高中数学必修2第二章知识点+习题+答案

用心做教育，做良心教育。

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第二章 直线与平面的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系
平面含义：平面是无限延展的
2 平面的画法及表示
（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成
450
，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等
表示，如平面α、平面β等，也可
以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

3 三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为
A ∈L
D C
B
A
α
α
用心做教育，做良心教育。

2
B ∈L => L α A ∈α B ∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：
C ·
B
·
A
· α P
· α L
β
用心做教育，做良心教育。

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相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线
a ∥
b
c ∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般
取在两直线中的一条上；
共面直线 =>a ∥c
2
②两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3 —空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内——有无数个公共点
（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行——没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
用心做教育，做良心教育。

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a α a∩α=A a∥α
.直线、平面平行的判定及其性质
直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

用心做教育，做良心教育。

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符号表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3 —直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。

用心做教育，做良心教育。

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符号表示：
a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
直线、平面垂直的判定及其性质
用心做教育，做良心教育。

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直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。

如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。

L
p
α
2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
用心做教育，做良心教育。

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2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2.3.3 —直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

第二章点、直线、平面之间的位置关系
A组
一、选择题
1．设，为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且l⊂，m⊂β，有如下的两个命题：①若∥，则l∥m；②若l⊥m，则⊥．那么( )．
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题D．①②都是假命题
2．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误
．．的是( )．
用心做教育，做良心教育。

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A．BD∥平面CB 1D1
B ．A
C 1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
(第2题)
D．异面直线AD与CB 1角为60°
3．关于直线m，n与平面，，有下列四个命题：
①m ∥，n ∥且∥，则m∥n ；②m ⊥，n ⊥且⊥，则m⊥n；
③m⊥，n∥且∥，则m⊥n；④m∥，n⊥且⊥，则m∥n．
其中真命题的序号是( )．
A．①②B．③④C．①④D．②③
4．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行
②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行
用心做教育，做良心教育。

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④若直线l1，l2是异面直线，则与l 1，l2都相交的两条直线是异面直线
其中假．命题的个数是( )．
A．1 B ．2 C ．3 D．4
5．下列命题中正确的个数是( )．
①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥
②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行
③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行
④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面( )．
A．不存在B．有唯一的一个C．有无数个D．只有两个
7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )．
用心做教育，做良心教育。

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A．90°B．60°C．45°D．30°
8．下列说法中不正确的
．．．．是( )．
A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形
B．同一平面的两条垂线一定共面
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
9．给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直
其中真命题的个数是( )．
用心做教育，做良心教育。

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A ．4 B．3 C．2 D．1
10．异面直线a，b所成的角60°，直线a⊥c，则直线b与c所成的角的范围为( )．A．[30°，90°] B．[60°，90°] C．[30°，60°]D．[30°，120°]
二、填空题
11．已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为．
12．P是△ABC所在平面外一点，过P作PO⊥平面，垂足是O，连PA，PB，PC．
(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的心；
(2)PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PB，则O是△ABC的心；
(3)若点P到三边AB，BC，CA的距离相等，则O是△ABC的心；
(4)若PA＝PB＝PC，∠C＝90º，则O是AB边的点；
(5)若PA＝PB＝PC，AB＝AC，则点O在△ABC的线上．
13．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分
J
用心做教育，做良心教育。

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别为AF，AD ，BE，DE 的中点，将△ABC 沿DE ，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为．
14．直线l与平面所成角为30°，l∩＝A，直线m∈，则m与l所成角的取值范围
是．
15．棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d1，d2，d3，d4，则d1＋d2＋d3＋d4的值为．
16．直二面角－l－的棱上有一点A，在平面，内各有一条射线AB，AC与l
成45°，AB⊂，AC⊂，则∠BAC＝．
三、解答题
17．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．
用心做教育，做良心教育。

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(1)求证：BC⊥AD；
(2)若点D到平面ABC的距离等于3，求二面角A－BC－D的正弦值；
(3)设二面角A－BC－D的大小为，猜想为何值时，四面体A－BCD 的体积最大．(不要求证明)
(第17题)
用心做教育，做良心教育。

15
18．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．
(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；
(2)求二面角E－DB－C的正切值.
(第18题)
用心做教育，做良心教育。

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19*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，
1．
SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝１，AD＝
2
(1)求四棱锥S—ABCD的体积；
(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．
用心做教育，做良心教育。

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(提示：延长BA，CD相交于点E，则直线SE是
所求二面角的棱.)
(第19题)
20*．斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体用心做教育，做良心教育。

18
积．(提示：在AA1上取一点P，过P作棱柱的截面，使AA1垂直于这个截面.)
(第20题)
用心做教育，做良心教育。

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第二章点、直线、平面之间的位置关系
参考答案
一、选择题
1．D 解析：命题②有反例，如图中平面∩平面＝直线n，
l⊂，m ⊂，
且l∥n，m⊥n ，则m ⊥l，显然平面不垂直平面，(第1题)
故②是假命题；命题①显然也是假命题，
2．D解析：异面直线AD与CB1角为45°．
3．D解析：在①、④的条件下，m，n 的位置关系不确定．
4．D解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案D．
5．B解析：学会用长方体模型分析问题，A1A有无数点在平面ABCD外，但用心做教育，做良心教育。

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AA 1与平面ABCD 相交，①不正确；A1B1∥平面ABCD，显然A1B1不平行于BD ，②不正确；A1B1∥AB，A 1B1∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD内，③不正确；l与平面α平行，则l 与无公共点，l 与平面内的所有直线都没有公共点，④正确，应选B． (第5题)
6．B解析：设平面过l1，且l2∥，则l1上一定点P与l2确定一平面，与
的交线l3∥l2，且l3 过点P. 又过点P与l2平行的直线只有一条，即l3有唯一性，所以经过l1和l3的平面是唯一的，即过l1且平行于l2的平面是唯一的.
7．C解析：当三棱锥D－ABC体积最大时，平面DAC⊥ABC，取AC的中点O，则△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°．
8．D解析：A．一组对边平行就决定了共面；B．同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C．这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D．把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．9．B解析：因为①②④正确，故选B．
10．A解析：异面直线a，b所成的角为60°，直线c⊥a，过空间任一点P，作直线a’∥a， b’用心做教育，做良心教育。

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用心做教育，做良心教育。

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∥b ， c ’∥c . 若a ’，b ’，c ’ 共面则 b ’ 与 c ’ 成 30° 角，否则 b ’ 与 c ’ 所成的角的范围为(30°，90°]，所以直线b 与c 所成角的范围为[30°，90°] ． 二、填空题 11．3
1
3
212S S S ．解析：设三条侧棱长为 a ，b ，c ．
则 2
1ab ＝S 1，2
1bc ＝S 2，2
1ca ＝S 3 三式相乘： ∴ 8
1a 2
b 2
c 2
＝S 1S 2S 3，
∴ abc ＝2
3
212S S S ．
∵ 三侧棱两两垂直， ∴ V ＝3
1abc ·2
1＝3
1
3
212S S S ．
12．外，垂，内，中，BC 边的垂直平分．
解析：(1)由三角形全等可证得 O 为△ABC 的外心；
(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的垂心； (3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的内心；
用心做教育，做良心教育。

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(4)由三角形全等可证得，O 为 AB 边的中点；
(5)由(1)知，O 在 BC 边的垂直平分线上，或说 O 在∠BAC 的平分线上．
13．60°．解析：将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为60°． 14．[30°，90°]．解析：直线l 与平面
所成的30°的角为m 与l 所成角的最小值，当
m 在
内适当旋转就可以得到l ⊥m ，即m 与l 所成角的的最大值为90°．
15．
3
6．解析：作等积变换：4
331⨯
×(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)＝4
331⨯
·h ，而h ＝
3
6．
16．60°或120°．解析：不妨固定AB ，则AC 有两种可能． 三、解答题
17．证明：(1)取BC 中点O ，连结AO ，DO ． ∵△ABC ，△BCD 都是边长为4的正三角形， ∴AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，且AO ∩DO ＝O ， ∴BC ⊥平面AOD ．又AD ⊂平面AOD ，
∴BC ⊥AD ． (第17题)
用心做教育，做良心教育。

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解：(2)由(1)知∠AOD 为二面角A －BC －D 的平面角，设∠AOD ＝，则过点D 作DE ⊥AD ，垂足
为E ．
∵BC ⊥平面ADO ，且BC ⊂平面ABC ，
∴平面ADO ⊥平面ABC ．又平面ADO ∩平面ABC ＝AO ， ∴DE ⊥平面ABC ．
∴线段DE 的长为点D 到平面ABC 的距离，即DE ＝3． 又DO ＝
2
3BD ＝2
3
，
在Rt △DEO 中，sin ＝DO
DE ＝
2
3， 故二面角A －BC －D 的正弦值为2
3．
(3)当
＝90°时，四面体ABCD 的体积最大．
18．证明：(1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点．∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC ＝45°．∴︒=∠90DEC ，即DE ⊥EC ．
在长方体ABCD －1
1
11D C B A 中，BC ⊥平面1
1
DCC D ，又DE ⊂平面1
1
DCC D ，
用心做教育，做良心教育。

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∴BC ⊥DE ．又C BC EC =I ，∴DE ⊥平面
EBC ．∵平面DEB 过DE ，∴平面DEB ⊥平面EBC ．
中作EO ⊥DC 于O ．在长方体ABCD － (2)解：如图，过E 在平面1
1
DCC
D ∴EO ⊥面ABCD ．过O 在平面DBC 中作1111D C B A 中，∵面
ABCD⊥面1
1
DCC D ，
OF ⊥DB 于F ，连结EF ，
∴EF ⊥BD ．∠EFO 为二面角E －DB －C 的平面角．利用平面几何知识可得OF ＝
5
1
， (第18题)
又OE ＝1，所以，tan ∠EFO ＝
5
．
19*．解：(1)直角梯形ABCD 的面积是M 底面＝AB AD BC ⋅)(＋2
1＝
4
3＝1221
＋
1⨯，
∴四棱锥S —ABCD 的体积是V ＝3
1·SA ·M 底面＝3
1×1×4
3＝4
1．
(2)如图，延长BA ，CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱． ∵AD ∥BC ，BC ＝2AD ， ∴EA ＝AB ＝SA ，∴SE ⊥SB
∵SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线．
用心做教育，做良心教育。

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又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB 上的射影，
∴CS ⊥SE ，∠BSC 是所求二面角的平面角． ∵SB ＝
2
2＋AB SA ＝
2，BC ＝1，BC ⊥SB ，
∴tan ∠BSC ＝2
2＝
SB
BC ， (第19题)
即所求二面角的正切值为2
2．
20*．解：如图，设斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1
的侧面BB 1C 1C 的面积为10，A 1A 和面BB 1C 1C 的距离为6，在AA 1上取一点P 作截
面PQR ，使AA 1⊥截面PQR ，AA 1∥CC 1，∴
截面PQR ⊥侧面BB 1C 1C ，过P 作PO ⊥QR 于O ，则PO ⊥侧面BB 1C 1C ，且PO ＝6．
∴V 斜＝S △PQR ·AA 1＝2
1·QR ·PO ·AA 1
＝21·PO ·QR ·BB 1
＝2
1×10×6 ＝30．
(第20题)。