福建省德化一中2021年高二数学第一次质量检查试卷 理(1)

德化一中2021年秋季高二第一次质量检查
理 科 数 学
本试卷分三大题，共4页。

总分值150分，考试时刻120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中只有一项符合要求． 1．假设R c b a ∈,,，且b a >，那么以下不等式必然成立的是 （ ）
A ．c b c a -≥+
B ．bc ac >
C ．02
>-b a c D ．0)(2
≥-c b a 2．设
{}
n a 是等差数列，假设
273,13
a a ==，那么数列
{}
n a 前8项和为（ ）
Ａ．128 Ｂ．80
Ｃ．64 Ｄ．56
3．以下命题中正确的选项是 （ ）
A ．当
2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且 B ．当0>x 时，21
≥+x x
C ．当
20π
θ≤
<时，
θθsin 2sin +
的最小值为22 D ．当x x x 1
,20-
≤<时无最大值
4．已知等比数列
{}n a 的各项均为正数，前n 项之积为n T ，假设5T ＝1，那么必然有（
）
A ．1a ＝1
B ．
3
a ＝1 C ．4a ＝1 D ．
5
a ＝1
5．不等式x2－2x ＋5≥a2－3a 对任意实数x 恒成立，那么实数a 的取值范围为( ) A. [－1,4] B. (－∞，－2]∪[5，＋∞) C. (－∞，－1]∪[4，＋∞) D. [－2,5]
6．已知△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列，则tan()A C +=（ ）
A
． B ．
-
C
． D ．3 7．已知a ＞0，x ，y 知足约束条件13(3)
x x y y a x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩，且z ＝2x ＋y 的最小值为1，那么a ＝（ ）
A. 1
2
B. 14
C.1
D.2
8.已知等差数列{}n a 的公差0d <，前n 项和n S 知足：20210,0S S ><，那么数列{}n S 中最大的值是（ ）
A.
20
S
B.
19
S C.
10
S D.
9
S
9. 假设数列
{}n a 知足1
1
1
n n a a ＋－
＝d (n ∈N*，d 为常数)，
那么称数列{}n a 为“调和数列”．已知正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，且
12990b b b ++
+=，那么46b b •的最大值是（ ）
A ．10
B ．100
C ．200
D ．400 10、已知f(x)是概念在R 上的不恒为零的函数，且关于任意实数a ，b ∈R 知足：
f(a·b)=af(b)+bf(a)，f(2)=2，an=)()2(*N n n f n ∈，bn=)(2)2(*
N n f n
n ∈，考察以下结论：
①f(0)=f(1)； ②f(x)为偶函数； ③数列{an}为等比数列； ④数列{bn}为等差数列。

其中正确的结论是（ ）
A ．①③④
B ．①②③
C ．①②④
D ．①④ 第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分．
11．已知不等式2
520ax x +->的解集是
{
}
1
22x
x <<，那么实数a 的值为 ．
12.假设实数x ，y 知足1
1211
x y x y x ⎧≤≤⎪⎪
≥-+⎨⎪≤+⎪
⎩，那么1y x +的最大值为 ．
13. 设0,0a b >>
3a
与3b
的等比中项，那么
11
a b +
的最小值为 ． 14．已知数列{}n a 知足n a a a n n =-=+11,8，那么n
a n 的最小值为 ．
15. 数列{}
n a 的通项
22
2(cos sin )33n n n a n ππ
=-，其前n 项和为n S ，那么30S 的值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解许诺写出必要文字说明、证明进程或演算步骤．
16．（本小题总分值13分）设不等式2
54x x ≤-的解集为A ．
（1）求集合A ；
（2）设关于x 的不等式2
(2)20(2)x a x a a -++≤≥的解集为M ，假设M A ⊆，求实数a 的取值范围. 17.（此题总分值13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且25a =，999S =.
（1）求
n a 及n S ；
（2）假设数列
{}n b 知足
24
1n n b a =
-，n N *∈，证明数列{}n b 的前n 项和n T 知足1n T <.
18.（此题总分值13分）在一次人材招聘会上，有A 、B 两家公司别离开出了它们的工资标准：A 公司允诺第一年月工资为1500元，以后每一年月工资比上一年月工资增加230元；B 公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每一年月工资在上一年的月工资基础上递增5％，设某人年初被A 、B 两家公司同时录取.试问： (1) 假设该人别离在A 公司或B 公司持续工作n 年，那么他在第n 年的月工资收入别离是多少？
(2) 该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不记 其它因素），该人应该选择哪家公司，什么缘故？
（参考数据：9
1.05 1.55≈，10
1.05 1.63≈，11
1.05 1.71≈） 19.（此题总分值13分）已知数列n
a 的前n 项和为
n S ，且n S ＝22(1,2,3)n
a n
，数列n b 中，1
1b ，
点
1(,)n n P b b 在直线2
0x
y 上．
（1）求数列
,n n
a b 的通项
n a 和n b ； (2) 设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
20.（此题总分值14分）某商品原先每件售价为25元，年销售量8万件.
（1）依照市场调查，假设价钱每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元？
（2）为了扩大该商品的阻碍力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并
提高定价到x 元.公司拟投入21(600)6x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入1
5x
万元作
为浮动宣传费用. 试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出现在商品的每件定价.
21.（此题总分值14分）已知数列{}n a 的首项1133
,,521n n n a a a n N a *
+==∈+．
（1）求证：数列11n
a ⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （2）记
12
111
n n S a a a =
+++
，假设101n S <，求最大正整数n 的值；
（3）是不是存在互不相等的正整数,,m s n ，使,,m s n 成等差数列，且1,1,1
m s n a a a ---成等比数列？若是存
在，请给予证明；若是不存在，请说明理由. 德化一中2021年秋季高二年第一次质量检查 数学理科试卷参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．
二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分．
11. 2- 12. 5 13.4 14. 27
15. 470
三、解答题：本大题共6小题，共80分． 16.（本小题总分值13分）
解：（Ⅰ）原不等式即为x2-5x+4=（x-1）（x-4）≤0，因此1≤x≤4 ………4分 因此不等式的解集A={x|1≤x≤4} ……………5分 （Ⅱ）不等式等价于（x-a ）（x-2）≤0 ……………6分
假设a ＞2，那么M=[2，a]，要M A ⊆，只需2＜a≤4 …………10分 假设a=2，那么M=2，符合M A ⊆ ……………12分 综上所述，a 的取值范围为2，4] ……………13分 17.（本小题总分值13分） 解：（1）设等差数列
{}n a 的首项为1a ，公差为d .
∵
25a =，999S =，∴
119(28)
5,
992a d a d ++==…………2分
解得 2,31==d a ………………4分 ∴
12+=n a n ,
n
n S n 22+= ………………6分
（2）设
24
1n n b a =
-,n N *∈； ∵12+=n a n ， ∴ )1(412
+=-n n a n
∴
4111
4(1)(1)1n b n n n n n n =
==-
+++ ………………9分
123n n
T b b b b ∴=+++⋅⋅⋅+=
11111(1)()()2231n n -+-++-+=1
11
1n -<+……13分
18.（本小题总分值13分）
解：(1)在A 公司持续工作n 年，那么第n 年的月工资为an ＝1500＋230(n －1)＝230n ＋1270(元) ………3分
在B 公司持续工作n 年，那么第n 年的月工资为bn ＝2000(1＋5
100)n －1＝2000×1.05n －1(元)
………6分
(2)在A 公司持续工作10年，那么其工资总收入为
S10＝1
2[12×(1500＋1500＋9×230)×10]＝304200(元) ………9分
在B 公司持续工作10年，那么其工资总收入为
S'10＝101220001-1.05=302400
1-1.05⨯（）
(元) ………12分
S10＞S'10,故仅从工资收入总量来看，该人应该选择A 公司. ………13分
19.（本小题总分值13分） 解：（1）
1122,22,n n n n S a S a --=-=-
*12,)n n n S S a n n N -≥∈又－＝，（ ………… 2分
122,
0,n n n n a a a a -∴=-≠.
{}*1
2,(2,),n
n n a n n N a a -∴
=≥∈即数列是等比数列。

…………3分
{}112,121
n n n n b b b b b n +∴-=∴=-即数列是等差数列，又＝， ……7分
（2）
(21)2,n n c n -＝
231122123252(21)2,
n n n n T a b a b a b n ∴++
+=⨯+⨯+⨯+
+-＝23121232(23)2(21)2n n n T n n +∴=⨯+⨯+
+-+- ……9分
因此：231
12222222)(21)2n n n T n +-=⨯⨯⨯⨯--＋(＋＋＋ ……10分 即：
341112(222(21)2n n n T n ++-=⨯++++--）
1(23)26n n T n +∴=-+ …………13分
20.（本小题总分值14分）
解：（1）假设每件定价为x 元，依题意，有
[]8(25)0.2258x x --⨯≥⨯，…………2分
整理得2
6510000x x -+≤，解得2540x ≤≤.…………5分
∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最高位40元. …………6分
（2）依题意，25x >时，不等式
211
25850(600)65ax x x
≥⨯++-+有解，……9分 即25x >时，
15011
65a x x ≥
++有解，
∵1501106x x +≥=，…………12分
当且仅当30x =时，等号成立.∴10.2a ≥
∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，现在该商品的每件定价为30元.…………14分 21.（本小题总分值14分）
解：（1）因为
1121
33n n
a a +=+，因此
11111(1)3n n
a a +-=-…………2分
又因为
1
1
10a -≠，因此
1
10()n
n N a *-≠∈，因此数列11n a ⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭为等比数列. ………4分
（2）由（1）可得11211()33n n a --=，因此112()13n n a =+，
1
212
11
11
11111332()21133
3313n n n n
n S n n n a a a +-=
+++
=+++=+=+--，………6分
若
101
n S <，那么
1
11013n n +-
<，所求最大正整数n 的值为100. …………8分
（3）假设存在知足题意的正整数,,m s n ，
则2m n s +=，2
(1)(1)(1)
m n s a a a --=-，………9分
因为332n n n a =+，因此2
333(1)(1)(1)323232m n s
m n s --=-+++，…………11分
化简得，3323m n s
+=，因为332
323m n
m n s ++≥=，…………13分
当且仅当m n =时等号成立，又,,m s n 互不相等， 因此知足题意的正整数,,m s n 不存在. …………14分。