显示偏好理论

显示偏好理论
显示偏好理论是模型消费者选择行为的另一种方法，它是直接对消费者
行为强加一个显示偏好弱公理，这类似于偏好理论对消费者偏好强加一个理
性假设，显示偏好理论是偏好理论的一般化。

2.1 选择规则
消费者选择行为用选择结构来表示，一个选择结构))(,(⋅B C 由两部分
组成：
(1) B 是消费集X 的非空子集族。

B 的元素X B ⊂称为预算集。

预算集
可理解为在经济环境约束下的所有可行的选择对象的集合。

(2) )(⋅C 是一个选择规则，对于每一个X B ⊂，有B B C ⊂)(，)(B C 可
理解为消费者面对预算集B 时实际作出的选择。

例子 2.1.1：假设},,{z y x X =，{
}},,{},,{z y x y x =B ，如果}{}),({1x y x C =，}{}),,({1x z y x C =，那么))(,(1⋅B C 是一个选择结构。

如果}{}),({2x y x C =，},{}),,({2y x z y x C =，那么))(,(2⋅B C 也是一个选
择结构。

它表明当决策者面对预算集},{y x 时她选择x ，面对预算集
},,{z y x 时她选择x 或y 。

当使用选择结构模型消费者选择行为时，我们必须给它强加一些理性
约束，由萨缪尔森第一次提出的显示偏好弱公理便是一个重要的假设。

定义2.1.1: 选择结构))(,(⋅B C 满足显示偏好弱公理，如果它满足下面的性
质：如果对于某个B y x B ∈B ∈,,，有)(B C x ∈，那么对于任意的
)(,,,B C y B y x B '∈'∈B ∈'，必须有)(B C x '∈。

显示偏好弱公理要求当y 可得到时我们选择了x ，那么找不到其它的包
含x 和y 的预算集，选择了y 而没有选择x 。

例如如果}{}),({x y x C =，
那么显示偏好弱公理要求不能有}{}),,({y z y x C =。

下面由选择规则)(⋅C 定义一个显示偏好关系* ，用显示偏好关系*
可
以更简单地陈述显示偏好弱公理。

定义2.1.2: 给定一个选择结构))(,(⋅B C ，显示偏好关系* 定义为：y x * 当
且仅当存在某个B ∈B 使得)(,,B C x B y x ∈∈。

注意到，显示偏好关系* 不一定是完备的和传递的，因为要比较x 和y ，必须存在某个B ∈B 使得B y x ∈,且要么B x ∈，要么B x ∈，要么两
者同时成立。

由显示偏好关系* 可导出严格显示偏好关系* ，我们说x 严格显示偏
好y ，如果存在某个B ∈B 使得)(,,B C x B y x ∈∈但B y ∉。

记为y x *。

用显示偏好关系陈述显示偏好弱公理为：如果y x * ，那么y 不能严格
显示偏好x 。

在前面的例子中，选择结构))(,(1⋅B C 满足显示偏好弱公理，但选择结
构))(,(2⋅B C 不满足显示偏好弱公理，由于由},{}),,({2y x z y x C =有x y *
，但由}{}),({2x y x C =有y x * 。

2.2 偏好关系和选择规则之间的关系
假设某个人在消费集X 上有一个理性偏好关系 ，对于X 中的一个非
空子集B ，定义},:{),(*B y y x B x B C ∈∈=对每个 ，由此可产生一个选择结构)),(,(* ⋅B C ，我们说这个选择结构是由理性偏好关系 产生的。

命题2.2.1: 假设 是理性偏好关系，那么由 产生的选择结构))
,(,(*
⋅B C 满足显示偏好弱公理。

证明：假设对某个B ∈B ，有),(,,* B C x B y x ∈∈，那么由),(* B C 的定义，有y x 。

假设有另一个B ∈'B ，),(,,*
B C y B y x '∈'∈，从而对
于所有B z '∈，有z y ，而已知y x ，由传递性，对于所有B z '∈，有z x ，从而),(* B C x '∈，故)),(,(* ⋅B C 满足显示偏好弱公理。

这个命题表明，如果消费者行为是为了追求效用最大化，那么她的行为
一定满足显示偏好弱公理。

从这个意义上说，显示偏好理论是偏好理论的一
般化。

下面我们考察偏好关系和选择规则之间的反方向的关系，由此有下面的
定义：
定义2.2.1: 给定一个选择结构))(,(⋅B C ，如果存在一个理性偏好关系 使
得对所有B ∈B 有),()(*
B C B C =，那么我们说理性偏好关系 相对于B 而言理性化选择规则)(⋅C ，也即是偏好关系 产生选择结构))(,(⋅B C 。

显然如果理性化偏好关系存在，那么由命题2.2.1，选择结构))(,(⋅B C 一
定满足显示偏好弱公理，但是如果选择结构))(,(⋅B C 满足显示偏好弱公理，
不一定存在理性化偏好关系理性化选择规则)(⋅C 。

例子2.2.1：假设
{}}{}),({,},{},,},,{},,,{x y x C z x z y y x z y x X ==B =，
}.{}),({},{}),({z z x C y z y C ==这个选择结构满足显示偏好弱公理，但是
不存在理性化偏好。

事实上，如果存在理性化偏好，那么由于
}{}),({x y x C =，必定有y x ，同样地，由于}{}),({y z y C =，必定有
z y ，由传递性有z x ，但这与}{}),({z z x C =矛盾。

但是当B 中包含
足够多的子集时，理性化偏好是存在的，我们有下面的命题：
命题2.2.2: 如果))(,(⋅B C 是一个选择结构满足
（1）显示偏好弱公理，
（2） B 中包含X 中的所有元素个数小于或等于3的子集。

那么存在一个理性化偏好关系 相对于B 而言理性化选择规则)(⋅C ，并且
这样的理性化偏好关系是唯一的。

证明：理性化偏好关系的一个自然选择是显示偏好关系* ，为此我们必须
证明三点：（1）*
是理性的，（2）对于所有的),()(,** B C B C B =B ∈有，（3）* 是理性化)(⋅C 的唯一偏好关系。

下
面我们分别加以证明。

（1）我们检查*
是理性的
完备性：由条件（2），B ∈},{y x ，由于要么}),({y x C x ∈，要么}),({y x C y ∈ ，要么两者同时成立，故要么y x * ，要么x y *
，要么两者同时成立，因此* 是完备的。

传递性：假设y x * ，z y * ，考虑预算集B ∈},,{z y x ，我们只需证明
}),,({z y x C x ∈，由此蕴涵z x *。

由于Φ≠}),,({z y x C ，假如
}),,({z y x C y ∈，由于y x * ，由显示偏好弱公理必须}),,({z y x C x ∈。

假如}),,({z y x C z ∈，由于z y * ，由显示偏好弱公理必须}),,({z y x C y ∈，从而必须}),,({z y x C x ∈。

故传递性成立。

（2）我们要证明对于所有的),()(,** B C B C B =B ∈有
首先，假设)(B C x ∈，那么对于所有B y ∈，有y x * ，故),(** B C x ∈，这意味着),()(** B C B C ⊂。

其次，如果),(** B C x ∈，这意味着对于
所有B y ∈，y x * ，对于每一个B y ∈，一定存在一个B ∈y B ，使得
)(,,y y B C x B y x ∈∈，而Φ≠)(B C ，如果)(B C x ∈，这就是我们所要
的结果，如果)(B C y ∈，由显示偏好弱公理必须)(B C x ∈，故
),()(** B C B C ⊃。

综上所述有),()(*
* B C B C =。

（3）由于B 中包含了所有的二元素子集，有选择规则)(⋅C 完全决定了理
性化偏好关系，从而理性化偏好关系是唯一的。

2.3 消费者选择
假设消费者面对的所有商品个数为n ，所有可能的消费组合X ，称为消
费集，为简单见，取n R X +=，商品价格向量为),,,(21n p p p p =。

我们
假设消费者不能影响价格水平，消费者的收入水平为m ，她的预算集为
}:{,m x p R x B n m p ≤⋅∈=+。

对于价格-财富对),(m p ，消费者作出的选择记为),(m p x ，称它为普
通需求对应或瓦尔拉斯需求对应，需求对应实际上确定了一个选择规则，这
里我们假设需求对应),(m p x 关于m p 和是零次齐次的且满足瓦尔拉斯律。

定义2.3.1：瓦尔拉斯需求对应),(m p x 关于m p 和是零次齐次的，如果对于
所有的0,>α和m p 有),(),(m p x m p x =αα。

零次齐次性是说如果价格和财富以同样的比例变化，那么消费者的选择
不会改变。

这是合理的，因为m p m p B B αα,,=，也即消费者面对的选择对象
是一样的。

定义 2.3.2：瓦尔拉斯需求对应),(m p x 满足瓦尔拉斯律，如果对于每一个
00>>>m p 和，对所有m x p m p x x =⋅∈有),(。

瓦尔拉斯律是说消费者花费掉她的所有财富，从广义上理解，消费者在
生命期内花费掉她的所有资源。

为简单见，下面我们总是假设),(m p x 是单值的并且假设它是连续可微
的。

我们知道瓦尔拉斯需求函数实际上是给出了一个选择规则，进而给出了
一个选择结构，这样一个选择结构满足显示偏好弱公理用瓦尔拉斯需求函数
可表述为：
对于两个价格-财富对),(),(m p m p ''和，如果m m p x p ≤''⋅),(且
),(),(m p x m p x ''≠，那么m m p x p '>⋅'),(。

读者可自己验证一下，这和2.1节给出的弱公理的定义是一致的。

下面我们探讨弱公理的含义。

弱公理对于价格变化对需求的影响有着重要
的含义。

这里我们专门化价格变化为补偿价格变化，补偿价格变化要求如果
消费者原先面对的价格-财富对为),(m p ，消费者的选择为),(m p x ，那么
当价格变到p '时，财富要随着调整到),(m p x p m '='，使得在新的价格-
财富对为),(m p ''下仍能消费得起),(m p x 。

下面的命题2.3.1反映了弱公理与补偿价格变化对需求的影响之间的关
系。

命题 2.3.1: 假设瓦尔拉斯需求函数),(m p x 关于m p 和是零次齐次的且满
足瓦尔拉斯律。

那么),(m p x 满足显示偏好弱公理当且仅当下列性质成立：
对于任意的补偿价格变化，也即从),(m p 到)),(,(),(m p x p p m p ''=''，我
们有
0)],(),([)(≤-''⋅-'m p x m p x p p （2.3.1）
当),(),(m p x m p x ''≠时严格不等式成立。

证明：(1) 必要性。

如果),(),(m p x m p x ''=，显然成立。

如果
),(),(m p x m p x ''≠，
（2.3.1）式左边可以写成 )]
,(),([)],(),([)],(),([)(m p x m p x p m p x m p x p m p x m p x p p -''--'''=-''⋅-' （2.3.2） 由于补偿价格变化，我们有),(m p x p m '='，由瓦尔拉斯律，
),(m p x p m '''='，因此
0)],(),([=-''⋅'m p x m p x p （2.3.3）
由于m m p x p '='),(，由显示偏好弱公理，m m p x p >''⋅),(，由瓦尔拉斯
律，),(m p px m =，故0)],(),([>-''⋅m p x m p x p （2.3.4）
综合（2.3.2），（2.3.3），（2.3.4）便得到所要的结果。

（2）充分性。

利用下列事实直接加以证明：弱公理成立当且仅当它对于
所有的补偿价格变化成立，也即，如果对于任意两对价格-财富对
),(),(m p m p ''和，只要m m p x p =''⋅),(，),(),(m p x m p x ''≠，就有
m m p x p '>'),(，那么弱公理成立。

考虑补偿价格变化从)),(,(),(),(m p x p p m p m p ''=''到，由于它满足
（2.3.1）式，利用（2.3.2），（2.3.3），（2.3.4）可以得到m m p x p >''⋅),(，
故弱公理成立。

不等式（2.3.1）可以缩写成0≤∆⋅∆x p ，这里p p p -'=∆，
),(),(m p x m p x x -''=∆。

它表明价格的变化和需求的变化方向相反。

因
为它对所有的补偿价格变化成立，我们因此称它为补偿需求律。

命题2.3.1的微分含义是特别重要的。

我们考虑开始的价格-财富对为
),(m p ，价格的一个微小变化dp ，补偿性收入变化为dp m p x dm ),(=，
利用链导法则，我们有
dm m p x D dp m p x D dx m p ),(),(+=
因此]),()[,(),(dp m p x m p x D dp m p x D dx m p ⋅+=
或等价地dp m p x m p x D m p x D dx T
m p ]),(),(),([+=
由命题2.3.1，如果弱公理成立，那么有 0]),(),(),([≤+dp m p x m p x D m p x D dp T m p T
在中括号里的表达式是n n ⨯矩阵，我们把它记为),(m p S ，且记
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=m p s m p s m p s m p s m p S nn n n ,(,(),(),(),(1111 这里),(),(),(m p x m
m p x p m p x s k l k l lk ∂∂+∂∂=
矩阵),(m p S 称为斯勒茨基矩阵。

总结以上分析，我们得到下面的命题2.3.2：
命题2.3.2：假设瓦尔拉斯需求函数),(m p x 关于m p 和是零次齐次的且满足
瓦尔拉斯律和显示偏好弱公理，那么对于任意的价格-财富对),(m p ，斯勒
茨基矩阵满足下列性质：对于任意n R v ∈有 0),(≤v m p S v T
，也即斯勒茨基矩阵是负半定的。

这个命题并不蕴涵),(m p S 是对称的。

可以证明当2=n 时，),(m p S 是
对称的，但当2>n 时，),(m p S 不一定是对称的。

命题2.3.3：如果瓦尔拉斯需求函数),(m p x 是可微的，关于m p 和是零次齐
次的且满足瓦尔拉斯律，那么对于任意的价格-财富对),(m p ，有
0),(,0),(==p m p S m p S p T 。

证明：由于),(m p x 关于m p 和是零次齐次的，由欧拉方程我们有
0),(),(=+m m p x D p m p x D m p
由瓦尔拉斯律，m m p x p =⋅),(，代入上式可得
0]),(),(),([=+p m p x m p x D p m p x D T m p
也即0),(=p m p S 。

对m m p x p =⋅),(两边分别对p 和m 求导得到
1),(,
0),(),(==+m p x D p m p x m p x D p m T T p T 组合上两式可得
0]),(),(),([=+T m p T m p x m p x D m p x D p
也即0),(=m p S p T。

我们可以把命题2.3.2和命题2.3.3 的结果同命题1.7.2的结果加以比
较，除了对称性以外，斯勒茨基矩阵的另外两个性质是一样的，这就给出了
两种需求理论的异同，显然显示偏好理论比古典需求理论更一般些。

练习
2.1假设),(m p x 是零次齐次的。

证明显示偏好弱公理成立当且仅当
某个0>m ，所有p p ',，只要),(),(,),(m p x m p x m m p px ≠'≤'，
就有m m p x p >'),(。

2.2 考虑选择结构))(,(⋅B C ，这里{}},,{},,{z y x y x =B ，}{}),({x y x C =，
证明如果))(,(⋅B C 满足显示偏好弱公理，必须有 },{},{},{}),,({z x z x z y x C ===或或 。

2.3证明当2=n 时，),(m p S 是对称的。

2.4 证明如果瓦尔拉斯需求函数是有追求效用最大化产生的，那么它一定满
足显示偏好弱公理。

2.5 证明如果瓦尔拉斯需求函数满足显示偏好弱公理，那么它一定是零次齐
次的。

2.6 考虑某个消费者对商品1和商品2的需求，当商品的价格为（2，4）时
她的需求为（1，2），当商品的价格为（6，3）时，她的需求是 （2，
1），这个消费者的行为是否是追求效用最大化？。