DF⊥CE于点F，CD＝ AE.若BD＝6，CD＝5，则△DCF的面积是（ C ）
∠ACD＝∠BCD＝45°，AD＝CD，
∴∠DAE＝180°－∠CAD＝135°，
∠DCF＝90°＋∠ACD＝13Hale Waihona Puke °，∴∠DAE＝∠DCF.
又∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
图2
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF.
∵∠ADF＋∠CDF＝90°，
∴∠ADF＋∠ADE＝90°，即∠EDF＝90°.
AD为BC边上的中线， 中
则延长AD到点E，使 线
得ED＝AD，连接CE
图示
8
结论
类型
作法
如图，在△ABC中，D是BC
的中点，点E是AB上一点，
倍长 则作法一：延长ED到点F，
类 使得DF＝DE，连接CF；
中线 作法二：过点C作
CF∥AB，交ED的延长线于
点F
图示
9
结论 △BDE≌△CDF
▶类型1：构造中位线、倍长中线
第四章 三角形
微专题二 中点模型
常见的中点模型 1.已知三角形两边或三边上的中点→构造中位线→相似三角形； 2.已知直角三角形斜边中点→构造斜边中线→等腰三角形； 3.已知等腰三角形、等边三角形底边上的中点→三线合一→全等三角形； 4.已知任意三角形一边上的中点→倍长中线、类中线（与中点有关的线段）→全等三角 形（八字全等）.
构造 中位 线
个中点，连接中点，构 造相似三角形. 如图，点D，E分别是 AB，AC的中点，则连接
DE
图示
4
结论
类 作法
型
在三角形中，当出现三个中 构 点时，连接各中点，构造平 造 行四边形，同时也构造了相 中 似比为1∶2的相似三角形. 位 如图，点D，E，F分别是 线 AB，AC，BC边上的中点，
需要注意一些隐形的中点，如中心对称图形对称点连线的 交点、圆中圆心是直径的中点等，出现中点的图形可以考虑用 中点模型结合相关性质解决问题.
2
类型
作法
在三角形中，当出现 一边中点时，取另一 构造 边中点，构造中位线. 中位 如图，D是AB的中点， 线 则取AC的中点E，连接
DE
图示
3
结论
类型
作法
在三角形中，当出现两
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（2）如图2，若点E，F分别在CA，BC的延长线上，AE＝CF，（1）中的结论是否仍然 成立？若成立，写出完整的证明过程；若不成立，请说出理由.
图2
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解：（2）（1）中的结论仍然成立.理由如下：如图2，连接CD.
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点，
∴∠CAD＝∠B＝45°，CD⊥AB，
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思路点拨
连接AM，由题意得 ↓
AM⊥BC ↓
↓
14
▶类型3：直角三角形斜边上的中线 【例3】如图，在△ABC中，BE，CF分别为边AC，AB上的高，D为BC的中点，DM⊥EF 于点M.若BC＝10，DM＝3，则EF的长为 8 .
⁠
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思路点拨
BE⊥AC，CF⊥AB， D为BC的中点
连接DF，DE
↓
↓
△DEF是等腰三角形
DM⊥EF
↓
FM＝EM
↓
在Rt△FDM中，由勾股定理得FM＝4 ↓
EF＝2FM＝8
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▶类型1：构造中位线 1.如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AC上的点，CE＝AB，AF＝EF，DF 的延长线与BA的延长线相交于点G.求证：AG＝AF.
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▶类型2：倍长中线
现斜边上的中点，则连
直角 三
角形 斜
边上 的 中线
接直角顶点与中点，构
造斜边上的中线；过中
点作一条边的平行线可 构造中位线. 如图，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，D是AB的中 点，则连接CD；过D点 作DE∥BC，交AC于点
E，则DE是△ABC的中位
线
图示
7
结论
类型
作法
如图，在△ABC中， 倍长
10
思路点拨 方法一（构造中位线法）： 如图1，取AB的中点F，连接FM，FN.
图1
11
方法二（倍长中线法）： 如图2，连接AM并延长至点P，使得MP＝AM，连接BP，PD.
↓ 易得△AME≌△PMB
↓ BP＝AE＝2，∠ABP＝120°
↓ BD＝2BP，∠PBD＝60°
↓
图2 ↓
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▶类型2：等腰三角形“三线合一”
则连接DE，EF，DF
图示
5
结论
类型
作法
在等腰三角形中，若出 等腰
现底边的中点，可以考 三角
虑与顶角顶点相连用 形
“三线合一”. “三
如图，在△ABC中，AB 线合
＝AC，D是BC的中点， 一”
则连接AD
图示
6
结论
①BD＝CD； ②∠BAD＝∠CAD；
③△ABD≌△ACD
类型
作法
在直角三角形中，若出
∴△DEF是等腰直角三角形. 26
∵AC＝BC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，∠FCD＝∠ACD＝45°，
∴∠A＝∠ACD＝∠FCD，AD＝CD.
又∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF.
∵∠ADE＋∠CDE＝90°，
图1
∴∠CDF＋∠CDE＝90°，即∠EDF＝90°.
∴△DEF是等腰直角三角形.