天津市和平区2020年高二第二学期数学期末复习检测试题含解析

天津市和平区2020年高二第二学期数学期末复习检测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．
13i
1i
+=+ （ ） A ．2i - B ．2i -+
C ．2i +
D ．2i --
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，即可得到答案． 【详解】 由
()()()()
13i 1i 13i 42i
2i 1i 1i 1i 2+-++===+++-，故选C ． 【点睛】
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 2．已知,m n 是空间中两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，有以下结论： ①,,m αn βm n αβ⊂⊂⊥⇒⊥ ②//,//,,//m n m n ββαααβ⊂⊂⇒ ③,,m βn αm n αβ⊥⊥⊥⇒⊥ ④,////m αm n n α⊂⇒. 其中正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B 【解析】
分析：根据直线与平面的位置关系的判定定理和性质定理，即可作出判定得到结论.
详解：由题意，对于①中，若,,m n m n αβ⊂⊂⊥，则两平面可能是平行的，所以不正确； 对于②中，若//,//,,m n m n ββαα⊂⊂，只有当m 与n 相交时，才能得到//αβ，所以不正确； 对于③中，若,,m n m n βα⊥⊥⊥，根据线面垂直和面面垂直的判定定理，可得αβ⊥，所以是正确的； 对于④中，若,//,//m m n n n ααα⊂⊄⇒，所以是不正确的， 综上可知，正确命题的个数只有一个，故选B.
点睛：本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
3．若复数2(2)m i -所表示的点在第一象限，则实数m 的取值范围是( )
A ．()(),22,-∞-⋃+∞
B ．()2,2-
C ．(),2-∞-
D ．()2,0-
【答案】C 【解析】 【分析】
利用复数代数形式的乘法运算化简复数2
(2)m i -，再由实部与虚部均大于0联立不等式组求解即可. 【详解】
()
22(2)44m i m mi -=--Q 表示的点在第一象限，
2
40
40m m ->⎧∴->⎨⎩
，解得2m <-． ∴实数m 的取值范围是(),2-∞-．故选C ．
【点睛】
本题主要考查的是复数的乘法、乘方运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和
()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()
()()
a bi c di a bi
c di c di c di +-+=
++- 运算的准确性，否则很容易出现
错误．
4．某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一个容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人 B ．4人
C ．7人
D ．12人
【答案】B 【解析】 【分析】
根据分层抽样原理求出应抽取的管理人数． 【详解】
根据分层抽样原理知，应抽取管理人员的人数为：
16010424
204160
--⨯
=
故选：B 【点睛】
本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题．
5．已知函数1
ln(1),1()21,1
x x x f x x -->⎧=⎨-≤⎩，则()f x 的零点个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
分段令()0f x =，解方程即可得解. 【详解】
当1x >时，令()()ln 10f x x =-=，得2x =； 当1x ≤时，令()1
210x f x -=-=，得1x =.
故选C. 【点睛】
本题主要考查了分段函数零点的求解，涉及指数和对数方程，属于基础题.
6．甲､乙､丙､丁四位同学一起去老师处问他们的成绩.老师说:“你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给丙看甲､乙的成绩,给甲看乙的成绩,给丁看丙的成绩.”看后丙对大家说:“我还是不知道我的成绩.”根据以上信息,则下列结论正确的是( ) A ．甲可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道自己的成绩 C ．甲､丙可以知道对方的成绩 D ．乙､丁可以知道自己的成绩
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意可逐句进行分析，已知四人中有2位优秀，2位良好，而丙知道甲和乙但不知道自己的成绩可知：甲和乙、丙和丁都只能一个是优秀，一个是良好，接下来，由上一步的结论，当甲知道乙的成绩后，就可以知道自己的成绩，同理，当丁知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，从而选出答案. 【详解】
由丙知道甲和乙但不知道自己的成绩可知：甲和乙、丙和丁都只能一个是优秀，一个是良好； 当甲知道乙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是甲不知道丙和丁的成绩； 当丁知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是丁不知道甲和乙的成绩； 综上，只有B 选项符合. 故选：B. 【点睛】
本题是一道逻辑推理题，此类题目的推理方法是综合法和分析法，逐条分析题目条件语句即可，属于中等题.
7．命题“0x ∀>，使是210x x ++>”的否定是（）
A ．00x ∃≤，使得2
0010x x ++≤
B ．0x ∀≤，使得210x x ++>.
C ．0x >，使得210x x ++>
D ．00x ∃>，使得2
0010x x ++≤
【答案】D 【解析】 【分析】
根据全称命题与特称命题的关系，准确改写，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题“0x ∀>，使是210x x ++>”的否定为“00x ∃>，
使得2
0010x x ++≤”故选D ．
【点睛】
本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
8．命题“任意[]
2
1,2,0x x a ∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．4a ≥ B ．4a ≤
C ．5a ≥
D ．3a ≥
【答案】C 【解析】
试题分析：对此任意性问题转化为恒成立，当
，即
，
，若是原命题为真
命题的一个充分不必要条件，那应是的真子集，故选C.
考点：1.集合；2.充分必要条件.
9．假设如图所示的三角形数表的第n 行的第二个数为(
)*
2,n a n n N
≥∈，则70
a
=（ ）
A ．2046
B ．2416
C ．2347
D ．2486
【答案】B 【解析】 【分析】
由三角形数表特点可得()12n n a a n n +=+≥，利用累加法可求得n a ，进而得到结果. 【详解】
由三角形数表可知：()12n n a a n n +=+≥，22a =，
∴()113n n a a n n --=-≥，…，322a a -=，
()()()()()232121223122
n n n n n a a a a a a n --+∴=+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+-=+
，
整理得：()2111322n a n n n =-+≥，则27011
70701241622
a =⨯-⨯+=. 故选：B . 【点睛】
本题考查数列中的项的求解问题，关键是能够采用累加法准确求得数列的通项公式. 10．若数列{}n a 满足
111n n
d a a --=（*n N ∈，d 为常数），则称数列{}n a 为调和数列.已知数列1n x ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为调和数列，且1220200x x x ++⋅⋅⋅+=，则516x x +=（ ） A ．10 B ．20
C ．30
D ．40
【答案】B 【解析】
分析：由题意可知数列{}n x 是等差数列，由等差数列的性质得120516x x x x +=+
()()12012205162010
2
x x x x x x x +++=
⋅=+L ，得51620x x +=
详解：Q 数列1n x ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为调和数列 {}n x ∴为等差数列，
由等差数列的求和公式得，()()12012201202010
2
x x x x x x x +++=⋅=+L
Q 1220200x x x ++=L
120 20x x ∴
+= 由等差数列的性质 120516x x x x +=+
516 20x x ∴+=
故选B
点睛：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，通过合理的转化建立起已知条件和考点之间的联系是解题关键.
11．倾斜角为α的直线l 经过抛物线C ：()2
20x py p =>的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点（点
A ，
B 分别位于y 轴的左、右两侧）
，2BF
AF
=，则cos α的值是（ ） A ．
13
B ．
12 C ．
23
D ．
22
3
【答案】D 【解析】 【分析】
设AF t =，则2BF t =，由抛物线的定义，得AC t =，2BD t =，进而可求BE 、AE ，最后由cos AE AB
α=可求解. 【详解】
设AF t =，则2BF t = A 、B 两点到准线2
p
y =-
的距离分别为AC 、BD ， 由抛物线的定义可知：
AC AF t ==，2BD BF t ==
过A 作AE BD ⊥，垂足为E.
2BE BD DE BD AC t t t ∴=-=-=-= ()
2
222322AE AB BE t t t ∴=-=
-=
2222
cos cos 33
AE t BAE AB t α=∠=
==
. 故选：D 【点睛】
本题考查了抛物线的定义，考查了转化思想，属于中档题.
12．已知1cos 3α=
，2π(π)α∈，
，则cos 2
α
等于( ) A ．
6
3 B ．63
-
C ．
33
D ．33
-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据余弦的半角公式化简、运算，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，可知2π(π)α∈，
，则π
π22α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，， 又由半角公式可得1cos 26
cos 2
233
α
α+=-
=-=-
，故选B ． 【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟练应用余弦函数的半角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知随机变量X 服从正态分布N(3.1)，且=0.6826，则p （X>4）=
【答案】0.1587 【解析】 【分析】 【详解】
,
观察如图可得,
.
故答案为0.1587.
考点：正态分布 点评：随机变量～
中，
表示正态曲线的对称轴.
14．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，满足()()2f x f x +=，若[]0,1x ∈时，()21x f x =-，则函数()ln ||y f x x =-的零点个数为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】
由题意得：()f x 的周期为2，且其图象关于y 轴对称，函数()ln ||y f x x =-的零点个数即为函数
()y f x =与函数ln y x =图象的交点个数，然后作出图象即可.
【详解】
由题意得：()f x 的周期为2，且其图象关于y 轴对称 函数()ln ||y f x x =-的零点个数即为
函数()y f x =与函数ln y x =图象的交点个数， 在同一坐标系中作出两函数的图象如下
由图象观察可知，共有两个交点 故答案为：2 【点睛】
一个复杂函数的零点个数问题常常是转化为两个常见函数的交点个数问题. 15．在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，6
π
∠=ABD ，若3=
AB BD ，则CAD ∠=_____
【答案】
3
π 【解析】 【分析】
先设BD x =，根据余弦定理得到AD x =，AC x =，进而可判断出结果. 【详解】
设BD x =，则3=AB x ，
在ABD ∆中，
22222222cos
3466
π
=+-⨯⨯⨯=+-=AD AB BD AB BD x x x x
所以，AD x =， 在ABC ∆中，
22222222cos
3466
π
=+-⨯⨯⨯=+-=AC AB BC AB BC x x x x ，
所以，AC x =， 而==CD BD x ，
所以，三角形ADC ∆为等边三角形， 所以，3
π
∠=
CAD .
【点睛】
本题主要考查解三角形，熟记余弦定理即可，属于常考题型.
16．如图所示，直线y kx =分抛物线2y x x =-与x 轴所围图形为面积相等的两部分，则k 的值为__________．
【答案】3
412
- 【解析】 【分析】
根据题意求出直线与抛物线的交点横坐标,再根据定积分求两部分的面积,列出等式求解即可. 【详解】
联立2
y x x y kx
⎧=-⇒⎨
=⎩ 0x =或1x k =-.由图易得()1,11x k k =-<<
由题设得
()()1122
12
k
x x kx dx x x dx ---=
-⎰
⎰, 即2321231
00111111||232223k x x kx x x -⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭.
即
()()()232
111111123212
k k k k -----= 化简得()3
112
k -=.
解得3
412
k =-
. 故答案为：3
412
- 【点睛】
本题主要考查了定积分的运用,需要根据题意求到交界处的点横坐标,再根据定积分的几何意义列式求解即可.属于中档题.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．（12分）某同学参加3门课程的考试。

假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门
课程取得优秀成绩的概率分别为，(＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。

记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 ξ
1
2
3
(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； (Ⅱ)求，的值； (Ⅲ)求数学期望ξ。

【答案】（I），（II），.（III）
【解析】
(1)可根据其对立事件来求：其对立事件为：没有一门课程取得优秀成绩.
(2)
建立关于p、q的方程，解方程组即可求解.
(3)先算出a,b的值，然后利用期望公式求解即可.
事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”，=1,2,3，由题意知
，，
（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是
，
（II）由题意知
整理得，由，可得，.
（III）由题意知
=
=
=
18．中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15∽65岁的人群
中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下： 年龄 [)15,25 [)25,35 [)35,45 [)45,55 [)55,65
支持“延迟退
休”的人数
15
5
15
28
17
（1）由以上统计数据填22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异； 45岁以下 45岁以上 总计 支持 不支持 总计
（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人
①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率. ②记抽到45岁以上的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望. 参考数据：
20()P K k ≥
0.100 0.050 0.010 0.001
0k
2.706
3.841 6.635 10.828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++
【答案】（1）能（2）①4
7
②见解析 【解析】
分析：（1）由统计数据填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； （2）①求抽到1人是45岁以下的概率，再求抽到1人是45岁以上的概率，
②根据题意知X 的可能取值，计算对应的概率值，写出随机变量X 的分布列，计算数学期望值． 详解：（1）由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人，故填充22⨯列联表如下：
因为2K 的观测值()2
1003554515 6.25 3.84150508020
K ⨯⨯-⨯=
=>⨯⨯⨯，
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异.
（2）①抽到1人是45岁以下的概率为
63
=84
，抽到1人是45岁以下且另一人是45岁以上的概率为116
2
2837
C C C =，故所求概率
3
47374
P ==. ②从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人.所以X 的可能取值为0,1,2.
()262815028C P X C ===，()116228123128
7C C P X C ====，()222
81
228
C P X C ===. 故随机变量X 的分布列为：
所以()127282
E X =⨯
+⨯=. 点睛：本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是中档题．
19．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且1a ，21a -，31a -成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
1
n n n b a a +=
⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .
【答案】（1）21n a n =-；（2）21
n n
S n =
+
【解析】 【分析】
（1）根据等差数列的定义和1a ，21a -，31a -成等比数列代入公式得到方程，解出答案. (2)据(1)把n b 通项公式写出,根据裂项求和的方法求得n S . 【详解】
解：(1) 1a ，21a -，31a -成等比数列,则2
213(1).(1)a a a -=-⇒22d d =
2d =或0d =(舍去)
所以21n a n =- （2）111111
()(21).(21)22121
n n n b a a n n n n +=
==-⋅-+-+
12111111111....(...)(1)21335212122121
n n n
S b b b n n n n =+++=-+-++-=-=-+++
【点睛】
本题考查了公式法求数列通项式，裂项求和方法求n S ，属于基础题.
20． “DD 共享单车”是为城市人群提供便捷经济、绿色低碳的环保出行方式，根据目前在三明市的投放量与使用的情况，有人作了抽样调查，抽取年龄在二十至五十岁的不同性别的骑行者，统计数据如下表所示：
(1)求统计数据表中,a d 的值；
(2)假设用抽到的100名20～35岁年龄的骑行者作为样本估计全市的该年龄段男女使用“DD 共享单车”情况，现从全市的该年龄段骑行者中随机抽取3人，求恰有一名女性的概率；
(3)根据以上列联表，判断使用“DD 共享单车”的人群中，能否有95%的把握认为“性别”与“年龄”有关，并说明理由. 参考数表：
参考公式：()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.
【答案】 (1)60a =，50d =.(2)54
125
；(3)答案见解析. 【解析】 试题分析：
(1)由题意结合题中所给的列联表可得60a =，50d =. (2)由题意结合二项分布的概率公式可得恰有一名女性的概率是
54125
； (3)利用独立性检验的结论求得2 4.598 3.841K ≈>.所以在使用共享单车的人群中，有95%的把握认为“性别”与“年龄”有关. 试题解析：
(1)60a =，50d =.
(2)依题意得，每一次抽到女性的概率125
p =
， 故抽取的3人中恰有一名女性的概率1
2
13
2254155125
p C ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭. (3)()2
2190605040403724
4.598 3.8411009090100
810
K ⨯⨯-⨯=
=
≈>⨯⨯⨯. 所以在使用共享单车的人群中，有95%的把握认为“性别”与“年龄”有关.
点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．
21．如图（1）是某水上乐园拟开发水滑梯项目的效果图，考虑到空间和安全方面的原因，初步设计方案如下：如图（2），自直立于水面的空中平台CP 的上端点P 处分别向水池内的三个不同方向建水滑道PA ，
PM ，PB ，水滑道的下端点,,B M A 在同一条直线上，10120CM m BCA =∠=︒，，CM 平分BCA ∠，
假设水滑梯的滑道可以看成线段，,,B M A 均在过C 且与PC 垂直的平面内，为了滑梯的安全性，设计要求2PCB PCA ACB S S S +≤△△△.
（1）求滑梯的高PC 的最大值；
（2）现在开发商考虑把该水滑梯项目设计成室内游玩项目，且为保证该项目的趣味性，设计30PBC ∠=︒，求该滑梯装置（即图（2）中的几何体）的体积最小值.
【答案】（1）（2）562.53m . 【解析】 【分析】
（1）分别设出CB 、CA 、PC 的长，分别表示出面积,,2PCB PCA ACB S S S △△△，再利用不等关系求解即可； （2）利用已知条件，求得体积是关于x 的函数，再利用导函数判别单调性求得最小值即可. 【详解】
（1）设m m m ,,0CB x CA y PC z x y z ===>，，，. 由题意知BCM ACM BCA S S S +=△△△， 由120BCA ∠=︒及CM 平分BCA ∠得111
sin 60sin 60sin120222
CB CM CA CM CB CA ⋅︒+⋅︒=⋅︒， 所以1010x y xy +=.
因为2PCB PCA ACB S S S +≤△△△，所以111
2sin120222
xz yz xy +≤⨯︒，
所以z ≤.
所以滑道的高PC 的最大值为
（2）因为滑道PB 的坡度为30°，所以3
z x =
.
由（1）知
3
x ≤，即30x ≤. 又1010x y xy +=，所以10103010
x
y x x =<≤-，. 所以三棱锥P-ABC 的体积
()()
()3
1115sin1201030332610ABC x V x S PC xy z x x =⋅=⨯⨯︒⨯=<≤-△，
所以()()()
22
515310x x V x x -'=
-，
当1015x <<时，()()0,V x V x '<单调递减， 当1530x <≤时，()()0,V x V x '>单调递增， 所以当15x =时，()min 1125
562.52
V x =
=，
所以该滑梯装置的体积最小为562.5m³. 【点睛】
本题考查了解三角形和立体几何应用实际问题，熟悉题意，仔细分析，结合导函数的应用求最值是解题的关键，属于中档题目.
22．已知定义在R 上的函数f （x ）＝｜x ﹣m ｜+｜x ｜，m ∈N*，存在实数x 使f （x ）＜2成立． （1）求实数m 的值；
（2）若α≥1，β≥1，f （α）+f （β）＝4，求证：4
1
α
β
+
≥1．
【答案】（1）m ＝1；（2）见证明 【解析】 【分析】
（1）要使不等式2x m x -+<有解，则2m <，再由m N +∈，能求出实数m 的值； （2）先求出3αβ+=，从而4
1
141
()()3αβα
βαβ
+
=++，由此利用基本不等式，即可作出证明． 【详解】
(1)因为|x －m|＋|x|≥|(x －m)－x|＝|m|， 所以要使不等式|x －m|＋|x|<2有解，则|m|<2， 解得－2<m<2.因为m ∈N *，所以m ＝1.
(2)证明：因为α≥1，β≥1，所以f(α)＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝4， 即α＋β＝1，
所以
()41
141141553333βααβα
βαβαβ⎛⎛⎫⎛⎫+
=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 当且仅当4=
β
α
α
β
，即α＝2，β＝1时等号成立， 故
4
1
α
β
+
≥1.
【点睛】
本题主要考查了绝对值三角不等式的应用，以及不等式的证明，其中解答中认真审题，主要基本不等式的性质的合理运用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题．。