两类四重线性码的构造

两类四重线性码的构造
杜小妮;吕红霞;王蓉;李丽
【摘要】低重线性码在数据存储系统、通信系统和消费类电子产品中具有广泛应用,因此确定线性码的重量分布是编码理论中一个重要的研究方向.通过选取适当的定义集,构造了两类四重的线性码,并基于高斯和理论得到了该码的重量分布的精确值.
【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2018(054)006
【总页数】4页(P1-4)
【关键词】线性码;重量分布;高斯和;重量枚举
【作者】杜小妮;吕红霞;王蓉;李丽
【作者单位】西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州 730070;西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州 730070;西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州 730070;西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州 730070
【正文语种】中文
【中图分类】TN918
0 引言
设p为素数,m为正整数,q=pm,Fq是含有q个元素的有限域,F*q表示Fq中全体非零元素组成的集合.Fq上的一个[n,k,d]线性码C是的一个最小距离为d的k维子
空间,n为正整数.设Ai是长度为n的码C中汉明重量为i的码字的个数.码C的重量枚举定义为其中A0=1.序列(1,A1,A2,…,An)称为码C的重量分布.若
{1≤i≤n:Ai≠0}=t,则称C为t重码.
线性码由于具有良好的代数结构,一直是纠错编码理论研究的热点之一.线性码的最小重量不仅表明了码的纠错能力,还可以用来计算信息在传输过程中产生的错误概率,较低重量的线性码更在结合方案[1]、认证码[2-3]、组合设计[4]以及秘密共享方案[5]等方面有着极其重要的应用.确定一般线性码的重量分布是十分困难的,仅有少数线性码可以确定其重量分布.
文献[6-8]引入了一种线性码的一般构造方法,设集合D={d1,d2,…,dn}⊆Fq,则Fq 上长度为n的线性码定义为
称集合D为线性码CD的定义集，这里用tr(α)=α+αp+…+αpm-1(∀α∈Fq)表示由Fq到Fp的迹函数[9].丁存生等[10]提出通过选择合适的定义集D可以构造一些较低重量的线性码.
文献[11]构造了一类三重和五重线性码，并由完全重量分布给出了重量分布.杨淑娣等[12]选择定义集D={x∈F*q:tr(x)∈Sq}和D={x∈F*q:tr(x)∈Nsq},其中Sq和Nsq分别表示F*p中所有的二次剩余和二次非剩余元素的集合,构造线性码
CD={(tr(ax2))x∈D:a∈Fq},得到了几类三重线性码的重量分布.文中在pm情形下,选择定义集为
D={x∈Fq:tr(x)∈Sq,Tr(x2)=0},(2)
构造线性码
CD={(tr(ax))x∈D:a∈Fq},(3)
其中p为奇素数,m>2.
对任意的b∈Fq,Fq上的加法特征[9]定义为其中为一个p次本原单位根.显然对任
意的x∈Fq,χ0(x)=1,称χ0为Fq的平凡加法特征.Fq上的加法特征满足正交性[9]: Fq的乘法特征[9]定义为
其中g是F*q的一个生成元.补充定义λj(0)=0.Fq和Fp上的高斯和定义为和其中和分别表示Fp上的乘法和加法特征.称乘法特征η:=λ(q-1)/2为Fq的二次特征,记为Fp的二次特征.令
1 预备知识
下面先给出几个引理.
引理1[1] 若f(x)=a2x2+a1x+a0∈Fq[x],a2≠0,则
引理2[7] 设η和分别是Fq和Fp上的二次特征,则对∀y∈F*p,当m为偶数时，η(y)=1;当m为奇数时，
引理3[9] 设η是Fq上的二次特征,则其中
引理4[11] 定义N(u,v)={x∈Fq:tr(x2)=u,tr(x)=v, u,v∈Fp},则有
(1)当u=0,v=0时,
(2)当u=0,v≠0时,
(3)当u≠0,v≠0时,
(4)当u≠0,v=0时,
显然，码CD的长度
2 线性码CD的重量分布
令T={x∈Fq:tr(x)=b2,tr(x2)=0,tr(ax)=0},b∈F*p.对任意的a∈Fq,码字c(a)∈CD,则c(a)的重量为
(4)
显然,
其中,
引理5 符号含义如上,则有
(1)当m为偶数时,
(2)当m为奇数时,
证明由引理1,有
由引理2,结论显然成立. 】
引理6 符号含义如上,则有
(1)当m为偶数时,
(2)当m为奇数时，
证明由引理1,有
下证m为奇数的情形,m为偶数时类似.
由引理2可知
则当tr(a2)=0时,
当tr(a2)≠0时,
综上，结论成立. 】
引理7 符号含义如上,则有
(1)当a=0时,T=pm-2;当a∈F*p时,T=0.
(2)当a∈F*q\F*p时,若m为偶数,则
若m为奇数,则
证明由(5)式,Ω1,Ω2的取值以及引理5和引理6可得结论. 】
定理1 当m为偶数时,码CD的参数为[(p-1)pm-2/2,m],其重量分布见表1.
表1 m为偶数时,码CD的重量分布Tab 1The weight distribution of code CD when m is even重量频数01(p-1)pm-2/2p-1(p-1)(pm-2-pm-3)/2pm-1-p(p-1)(pm-2-pm-3+p-2Gm)/2(p-1)2pm-2(p-1)(pm-2-pm-3-p-2(p-1)Gm)/2(p-1)pm-2
证明码CD的重量分布由(4)式及引理7可得,频数由引理4可得. 】
例1 设p=3,m=6,则Magma程序表明,码CD的参数为[81,6,48],其重量枚举为1+240x54+324x57+162x48+2x81,与定理1的结论一致.
定理2 当m为奇数时,码CD的参数为[(p-1)pm-2/2,m],其重量分布见表2.
表2 m为奇数时,码CD的重量分布Tab 2The weight distribution of code CD when m is odd重量频数01(p-1)pm-2/2p-1(p-1)(pm-2-pm-3)/2(2p-1)pm-2-p(p-1)(pm-2-pm-3-p-2GmG)/2(p-1)2pm-2/2(p-1)(pm-2-pm-3+p-
2GmG)/2(p-1)2pm-2/2
证明码CD的重量分布由(4)式及引理7可得.设Ai是码CD中汉明重量为i的码字的个数.显然A0=1当且仅当a=0,An=p-1当且仅当a∈F*p.对于a∈F*q\F*p,有
当tr(a2)≠0,tr(a)≠0且分别为1和-1时,有A(p-1)pm-2-pm-3-p-2GmG2与
A(p-1)pm-2-pm-3+p-2GmG>2成立,此时由引理4(3)得频数为(p-1)2pm-2/2. 】例2 设p=5,m=5,则Magma程序表明,码CD的参数为[250,5,190],其重量枚举为1+1000x190+1120x200+1000x210+4x250,与定理2的结论一致.
3 结束语
文中通过选取适当的定义集，构造了两类四重线性码,并确定了其重量分布.文中定
义的线性码可能具有更短的长度和更高的信息率,因此,它们可以使用文献[2-3]的框架构建身份验证代码,并且这些线性码的重量分布能够决定某些攻击成功的概率.
参考文献:
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