2018一轮北师大版(理)数学训练：第3章 第6节 课时分层训练22 正弦定理和余弦定理 Word版含解析

课时分层训练(二十二)正弦定理和余弦定
理
A组基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B ＝a sin A，则△ABC的形状为()
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不确定
B[由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，即A＝π2.]
2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()
【导学号：57962174】A．有一解B．有两解
C．无解D．有解但解的个数不确定
C[由正弦定理得
b
sin B＝
c
sin C，
∴sin B＝b sin C
c＝
40×
3
2
20＝3＞1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．]
3．(2016·天津高考)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC ＝()
A．1B．2C．3D．4
A[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos 120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.]
4．(2017·重庆二次适应性测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ＝3，则△ABC 的面积为( )
【导学号：57962175】
A.34 B ．34 C.32
D ．32
B [依题意得cos
C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ＝60°，因此△ABC 的面积等于1
2ab sin C ＝12×3×32＝3
4，故选B.]
5．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于1
3BC ，则cos A ＝( )
A.31010 B ．1010 C ．－10
10
D ．－31010
C [法一：过A 作A
D ⊥BC ，垂足为D ，由题意知A D ＝B D ＝1
3BC ，则C D ＝23BC ，AB ＝23BC ，AC ＝53BC ，在△ABC 中，由余弦定理的推论可知，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 2
2AB ·AC ＝29BC 2＋5
9BC 2－BC 2
2×23BC ×5
3BC
＝－
10
10.
法二：过A 作A D ⊥BC ，垂足为D ，由题意知A D ＝B D ＝13BC ，则C D ＝2
3BC ， 在R t △A D C 中，AC ＝53BC ，sin ∠D AC ＝255， cos ∠D AC ＝55，又因为∠B ＝π
4，
所以cos ∠BAC ＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫∠D AC ＋π4＝cos ∠D AC ·cos π4－sin ∠D AC ·sin π4＝55
×22－255×22＝－10
10.]
二、填空题
6．(2017·郴州模拟)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝__________. 63 [由正弦定理可得1532＝10sin B
，所以sin B ＝33，再由b ＜a ，可得B 为锐角，
所以cos B ＝1－sin 2B ＝6
3.]
7．(2016·青岛模拟)如图3-6-1所示，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，A D ⊥AC ，sin ∠BAC ＝22
3，AB ＝32，A D ＝
3，则B D 的长为________．
图3-6-1
3 [∵sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BA D)＝cos ∠BA D ＝22
3， ∴在△AB D 中，有B D 2＝AB 2＋A D －2AB ·A Dcos ∠BA D ， ∴B D 2＝18＋9－2×32×3×22
3＝3， ∴B D ＝ 3.]
8．已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sin C ＝3cos C ，则△ABC 的面积为________.
【导学号：57962176】
32 [由sin C ＝3cos C 得t an C ＝3＞0，所以C ＝π3. 根据正弦定理可得BC sin A ＝AB sin C ，即1sin A ＝3
32
＝2，
所以sin A ＝12.因为AB ＞BC ，所以A ＜C ，所以A ＝π6，所以B ＝π
2，即三角形
为直角三角形，
故S △ABC ＝12×3×1＝3
2.] 三、解答题
9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝5，cos B ＝3
5.
(1)求b 的值； (2)求sin C 的值.
【导学号：57962177】
[解] (1)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋25－2×2×5×3
5＝17，所以b ＝17.
5分
(2)因为cos B ＝35，所以sin B ＝4
5，7分 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得1745＝5
sin C ，
所以sin C ＝417
17.
12分 10．(2017·云南二次统一检测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，m ＝(sin B,5sin A ＋5sin C )与n ＝(5sin B －6sin C ，sin C －sin A )垂直．
(1)求sin A 的值；
(2)若a ＝22，求△ABC 的面积S 的最大值．
[解] (1)∵m ＝(sin B,5sin A ＋5sin C )与n ＝(5sin B －6sin C ，sin C －sin A )垂直，∴m ·n ＝5sin 2B －6sin B sin C ＋5sin 2C －5sin 2A ＝0，
即sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝
6sin B sin C
5
. 3分
根据正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝6bc
5， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3
5. ∵A 是△ABC 的内角，
∴sin A ＝1－cos 2
A ＝4
5.
6分
(2)由(1)知b 2＋c 2－a 2＝6bc
5， ∴6bc
5＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2. 8分
又∵a ＝22，∴bc ≤10.
∵△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2bc
5≤4， ∴△ABC 的面积S 的最大值为4.
12分
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．(2016·山东高考)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )
A.3π4 B ．π
3 C.π4
D ．π6
C [∵b ＝c ，∴B ＝C . 又由A ＋B ＋C ＝π得B ＝π2－A
2. 由正弦定理及a 2＝2b 2(1－sin A )得 sin 2A ＝2sin 2B (1－sin A )， 即sin 2
A ＝2sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
2－A 2(1－sin A )， 即sin 2A ＝2cos 2A
2(1－sin A )， 即4sin 2A 2cos 2A 2＝2cos 2A
2(1－sin A )， 整理得cos 2A 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－sin A －2sin 2A 2＝0，
即cos 2A
2(cos A －sin A )＝0.
∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴cos A
2≠0，
∴cos A ＝sin A ．又0＜A ＜π，∴A ＝π
4.]
2．(2014·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．
3 [∵a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R ，a ＝2， 又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为 (a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ，
∴a 2－b 2＝c 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ，∴∠A ＝60°
.
∵△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (“＝”当且仅当b ＝c 时取得)，
∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3.]
3．(2017·陕西质检(二))在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＝3，a ＋c ＝3 3.
(1)求cos B 的最小值； (2)若BA →·BC →＝3，求A 的大小.
【导学号：57962178】
[解] (1)∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a ＋c )2－2ac －b 22ac
＝(33)2－2ac －92ac ＝9
ac －1
≥
9⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋c 22
－1＝13.
当且仅当a ＝c ＝332时，取到最小值1
3. (2)∵BA →·BC →＝3，∴ac cos B ＝3. 由(1)中可得cos B ＝9
ac －1，
∴cos B＝1 2，
∴ac＝6.
由a＋c＝33及ac＝6，解得a＝23或a＝ 3.
由正弦定理
a
sin A＝
b
sin B可得
当a＝23时，sin A＝a
b sin B＝
23
3·
3
2＝1，
∴A＝π
2.
同理，当a＝3时，求得A＝π
6.
综上，A的大小为π
2或π6.。