锐角三角函数正切优秀课件
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《锐角三角函数》PPT精选教学优质课件3
初中数学
锐角三角函数
B
一、基本概念
c a 习 1 1.正弦 练 sinA= a c b 如右图所示的Rt⊿ ABC cosA= 2. 余弦 C A 中∠C=90°，a=5，c b 5 a b=12 ，那么 ____ 13 ，定义: 锐角A的正弦、余弦、正切、 tanA= 思 考 3. 正切 sinA= b 12 余切都叫做∠A的锐角三角函数. cotA=______ ， b 5 cotA= 同角的正切与余 4.余切 a 5 切有何关系？ 互为倒数 12 ， tanA = ____
cos2A=( 0 ). sinA=cos（90°- A ） 互余两个角的三角函数关系 ⑶ tan44°tan46°= ( 1 ). cosA=sin（90°- A） 思考： tanA =cot（90°- A） tan29°tan60°tan61°=( 3 ). cotA= tan（90°- A）
三、特殊角三角函数值
30°
注意： 余切值 随着角 度增大 而减小！
3
3. 当∠A为锐角，且 那么（ C ）
1 2 cos A 2 2
(A)0°＜∠A≤ 30 ° (B) 30°＜∠A≤45°
(C)45°＜∠A≤ 60 ° (D) 60°＜∠A≤ 90 °
期中考试注意事项
1.仔细读题（条件与所求）
2.基础题会的一定对
角 度 正弦值 三角函数 如何变 化? 余弦值 sinα 如何变 化? 正切值 cosα 如何变 化? 思 考 余切值 如何变 锐角A的正弦值、余弦 tanα 化 ? 值有无变化范围？
角度 逐渐 增大
0°
0
1 0
不存在
3 0° 45 ° 6 0° 9 0°
1 2
3 2 3 3 2 2 2 2 3 2
锐角三角函数
B
一、基本概念
c a 习 1 1.正弦 练 sinA= a c b 如右图所示的Rt⊿ ABC cosA= 2. 余弦 C A 中∠C=90°，a=5，c b 5 a b=12 ，那么 ____ 13 ，定义: 锐角A的正弦、余弦、正切、 tanA= 思 考 3. 正切 sinA= b 12 余切都叫做∠A的锐角三角函数. cotA=______ ， b 5 cotA= 同角的正切与余 4.余切 a 5 切有何关系？ 互为倒数 12 ， tanA = ____
cos2A=( 0 ). sinA=cos（90°- A ） 互余两个角的三角函数关系 ⑶ tan44°tan46°= ( 1 ). cosA=sin（90°- A） 思考： tanA =cot（90°- A） tan29°tan60°tan61°=( 3 ). cotA= tan（90°- A）
三、特殊角三角函数值
30°
注意： 余切值 随着角 度增大 而减小！
3
3. 当∠A为锐角，且 那么（ C ）
1 2 cos A 2 2
(A)0°＜∠A≤ 30 ° (B) 30°＜∠A≤45°
(C)45°＜∠A≤ 60 ° (D) 60°＜∠A≤ 90 °
期中考试注意事项
1.仔细读题（条件与所求）
2.基础题会的一定对
角 度 正弦值 三角函数 如何变 化? 余弦值 sinα 如何变 化? 正切值 cosα 如何变 化? 思 考 余切值 如何变 锐角A的正弦值、余弦 tanα 化 ? 值有无变化范围？
角度 逐渐 增大
0°
0
1 0
不存在
3 0° 45 ° 6 0° 9 0°
1 2
3 2 3 3 2 2 2 2 3 2
初中数学沪科版九年级上册《锐角三角函数(正切)》优质课公开课课件省级比赛获奖课件
置呢?由此你能得出什么结论?
A
C2
C1
想一想
B2
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三 角 形AB2C2有什么关系?
(2) B1C1 和 B2C2 有什么关系?
AC1 AC2
(3)如果改变B2在梯子上的位
置呢?由此你能得出什么结论?
A
C2 C1
想一想
B2
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三 角 形AB2C2有什么关系?
3） tanA不表示“tan”乘以“A ”
4）初中阶段，我们只学习直角三角形中锐角 的正切。
B
练一练： 1）在Rt△ABC中∠C=90°AC=5,
12 BC=12,tanA=( 12 )
5
A
5
C
B
练一练： 2）在Rt△ABC中∠C=90°AC=5,
13 12 AB=13,tanA=( 12 )
5
D
比眼力 比速度: 哪个梯子更陡？
A E
4m
3m
B
1.5m
F
1.3m
倾斜角越大——梯子陡
铅直高度与 水平宽度的比越大——梯子陡
想一想
B1
B2
A
C2
C1
想一想
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三 角 形AB2C2有什么关系?
B2
A
C2
(2) B1C1 和 B2C2 有什么关系?
AC1 AC2
(3)如果改变B2在梯子上的位
置呢?由此你能得出什么结论?
C1
想一想
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三 角 形AB2C2有什么关系?
B2
A
C2
A
C2
C1
想一想
B2
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三 角 形AB2C2有什么关系?
(2) B1C1 和 B2C2 有什么关系?
AC1 AC2
(3)如果改变B2在梯子上的位
置呢?由此你能得出什么结论?
A
C2 C1
想一想
B2
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三 角 形AB2C2有什么关系?
3） tanA不表示“tan”乘以“A ”
4）初中阶段，我们只学习直角三角形中锐角 的正切。
B
练一练： 1）在Rt△ABC中∠C=90°AC=5,
12 BC=12,tanA=( 12 )
5
A
5
C
B
练一练： 2）在Rt△ABC中∠C=90°AC=5,
13 12 AB=13,tanA=( 12 )
5
D
比眼力 比速度: 哪个梯子更陡？
A E
4m
3m
B
1.5m
F
1.3m
倾斜角越大——梯子陡
铅直高度与 水平宽度的比越大——梯子陡
想一想
B1
B2
A
C2
C1
想一想
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三 角 形AB2C2有什么关系?
B2
A
C2
(2) B1C1 和 B2C2 有什么关系?
AC1 AC2
(3)如果改变B2在梯子上的位
置呢?由此你能得出什么结论?
C1
想一想
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三 角 形AB2C2有什么关系?
B2
A
C2
锐角三角函数—余弦和正切 课件
tan A BC 6 3 . AC 8 4
巩固 1、如图，分别求出下列两个直角三角 形两个锐角的余弦值和正切值。
C 5
B
12
13 （1）
A A
B
13
2 C 3
（2）
随堂练习
1.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的 值为( C )
A. 2 B． 5 C． 1
当A确定时，它的 邻边与斜边的比值 也是固定的。
探究
三、如图，Rt△ABC和Rt△A’B’C’中， ∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’=α，那么
BC 与 B,C, 有什么关系？
AC A,C,
B
B
Aα
C A'
C'
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的
余弦（cosine），记作cosA， 即
cos A AC 4，tan B AC 4 .
AB 5
BC 3
练习
1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
AB=10，tanA=
3 4
，求sinA、AC的值。
B
C
A
小结
在Rt△ABC中
sinA
A的对边 A的斜边
a c
cosA A的的邻边 b A的的斜边 c
tanA
A的的对边 A的的邻边
a b
三角函数的定义：
锐角A的正弦、余弦、正切统称为 锐角三角函数。
B. 3
C. 3
D. 4
3
4
5
5
A
5K
3K
B
4K C
3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
《锐角三角函数》课件
锐角三角函数图像与性质
正弦函数图像及性质
周期性
振幅
相位
图像特点
正弦函数具有周期性，周期为2π。
正弦函数的相位表示函数在水平方向上的移动，通过调整相位可以得到不同位置的正弦波。
正弦函数的振幅为1，表示函数在垂直方向上的波动范围。
正弦函数的图像是一条连续的、平滑的曲线，呈现周期性的波动。
余弦函数图像及性质
202X
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《锐角三角函数》ppt课件
汇报日期
汇报人姓名
目录
锐角三角函数基本概念
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锐角三角函数图像与性质
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锐角三角函数运算规则
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锐角三角函数在实际问题中应用
乘法运算规则
两个锐角三角函数的除法运算，通常转化为同角三角函数的除法运算，再利用同角三角函数的基本关系式进行化简。
除法运算规则
按照先乘除后加减的运算顺序进行乘除混合运算，注意运算过程中的化简和约分。
乘除混合运算规则
复合运算规则
复合函数的定义域
复合函数的值域
复合函数的单调性
复合函数的周期性
01
02
03
钝角三角函数定义
探讨了钝角三角函数的性质，如取值范围、增减性等，以及与锐角三角函数的异同点。
钝角三角函数的性质
介绍了在直角情况下，一些特殊角的三角函数值，如0°、30°、45°、60°、90°等，以及如何利用这些特殊值进行计算和证明。
直角情况下的特殊值
感谢观看
THANKS
渐近线与间断点
02
正弦函数图像及性质
周期性
振幅
相位
图像特点
正弦函数具有周期性，周期为2π。
正弦函数的相位表示函数在水平方向上的移动，通过调整相位可以得到不同位置的正弦波。
正弦函数的振幅为1，表示函数在垂直方向上的波动范围。
正弦函数的图像是一条连续的、平滑的曲线，呈现周期性的波动。
余弦函数图像及性质
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锐角三角函数基本概念
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锐角三角函数图像与性质
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锐角三角函数运算规则
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锐角三角函数在实际问题中应用
乘法运算规则
两个锐角三角函数的除法运算，通常转化为同角三角函数的除法运算，再利用同角三角函数的基本关系式进行化简。
除法运算规则
按照先乘除后加减的运算顺序进行乘除混合运算，注意运算过程中的化简和约分。
乘除混合运算规则
复合运算规则
复合函数的定义域
复合函数的值域
复合函数的单调性
复合函数的周期性
01
02
03
钝角三角函数定义
探讨了钝角三角函数的性质，如取值范围、增减性等，以及与锐角三角函数的异同点。
钝角三角函数的性质
介绍了在直角情况下，一些特殊角的三角函数值，如0°、30°、45°、60°、90°等，以及如何利用这些特殊值进行计算和证明。
直角情况下的特殊值
感谢观看
THANKS
渐近线与间断点
02
锐角三角函数和直角三角形-完整版PPT课件
3 2. 若tan(β+20°）=
β=_____4_0_°_
β为锐角 则
△ABC中，∠C=90°cosB= ,
2 3
5
则sinB的值为____3___
4.如图所示，菱形ABCD中，AC=6，BD=8，∠ABD=α， 则下列结论正确的是D( )
α=
4
5
α=
4
3
3
α=
5
α=
3
4
5 3
4
5.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
250 550┌
B 20 C
D
cosA=sinB=b/c. B tanA=a/b。
c
a
A
C
b
三、特殊角三角函数值
角度
三角函数
sinα cosα tanα
3 0° 45 ° 6 0°
1
2
3
2223源自2122
2
3
1
3
3
四、几个重要关系式：
B
tanA= sin A C
A
cos A
sin2A+cos2A=1
五、几个常用的概念
1.仰角、俯角在我们进行测量时，在视线与水平线所成的 角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的角 叫做俯角(如图所示).
交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE
于点M，且∠B=∠CAE、FE:FD=4:3。
(1)求证：AF=DF；
A
(2)求：∠AED的余弦值； 1 2 4
(3)如果BD=10，
F
M
求△ABC的面积。 3
B 10 D
CN
E
《锐角三角函数》_优秀课件
tan A＝____，tan B＝____．
3．锐角三角函数：∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角__函数__．
4．常用的三角函数关系：(1)同角的三角函数关系：tan α＝
，sin2α＋
cos2α＝1；
(2)互余角的三角函数关系：如果∠A＋∠B＝90°，则有sin A＝cos B，tan A·tan
.求BC的长．
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14．如图，在平面直角坐标系中，已知点B(4，2)，BA⊥x轴于A. (1)求∠AOB的三角函数；
(2)设△OAB绕原点逆时针方向旋转90°后得到△ODE，且点A，B的对应点分别为点D， E，请你画出△ODE； (3)求∠E的正切值．
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15．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin
A＝
3 5
，AB＝10，点O在AB上，以O
为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，连接BD.
算式中不正确的是( C )
A．sin A＝ BD
BC
C．tan A＝ CD
BD
B．cos A＝ AD
AC
D．tan A＝ BD
CD
8．(巴中)如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB＝ ____．
第8题图
第10题图
9．在直角三角形中，斜边与一直角边的比是13∶12，最小角为α，则sin α＝____， cos α＝ ____，tan α＝____． 10．在等腰三角形ABC中，AC＝BC，AB＝8，△ABC的面积为40，则tan A ＝____，tan B＝____．
26.1 锐角三角函数 - 第1课时课件(共19张PPT)
提示:过点A作AD垂直于BC于点D.求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
3.如图,正方形ABCD的边长为4,点M在BC上,M,N两点关于对角线AC对称, 若DM=1，求tan∠ADN的值.
解：由正方形的性质可知，∠ADN=∠DNC，BC=DC=4，∵ M、N两点关于对角线AC对称, ∴ DM=1BN=DM=1.tan∠AND=tan∠DNC= .
知识点 正切的概念
新知探究
思考
在两个直角三角形中，当一对锐角相等时，这两个直角三角形相似，从而两条对应直角边的比相等，即当∠A（小于90°）确定时，以∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比 是确定的.
发现
正切
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作：tanA ，即
在Rt△ABC中，∠C＝90°.（1）如图（1），∠A=30°，求tanA，tanB的值．（2）如图（2），∠A=45°，求tanA的值．
例1
例题示范
随堂演练
1.在△ABC中，已知AC=5，BC=4，AB=3.那么下列各式正确的是（ ）A.tanA= B.tanA=CtanC= DtanC=
课堂小结
正切
定义
对边与邻边的比
表示方法
有关计算
与锐角的大小有关，与三角形边的长短无关
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
A
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，tanA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小 C.不变 D.不能确定
C
3. 如图， P是平面直角坐标系上的一点，且点P的坐标为（3，4），则tan α = .
第 二十六章 解直角三角形
3.如图,正方形ABCD的边长为4,点M在BC上,M,N两点关于对角线AC对称, 若DM=1，求tan∠ADN的值.
解：由正方形的性质可知，∠ADN=∠DNC，BC=DC=4，∵ M、N两点关于对角线AC对称, ∴ DM=1BN=DM=1.tan∠AND=tan∠DNC= .
知识点 正切的概念
新知探究
思考
在两个直角三角形中，当一对锐角相等时，这两个直角三角形相似，从而两条对应直角边的比相等，即当∠A（小于90°）确定时，以∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比 是确定的.
发现
正切
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作：tanA ，即
在Rt△ABC中，∠C＝90°.（1）如图（1），∠A=30°，求tanA，tanB的值．（2）如图（2），∠A=45°，求tanA的值．
例1
例题示范
随堂演练
1.在△ABC中，已知AC=5，BC=4，AB=3.那么下列各式正确的是（ ）A.tanA= B.tanA=CtanC= DtanC=
课堂小结
正切
定义
对边与邻边的比
表示方法
有关计算
与锐角的大小有关，与三角形边的长短无关
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
A
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，tanA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小 C.不变 D.不能确定
C
3. 如图， P是平面直角坐标系上的一点，且点P的坐标为（3，4），则tan α = .
第 二十六章 解直角三角形
九年级数学上册 第4章 锐角三角函数 4.2 正切导学课件
2021/12/12
第十四页，共二十三页。
4.2 正 切
例 6 教材补充例题 如图 4－2－3，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， BC＝AC，D 为 AC 的中点，求 tan∠ABD 的值．
2021/12/12
图 4－2－3
第十五页，共二十三页。
4.2 正 切
解：如图，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E.设 AC＝BC＝2a，根据勾股定 理得 AB＝2 2a.∵D 为 AC 的中点，∴AD＝a.∵在 Rt△ABC 中，BC＝ AC，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠A＝∠ABC＝45°.又∵DE⊥AB， ∴△ADE 是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝ 22a，∴BE＝AB－AE＝3 2 2a， ∴tan∠ABD＝DBEE＝13.
第十七页，共二十三页。
4.2 正 切
总结(zǒngjié)反思
小结(xiǎojié)
知识点一 正切(zhèngqiē)的定义
在直角三角形中，锐角 α 的__对_边___与__邻__边__的比叫作角 α
角α的对边
的正切，记作 tanα，即 tanα＝角 __α__的_邻__边___． 如图 4－2－4，在 Rt△ABC 中，锐角 α
2021/12/12
第六页，共二十三页。
4.2 正 切
如图 4－2－2，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，tanA＝BACC，tanB＝ABCC， 所以 tanA·tanB＝1.
2021/12/12
图4－2－2
第七页，共二十三页。
4.2 正 切
例 2 教材补充例题 已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，tanB＝23， BC＝9.求 AB 的长．
与用计算器由锐角的正、余弦值求角度(jiǎodù)相同，仅按的键不
锐角三角函数——余弦和正切 优质课件
第 二 十 八
第二十八章 锐角三角函数章锐 角 Nhomakorabea 角 函 数
28.1 第2课时 余弦和正切
探究 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角
A 确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定. B
此时，其他边之间的比是否也确定了 呢？
A
C
28.1 第2课时 余弦和正切
在RtABC和RtA'B'C'中，C C'
A
BC AB
160
3， 5
10 6
cos
A
AC AB
180
54,
tan
A
BC AC
6 8
43.
28.1 第2课时 余弦和正切
练习 1.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、 余弦值和正切值.
(1)sin A= 5 , cos A 12 , tan A 5 ; sin B=12 , cos B= 5 , tan B=12.
28.1 第2课时 余弦和正切
在Rt△ ABC中,∠C =90°,把∠A的邻边与斜 边的比叫做∠A的余弦,记作cosA，即
cos
A
A的邻边 斜边
b c
.
c b
a
28.1 第2课时 余弦和正切
在Rt△ABC中,∠C=90°,把∠A的对边与邻边 的比叫做∠A的正切,记作tan A，即
tan
A
A的对边 A的邻边
28.1 第2课时 余弦和正切 3.在Rt△ABC中，∠A的∠正A切的是对边与邻边 __tAa_n______tA_a=_n___AA_的的__邻对_边边_；的记比作_______,即 _________________. 4.在Rt△ABC中，∠A的对边习惯上记作a， ∠B的 对边记作b,斜边记作c, sin A=______, sin B=_______,cos A=______,cos B=_______, tan A=_____,tan B=_____.
第二十八章 锐角三角函数章锐 角 Nhomakorabea 角 函 数
28.1 第2课时 余弦和正切
探究 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角
A 确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定. B
此时，其他边之间的比是否也确定了 呢？
A
C
28.1 第2课时 余弦和正切
在RtABC和RtA'B'C'中，C C'
A
BC AB
160
3， 5
10 6
cos
A
AC AB
180
54,
tan
A
BC AC
6 8
43.
28.1 第2课时 余弦和正切
练习 1.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、 余弦值和正切值.
(1)sin A= 5 , cos A 12 , tan A 5 ; sin B=12 , cos B= 5 , tan B=12.
28.1 第2课时 余弦和正切
在Rt△ ABC中,∠C =90°,把∠A的邻边与斜 边的比叫做∠A的余弦,记作cosA，即
cos
A
A的邻边 斜边
b c
.
c b
a
28.1 第2课时 余弦和正切
在Rt△ABC中,∠C=90°,把∠A的对边与邻边 的比叫做∠A的正切,记作tan A，即
tan
A
A的对边 A的邻边
28.1 第2课时 余弦和正切 3.在Rt△ABC中，∠A的∠正A切的是对边与邻边 __tAa_n______tA_a=_n___AA_的的__邻对_边边_；的记比作_______,即 _________________. 4.在Rt△ABC中，∠A的对边习惯上记作a， ∠B的 对边记作b,斜边记作c, sin A=______, sin B=_______,cos A=______,cos B=_______, tan A=_____,tan B=_____.
28章锐角三角函数全章ppt课件
问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的 距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．
问题（1）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°，斜
边AB＝6，求∠A的对边BC的长．
B
由 sin A BC 得 AB
BC AB sin A 6sin 75
由计算器求得 sin75°≈0.97
α
A
C
所以 BC≈6×0.97≈5.8
因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的 角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜边AB＝6， 求锐角a的度数
由于
B
cos a AC 2.4 0.4
AB 6
tan A BC 8k 8 AC 15k 15
例题示范
例3： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90° B
1.求证：sinA=cosB，sinB=cosA
2.求证：tan A sin A ;tan A 1
cos A
tan B
3.求证：sin2 A cos2 A 1
A
C
sin2 A sin A sin A
如图，Rt△ABC中，直角边AC、BC小于斜边AB，
sin A BC ＜1
AB
sin B AC AB
＜1
A
C
所以0＜sinA ＜1, 0＜sinB ＜1, 如果∠A ＜ ∠B,则BC＜AC , 那么0＜ sinA ＜sinB ＜1
探究
精讲
如图，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，当锐角A确定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确 定，此时，其他边之间的比 是否也确定了呢？为什么？
锐角三角函数正切优质课一等奖课件
请思考： 梯子在上升变“陡” 的过程中，哪些量发生了变化？
实践出真知
请思考： 梯子在上升变“陡” 的过程中，哪些量发生了变化？
实践出真知
请思考： 梯子在上升变“陡” 的过程中，哪些量发生了变化？
实践出真知
B
请思考： 梯子在上升变“陡” 的过程中，哪些量发生了变化？
A
C
实验结论应用
如图，比较梯子AB和EF哪个更陡？
闯关题：第三级
如图所示，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图， 高度AC的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防 洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，
求增加的宽度BD的长？
驶向胜利 的彼岸
12 m
三角函数的由来
∠A的对边
a
tanA=
=
∠A的邻边
b
c
a
b
16世纪，德国数学家雷提库斯把锐角三角函 数定义为直角三角形的边长之比，并采用了六个 函数（正切、正弦、余弦、余切、正割、余割）。 三角函数在建筑，航海及天文等方面测量、计算 中有着重要的作用.
复习回顾
勾股定理
直 角 三 角 形
第一章 解直角三角形
锐角三角函数
第1课时 B
A
C
1.通过生活中梯子倾斜的引例，经历探索直角三 角形中边角关系的过程.理解正切的意义，并会用正 切值来判断梯子或斜坡的陡与缓.
2.会用正切表示直角三角形中两直角边的比，并 能进行简单的计算.
B
A
C
数学实验室
实验工具：课本、两把直尺（一长一短）
AC AC1 AC2
证明：∵∠A=∠A ∠ACB = ∠AC1B1=∠AC2B2 ∴ Rt△ACB ∽ Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2
实践出真知
请思考： 梯子在上升变“陡” 的过程中，哪些量发生了变化？
实践出真知
请思考： 梯子在上升变“陡” 的过程中，哪些量发生了变化？
实践出真知
B
请思考： 梯子在上升变“陡” 的过程中，哪些量发生了变化？
A
C
实验结论应用
如图，比较梯子AB和EF哪个更陡？
闯关题：第三级
如图所示，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图， 高度AC的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防 洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，
求增加的宽度BD的长？
驶向胜利 的彼岸
12 m
三角函数的由来
∠A的对边
a
tanA=
=
∠A的邻边
b
c
a
b
16世纪，德国数学家雷提库斯把锐角三角函 数定义为直角三角形的边长之比，并采用了六个 函数（正切、正弦、余弦、余切、正割、余割）。 三角函数在建筑，航海及天文等方面测量、计算 中有着重要的作用.
复习回顾
勾股定理
直 角 三 角 形
第一章 解直角三角形
锐角三角函数
第1课时 B
A
C
1.通过生活中梯子倾斜的引例，经历探索直角三 角形中边角关系的过程.理解正切的意义，并会用正 切值来判断梯子或斜坡的陡与缓.
2.会用正切表示直角三角形中两直角边的比，并 能进行简单的计算.
B
A
C
数学实验室
实验工具：课本、两把直尺（一长一短）
AC AC1 AC2
证明：∵∠A=∠A ∠ACB = ∠AC1B1=∠AC2B2 ∴ Rt△ACB ∽ Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2
《锐角的三角函数——正切》PPT课件
第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
第1课时 锐角的三角函 数——正切
学习目标
1 课时讲解 正切函数的定义、
正切函数的应用、 坡度和坡角
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
复习提问 引出问题
汽车免不了爬坡，爬坡能力是衡量汽车性能的重要指 标之一.汽车的爬坡能力是指汽车在通常情况下满载时所能 爬越的最大坡度.怎样描述坡面的坡度（倾斜程度）呢？
知1－导
过点B作另一边的垂线BC，垂足为
C，得到Rt△ABC；再任取一点B1， 过点B1作另一边的垂线B1C1，垂足 为C1，得到另一个Rt△AB1C1…… 这样，我们可以得到无数个直角三角形，这些直角三角形
都相似.在这些直角三角形中，锐角A的对边与邻边之比
BC , B1C1 , B2C2 ……究竟有怎样的关系？
(17a)2 (15a)2 8a ，再用正切的定义求解得tan A＝
BC 15 . AC 8
感悟新知
归纳
知1－讲
直角三角形中求锐角正切值的方法： (1)若已知两直角边，直接利用正切的定义求解； (2)若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先利用
勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义求解．
所以它没有单位．
感悟新知
例1
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,
15
则tan A＝____8____．
AB 17 BC 15
知1－练
导引：由正切定义可知tan A＝ BC ，在本题已知两边之比
AC
的情况下，可运用参数法，由
AB 17
BC 15
，可设BC＝
15a，AB＝17a，从而可用勾股定理表示出第三边AC＝
23.1 锐角的三角函数
第1课时 锐角的三角函 数——正切
学习目标
1 课时讲解 正切函数的定义、
正切函数的应用、 坡度和坡角
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
复习提问 引出问题
汽车免不了爬坡，爬坡能力是衡量汽车性能的重要指 标之一.汽车的爬坡能力是指汽车在通常情况下满载时所能 爬越的最大坡度.怎样描述坡面的坡度（倾斜程度）呢？
知1－导
过点B作另一边的垂线BC，垂足为
C，得到Rt△ABC；再任取一点B1， 过点B1作另一边的垂线B1C1，垂足 为C1，得到另一个Rt△AB1C1…… 这样，我们可以得到无数个直角三角形，这些直角三角形
都相似.在这些直角三角形中，锐角A的对边与邻边之比
BC , B1C1 , B2C2 ……究竟有怎样的关系？
(17a)2 (15a)2 8a ，再用正切的定义求解得tan A＝
BC 15 . AC 8
感悟新知
归纳
知1－讲
直角三角形中求锐角正切值的方法： (1)若已知两直角边，直接利用正切的定义求解； (2)若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先利用
勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义求解．
所以它没有单位．
感悟新知
例1
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,
15
则tan A＝____8____．
AB 17 BC 15
知1－练
导引：由正切定义可知tan A＝ BC ，在本题已知两边之比
AC
的情况下，可运用参数法，由
AB 17
BC 15
，可设BC＝
15a，AB＝17a，从而可用勾股定理表示出第三边AC＝
苏科版九年级数学下册《锐角三角函数正切》ppt
你收ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ了什么？
定义：在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的对边a与邻
边b的比叫做∠A的正切,记作tanA= a
b
方(Fang)法用：定义求正切值 结论：锐角θ的正切值随锐角θ的增大而增大。
第二十二页，共二十三页。
结 束寄语 (Jie)
锐角三角函数描述了直角三角形中边
与角的关系,它是两个变量之间的函数 关系,既新奇,又富有魅力,我们一定要与
它建立好感情！
第二十三页，共二十三页。
A
C1
C2
C3
（如图）你能用学过的知识证明在不同的直角三角形
中：
吗？ B1C1 ＝ B2C2 ＝ B3C3
AC1 第十二页，共二十三页。
AC2
AC3
小结：
B
A
C
从操作、实验和演绎推理我们得出：
当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边(Bian) 与邻边(Bian)比值也是确定的。
第十三页，共二十三页。
倾斜程度？
MBD
N
可以(Yi)用如图中的CD与BD的比值来描述吗？
第九页，共二十三页。
请同学们拿出操作单
量一量图中的：B1C1、AC1、B2C2、AC2、
B3C3、AC3
算一算 系？
B1C1
AC1
,
, B2C2
AC2
B3C它3 们什么关
AC3
B3 B2 B1
A
第十页，共二十三页。
C1
C2
C3
想 一想 (Xiang)
0.36 （2）锐角的正切值随
300
0.58 着角的增大而增大吗?
450
1.00
550
锐角三角函数 正弦PPT课件
B
C A
分析：这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A＝30°,BC＝35m，求AB.
在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要
准备多长的水管？
B' B
50m 35m
A
C C'
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那
根据“直角三角形中，30度角所对的边等于斜边的一半”，
BC=5，则sin A的值是（
）
A. 5 13
B. 12
13
C. 5
12
D. 13
5
【解析】选A．由正弦的定义可得
sin A BC 5 . AB 13
2.在平面直角坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则
sin∠OAB等于__4__. 3.在Rt△ABC中,∠5 C=90°,AD是BC边上的中
个角的对边与斜边的比都等于 2 .
C
B
2
结论：
综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°
时，∠A的对边与斜边的比都等于 1 ，是一个固定值；当 2
∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 2，也是一
2
个固定值.
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边
的比是否也是一个固定值？
BC
AB
AC
表示.∵∠B=∠ACD ，
A
∴sin B=sin∠ACD.
┌ DB
在Rt△ACD中，AD= AC2－CD2 52－32 4，
sin ∠ACD=AD 4 ,
AC 5
∴sin B= 4 .
5
求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为 求和它相等角的正弦值.
C A
分析：这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A＝30°,BC＝35m，求AB.
在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要
准备多长的水管？
B' B
50m 35m
A
C C'
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那
根据“直角三角形中，30度角所对的边等于斜边的一半”，
BC=5，则sin A的值是（
）
A. 5 13
B. 12
13
C. 5
12
D. 13
5
【解析】选A．由正弦的定义可得
sin A BC 5 . AB 13
2.在平面直角坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则
sin∠OAB等于__4__. 3.在Rt△ABC中,∠5 C=90°,AD是BC边上的中
个角的对边与斜边的比都等于 2 .
C
B
2
结论：
综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°
时，∠A的对边与斜边的比都等于 1 ，是一个固定值；当 2
∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 2，也是一
2
个固定值.
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边
的比是否也是一个固定值？
BC
AB
AC
表示.∵∠B=∠ACD ，
A
∴sin B=sin∠ACD.
┌ DB
在Rt△ACD中，AD= AC2－CD2 52－32 4，
sin ∠ACD=AD 4 ,
AC 5
∴sin B= 4 .
5
求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为 求和它相等角的正弦值.
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想一想
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三 角 形AB2C2有什么关系?
B2 A
C2
(2) B 1C 1 和 B 2 C 2 有什么关系?
AC 1 AC 2
(3)如果改变B2在梯子上的位
置呢?由此你能得出什么结论?
C1
想一想
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三 角 形AB2C2有什么关系?
B2
梯子在上升变陡过程中，倾斜 角，铅直高度与水平宽度的比 发生了什么变化？
铅 直 高 度
水平宽度
倾斜角越大——梯子陡 铅直高度与 水平宽度的比越大——梯子陡
练
比眼力 比速度: 哪个梯子更陡？
B
E
（1）
（2）
5m
5m
A
2m
F
2.5m
D
比眼力 比速度: 哪个梯子更陡？B源自E（1）（2）
5m
4m
A
2m
随之确定, 这个比叫做
∠A的正切. 记作:tanA 读？
c
∠A的对边
∠A的对边
tanA
a
∠A的邻边
A
∠A的邻边
b
C
思考 前面我们讨论了梯子 的倾斜程度，梯子的倾斜程 度与tanA有关系吗？
睁开眼吧，小心看吧
B
练一练： 1）在Rt△ABC中∠C=90°AC=5,
12 BC=12,tanA=( 12 )
5
A
5
C
睁开眼吧，小心看吧
B
练一练： 2）在Rt△ABC中∠C=90°AC=5,
13 12 AB=13,tanA=( 12 )
5
A
5
C
睁开眼吧，小心看吧
B
练一练：
12
3）在Rt△ABC中∠C=90°AC=5,
5
BC=12,tanB=( )
12
A
5
C
睁开眼吧，小心看吧
B
练一练：
13 12 4）在Rt△ABC中∠C=90°AC=5,
∠1的正切表示为:tan∠1
2） tanA没有单位，它表示一个比值，即直 角三角形中∠A的对边与邻边的比。
3） tanA不表示“tan”乘以“A ”
4）初中阶段，我们只学习直角三角形中锐角 的正切。
梯子越陡，tanA的值越大； 反过来， tanA的值越大，梯子越陡。
正切也经常用来描述山坡的坡度
梯子越陡，tanA的值越大； 反过来， tanA的值越大，梯子越陡。
正切也经常用来描述山坡的坡度
在现实生活中，自行车是很重要的交
通工具，小明骑自行车上学要经过两段上
坡路，要想骑得同样快，小明能使同样大
的劲吗？
B
A
60m
α
100m
坡角：坡面与水平面的夹角
坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比
比一比看谁做得快而准
1)在直角三角形中,一个锐角所对的 直角边与相邻直角边的比,叫做这 个角的( 正切 )
F
2m
D
比眼力 比速度: 哪个梯子更陡？
A E
4m
3m
B
1.5m
F
1.3m
倾斜角越大——梯子陡 铅直高度与 水平宽度的比越大——梯子陡
定
想一想
B1
B2
A
C2
C1
想一想
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三 角 形AB2C2有什么关系?
B2
A
C2
(2) B 1C 1 和 B 2 C 2 有什么关系?
置呢?由此你能得出什么结论?
A
C2 C1
想一想
B2
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三 角 形AB2C2有什么关系?
(2) B 1C 1 和 B 2 C 2 有什么关系?
AC 1 AC 2
(3)如果改变B2在梯子上的位
置呢?由此你能得出什么结论?
A
C2 C1
∠A的正切 在Rt△ABC中, 如果 锐角A确定, B 那么∠A的对边与邻边的比
3
4
反思
例:如图BD是△ABC的角平分线, 你能判断△ABC是什么三角形?你 能根据图中所给数据求出tanC吗?
B
1.5
A
D 4
C
反思
如图:求tanC=( C )
(A) 1 (B) 5 ( C) 4
6
3
B
5
5
4
A 3 D6 3
C
反思
注意：1）tanA是一个完整的符号，它表示 ∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”。 但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC,
高
倾斜角
度
水平宽度
梯子在上升变陡过程中，倾斜 角，铅直高度与水平宽度的比 发生了什么变化？
铅 直 高 度
水平宽度
梯子在上升变陡过程中，倾斜 角，铅直高度与水平宽度的比 发生了什么变化？
铅 直 高 度
水平宽度
梯子在上升变陡过程中，倾斜 角，铅直高度与水平宽度的比 发生了什么变化？
铅 直 高 度
水平宽度
梯子在上升变陡过程中，倾斜 角，铅直高度与水平宽度的比 发生了什么变化？
梯子在上升变陡过程中，倾斜 角，铅直高度与水平宽度的比 发生了什么变化？
梯子在上升变陡过程中，倾斜 角，铅直高度与水平宽度的比 发生了什么变化？
梯子在上升变陡过程中，倾斜 角，铅直高度与水平宽度的比 发生了什么变化？
铅
直
(2) B 1C 1 和 B 2 C 2 有什么关系?
AC 1 AC 2
(3)如果改变B2在梯子上的位
置呢?由此你能得出什么结论?
A
C2
C1
想一想
B2
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三 角 形AB2C2有什么关系?
(2) B 1C 1 和 B 2 C 2 有什么关系?
AC 1 AC 2
(3)如果改变B2在梯子上的位
AC 1 AC 2
(3)如果改变B2在梯子上的位
置呢?由此你能得出什么结论?
C1
想一想
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三 角 形AB2C2有什么关系?
B2
A
C2
(2) B 1C 1 和 B 2 C 2 有什么关系?
AC 1 AC 2
(3)如果改变B2在梯子上的位
置呢?由此你能得出什么结论?
C1
AB=13,tanB=( 5 ) 12
A
5
C
睁开眼吧，小心看吧
B
练一练：
5）在Rt△ABC中∠A=90°AC=3,
4 BC=4,tanC=( 4 ),tanB=( 3 )
3
4
C
3
A
B
3
A
睁开眼吧，小心看吧
4
练一练：
6）在Rt△ABC中∠B=90°
C AC=5,AB=3,tanA=( 4 ),
tanC=( 3 )
锐角三角函数正切优秀课件
独立感悟，勇于思考，才 能真正做到“温故而知新”， 从而成为驾驭学习的主人。
取宝物比赛
咋判断陡？
选哪个？
10m
10m
（1）
1m
5m
（2）
梯子在上升变陡过程中，倾斜 角，铅直高度与水平宽度的比 发生了什么变化？
铅
直
高
倾斜角
度
水平宽度
梯子在上升变陡过程中，倾斜 角，铅直高度与水平宽度的比 发生了什么变化？
2) 在直角三角形中,两锐角的正切互 为( 倒数 )关系.
3) △ABC中∠C=90°,AC=6,
4 AB=10,tanA的值是( 3 )
C
A
B
4)如图,在Rt△ABC中AC=3,AB=√13,