第3课时乘法公式(原卷版)

第三课时——乘法公式
知识点一：平方差公式：
1. 公式内容：
两数的和乘以两数的差等于这两数的 。

即：()()=-+b a b a 。

2. 特点分析：
式子左边是两个二项式相乘，它们其中一项 ，另一项 。

式子右边等于 的平方减去 的平方。

3. 几何意义：
如图，将图①的蓝色部分移到 图②的位置。

图①的面积为：()()b a b a -+ 图②的面积为：22b a -
图①与图②的面积相等。

所以()()22b a b a b a -=-+
【类型一：平方差公式的计算】
1．计算：
（1）（a +2）（a ﹣2）； （2）（3a +2b ）（3a ﹣2b ）；
（3）（﹣x ﹣1）（1﹣x ）； （4）（﹣4k +3）（﹣4k ﹣3）
2．计算：
（1）（2m +3n ）（2m ﹣3n ）； （2）（﹣3a ﹣21b ）（﹣3a +2
1
b ）；
（3）（﹣4x +y ）（y +4x ）； （4）（x +y ）（x ﹣y ）+（y ﹣z ）（y +z ）﹣（x +z ）（x ﹣z ）．
【类型二：利用平方差公式求相关式子的值】
3．已知a +b ＝﹣3，a ﹣b ＝1，则a 2﹣b 2的值是（ ） A ．8
B ．3
C ．﹣3
D ．10
4．若a +b ＝3，则a 2﹣b 2+6b 的值为（ ） A ．3 B ．6
C ．9
D ．12
5．若a 2﹣b 2＝32，a +b ＝2
1
，则a ﹣b 的值为（ ） A ．﹣
2
1
B ．34
C ．2
3
D ．2
6．若x +y ＝2，x 2﹣y 2＝4，则x ﹣y 的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
【类型三：利用平方差公式简便运算】
7．计算：199×201＝（ ） A ．3999
B ．4179
C ．41790
D ．39999
8．计算20202﹣2019×2021的结果是（ ） A ．﹣1
B ．0
C ．1
D ．﹣2
9．化简（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）的结果是（ ） A ．232﹣1
B ．232+1
C ．（216+1）2
D ．（216﹣1）2
【类型四：平方差公式的几何背景】
10．如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2+ab＝a（a+b）
11．如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2+ab＝a（a+b）
12．【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式．（用含a，b的等式表示）
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为．
（2）计算：20192﹣2020×2018．
【拓展】
计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
1. 公式内容：
两数和（或差）的平方等于这两数的平方和加（或减）这两数的积的2倍。

即：()=±2b a 。

其中()=+2b a 叫做完全平方和公式。

()=-2b a 叫做 完全平方差公式。

2. 特点分析
式子左边是一个 平方。

前项称为 ，后项称为 。

式子右边等于 加上 ，首尾两项乘积的 放在平方两项 的中央。

巧记：首平方加尾平方，首尾两倍放中央。

提别提示：注意每一项包含前面的符号。

3. 几何意义：
图1中面积的整体表示为：
()2b a +
用各部分面积之和表示为：
222b ab a ++
所以()2222b ab a b a ++=+
用同样的方法表示图2的面积即可得到()2222b ab a b a +-=-。

4. 完全平方和公式与完全平方差公式的转化： ()2222b ab a b a ++=+，()2222b ab a b a +-=- ∵2222242b ab a ab b ab a +-=-++ ∴()()224b a ab b a -=-+
【类型一：完全平方公式的计算】
（1）（﹣2a +3）2； （2）（﹣3x +2
1）2
，
（4）（﹣x 2﹣4y ）2； （4）（1﹣2b ）2．
14．计算：
（1）（2m +3）2； （2）（﹣1.3a +2b ）2；
（3）（﹣2p ﹣7q ）2； （4）（a ﹣
3
1
b ）2．
【类型二：利用完全平方公式变形求式子的值】
15．已知x ﹣x 1
＝4，则x 2+21x
的值为（ ） A ．6
B ．16
C ．14
D ．18
16．已知a 2+b 2＝8，a ﹣b ＝3，则ab 的值为（ ） A ．
2
3 B ．3 C ．﹣
2
1 D ．5
17．已知x y ＝9，x ﹣y ＝﹣3，则x 2+3xy +y 2的值为（ ） A ．27
B ．9
C ．54
D ．18
18．已知（a +b ）2＝5，（a ﹣b ）2＝3，求下列式子的值： （1）a 2+b 2； （2）6ab ．
19．已知a +b ＝3，ab ＝﹣4，求下列各式的值．
（1）（a ﹣b ）2； （2）a 2﹣5ab +b 2．
【类型三：完全平方公式的几何背景】
20．如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证了一个等式，这个等式是（）
第20题第21题
A．（y+x）2＝y2+xy+x2B．（y+x）2＝y2+2xy+x2
C．（y+x）（y﹣x）＝y2﹣x2D．（y+x）2﹣（y﹣x）2＝4xy
21．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A，B的面积之和为（）
A．13B．11C．19D．21
22．图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的面积
为；
（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，
（m﹣n）2，m n之间的等量关系是；
（3）若x+y＝﹣6，x y＝2.75，求x﹣y；
（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？
知识点一：平方差公式与完全平方公式的推广：
1.平方差公式的推广：
两个三项式相乘，若他们的项中只存在 的项和 的项，则可
以用平方差公式计算。

它等于 的平方减去 的平方。

特别提示：把相反数的所有项看成一项。

即：()()()22c b a c b a c b a -+=-+++ 2. 完全平方公式的推广：
一个三项式的平方，可以把前两项看成首项或后两项看成尾项，然后利用完全平方公式 的计算方法计算。

即：()()()()()2222222c b c b a a c b a c b a c b a ++++=++++=++
23．为了运用平方差公式计算（a ﹣2b +c ）（a +2b ﹣c ），下列变形中，正确的是（ ） A ．[（a +c ）﹣2b ][（a ﹣c ）+2b ] B ．[（a ﹣2b ）+c ][（a +2b ）﹣c ] C ．[a ﹣（2b +c ）][a +（2b ﹣c ）]
D ．[a ﹣（2b ﹣c ）][a +（2b ﹣c ）]
24．为了便于直接应用平方差公式计算，应将（a +b ﹣c ）（a ﹣b +c ）变形为（ ） A ．[（a +b ）﹣c ][（a ﹣b ）+c ] B ．[a +（b ﹣c ）][a ﹣（b ﹣c ）]
C ．[（a ﹣c ）+b ][（a +c ）﹣b ]
D ．（a +b ﹣c ）[（a ﹣b ）+c ]
一、选择题（10题）
1．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+3y）（x﹣3y）B．（﹣2x+3y）（﹣2x﹣3y）
C．（x﹣2y）（2y+x）D．（2x﹣3y）（3y﹣2x）
2．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（）
A．（3a﹣2b）（﹣2b﹣3a）B．（3a+2b）（﹣3a﹣2b）
C．（3a+2b）（﹣2a﹣3b）D．（3a﹣2b）（3a+2b）
3．下列计算正确的是（）
A．（x+y）2＝x2+y2B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy﹣y2
C．（﹣x+y）2＝x2﹣2xy+y2D．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2
4．若（3x+2y）2＝（3x﹣2y）2+A，则代数式A是（）
A．﹣12xy B．12xy C．24xy D．﹣24xy
5．已知x﹣y＝3，x y＝3，则（x+y）2的值为（）
A．24B．18C．21D．12
6．如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
7．为了运用平方差公式计算（x+3y﹣z）（x﹣3y+z），下列变形正确的是（）
A．[x﹣（3y+z）]2B．[（x﹣3y）+z][（x﹣3y）﹣z]
C．[x﹣（3y﹣z）][x+（3y﹣z）]D．[（x+3y）﹣z][（x﹣3y）+z]
8．若|x+y﹣5|+（x y﹣3）2＝0，则x2+y2的值为（）
A．19B．31C．27D．23
9．计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4）的结果是（）
A．a8+2a4b4+b8B．a8﹣2a4b4+b8
C．a8+b8D．a8﹣b8
10．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图
甲和图乙中阴影部分的面积分别为
41和4
13，则正方形A ，B 的面积之和为（ ）
A ．3
B ．3.5
C ．4
D ．4.5
二、填空题（6题）
11．计算：799×801﹣8002＝ ．
12．计算：（a ﹣b ﹣c ）2＝ ． 13．已知：x +
x 1
＝3，则x 2+21x
＝ ．
14．若x m ﹣y n ＝（x +y 2）（x ﹣y 2）（x 2+y 4），则m ＝ ，n ＝ ．
15．已知（2021﹣a ）2+（a ﹣2019）2＝7，则代数式（2021﹣a ）（a ﹣2019）的值为 ． 16．计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+
4
1
＝ ． 三、解答题（4题）
17．已知（x +y ）2＝1，（x ﹣y ）2＝49，求x 2+y 2与x y 的值．
18．如图，AB ＝a ，P 是线段AB 上一点，分别以AP ，PB 为边作正方形． （1）设AP ＝x ，求两个正方形的面积和S ． （2）当AP 分别为a 31
和a 2
1
时，比较S 的大小．
19．回答下列问题 （1）填空：x 2+
2
1x ＝（x +
x 1）2﹣ ＝（x ﹣x
1
）2+ （2）若a +
a 1
＝5，则a 2+21a
＝ ；
（3）若a 2﹣3a +1＝0，求a 2+2
1a
的值．
20．【阅读材料】
我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．
在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x 的正方形，乙种纸片是边长为y 的正方形，丙种纸片是长为y ，宽为x 的长方形，并用甲种纸片一张，
乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
【理解应用】
（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；【拓展升华】
（2）利用（1）中的等式解决下列问题．
①已知a2+b2＝20，a+b＝6，求ab的值；
②已知（2021﹣c）（c﹣2019）＝1，求：
（2021﹣c）2+（c﹣2019）2的值．。