高中数学 第二章 参数方程 第1节 第3课时 参数方程和

第3课时 参数方程和普通方程的互化
[核心必知]
参数方程和普通方程的互化
(1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型，曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．
(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．
[问题思考]
1．将参数方程化为普通方程的实质是什么？
提示：将参数方程化为普通方程的实质是消参法的应用． 2．将普通方程化为参数方程时，所得到的参数方程是唯一的吗？
提示：同一个普通方程，选取的参数不同，所得到的参数方程也不同，所以在写参数方程时，必须注明参数是哪一个．
根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程．
(1)（x －1）2
3＋（y －2）2
5＝1，x ＝3cos θ＋1.(θ为参数)
(2)x 2
－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1.(t 为参数)
[精讲详析] 本题考查化普通方程为参数方程的方法，解答本题只需将已知的变量x 代入方程，求出y 即可．
(1)将x ＝3cos θ＋1代入（x －1）2
3＋（y －2）
2
5
＝1得：
y ＝2＋5sin θ.
∴⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋1，
y ＝5sin θ＋2.
(θ为参数) 这就是所求的参数方程．
(2)将x ＝t ＋1代入x 2
－y ＋x －1＝0得：
y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1
＝t 2
＋3t ＋1 ∴⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2＋3t ＋1.
(t 为参数)
这就是所求的参数方程．
(1)求曲线的参数方程，首先要注意参数的选取，一般来说，选择参数时应注意以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x ，y )都能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与x ，
y 的相互关系比较明显，容易引出方程．
(2)选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．
1．把方程xy ＝1化为以t 为参数的参数方程是( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 1
2，y ＝t －12
B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t ，y ＝1sin t
C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝1cos t
D.⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝tan t ，y ＝1
tan t 解析：选D 由xy ＝1得x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，而A 中x ∈[0，＋∞)，B 中x ∈[－1，1]，C 中x ∈[－1，1]，只有D 选项中x 、y 的取值范围与方程xy ＝1中x 、y 的取值范围相对应．
分别在下列两种情况下，把参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1
2
（e t ＋e －t
）cos θ，
y ＝1
2（e t
－e
－t
）sin θ
化为普通
方程：
(1)θ为参数，t 为常数； (2)t 为参数，θ为常数．
[精讲详析] 本题考查化参数方程为普通方程的方法，解答本题需要分清谁为参数，谁为常数，然后想办法消掉参数．
(1)当t ＝0时，y ＝0，x ＝cos θ，即|x |≤1，且y ＝0； 当t ≠0时，cos θ＝x 12（e t ＋e －t ），sin θ＝y
12（e t －e －t ），
而sin 2
θ＋cos 2
θ＝1， 即
x 214（e t ＋e －t ）2＋y 2
14
（e t －e －t ）2＝1.
(2)当θ＝k π，k ∈Z 时，y ＝0，x ＝±12(e t ＋e －t
)，
即|x |≥1，且y ＝0；
当θ＝k π＋π2，k ∈Z 时，x ＝0，y ＝±12(e t －e －t
)，
即x ＝0； 当θ≠
k π
2
，k ∈Z 时， 得⎩⎪⎨⎪⎧e t
＋e
－t
＝
2x cos θ，e t －e
－t ＝2y sin θ，即⎩
⎪⎨⎪
⎧2e t
＝2x cos θ＋2y sin θ
，2e －t
＝2x cos θ－2y sin θ
. 得2e t
·2e －t
＝(2x cos θ＋2y sin θ)(2x cos θ－2y sin θ
)， 即
x 2
cos 2
θ
－y 2
sin 2
θ
＝1.
(1)将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有：
①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．
②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如对于参数方程⎩⎪⎨
⎪⎧x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t cos θ，y ＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －1t sin θ，如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2
θ＋cos 2
θ＝1消参；如果θ是常数，t
是参数，那么可以利用⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －1t 2
＝4消参．
(2)一般来说，如果消去曲线的参数方程中的参数，就可以得到曲线的普通方程，但要注意，这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的．
2．已知某曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，
y ＝at 2
(其中t 是参数，a ∈R )，点M (3，1)在该曲线上．
(1)求常数a ；
(2)求曲线C 的普通方程．
解：(1)由题意可知有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝3at 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，
a ＝1，∴a ＝1.
(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，
y ＝t 2
. 由第一个方程得t ＝
x －1
2
代入第二个方程得y ＝(
x －1
2
)2，即(x －1)2
＝4y 为所求.
已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，
y ＝3sin θ(θ为参数)． (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π
2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线x －2y －7
＝0距离的最小值．
[精讲详析] 本题考查化参数方程为普通方程的方法以及点到直线的距离的求法．解答本题需要先把题目条件中的参数方程转化为普通方程，然后根据普通方程解决问题．
(1)C 1：(x ＋4)2
＋(y －3)2
＝1，C 2：x 264＋y 2
9
＝1.
C 1为圆心是(－4，3)，半径是1的圆．
C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
(2)当t ＝π2时，P (－4，4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M (－2＋4cos θ，2＋3
2sin θ)．M
到C 3的距离d ＝
5
5
|4cos θ－3sin θ－13| ＝
55|5sin (φ－θ)－13|(φ为锐角且tan φ＝43
)． 从而当sin (φ－θ)＝1时，d 取得最小值855.
(1)将参数方程转化为我们所熟悉的普通方程是解决问题的关键． (2)将所求的问题用恰当的参数表示，是解决此类问题的转折点．
3．已知方程y 2
－6y sin θ－2x －9cos 2
θ＋8cos θ＋9＝0，(0≤θ＜2π)． (1)试证：不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线； (2)θ为何值时，该抛物线在直线x ＝14上截得的弦最长，并求出此弦长．
解：(1)证明：将方程y 2
－6y sin θ－2x －9cos 2
θ＋8cos θ＋9＝0可配方为(y －3sin θ)2
＝2(x －4cos θ)
∴图象为抛物线
设其顶点为(x ，y )，则有⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，
y ＝3sin θ，
消去θ得顶点轨迹是椭圆x 216＋y 2
9
＝1. (2)联立⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝14，
y 2－6y sin θ－2x －9cos 2
θ＋8cos θ＋9＝0， 消去x ，得
y 2－6y sin θ＋9sin 2θ＋8cos θ－28＝0.
弦长|AB |＝|y 1－y 2|＝47－2cos θ， 当cos θ＝－1，即θ＝π时，弦长最大为12.
曲线的参数方程化为普通方程是解决参数方程问题的根本方法，也是高考命题的重点内容，它体现了转化与化归的数学思想．湖北高考中，以射线(极坐标方程)与曲线(参数方程)相交为背景设置问题，是高考命题的一个新亮点．
[考题印证]
(湖北高考)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
系．已知射线θ＝π
4与曲线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝（t －1）2
，(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．
[命题立意] 本题主要考查参数方程与普通方程的互化，射线的极坐标方程及联立方程解方程组的解题思想．
[解析] 记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将θ＝π
4，转化为直角坐标方程为y ＝x (x ≥0)，曲
线为y ＝(x －2)2
，联立上述两个方程得x 2
－5x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝5，故线段AB 的中点坐标为(52，52
)．
答案：(52，5
2
)
一、选择题
1．将参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2
θ，
y ＝sin 2
θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2
C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)
D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)
解析：选C 化为普通方程：y ＝x －2，但是x ∈[2，3]，y ∈[0，1]．
2．下列在曲线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，
y ＝cos θ＋sin θ(θ为参数)上的点是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－34，12
C ．(2，3)
D ．(1，3)
解析：选B 化为普通方程：y 2
＝1＋x (－1≤x ≤1)， 当x ＝－34时，y ＝±12
.
3．曲线的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2
＋2，
y ＝t 2
－1(t 是参数)，则曲线是( ) A ．线段 B ．双曲线的一支 C ．圆 D ．射线
解析：选D 消去参数得：x －3y －5＝0，且x ≥2，故是射线．
4．与参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，
y ＝21－t
(t 为参数)等价的普通方程为 ( )
A ．x 2
＋y 24
＝1
B ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1)
C ．x 2＋y 24
＝1(0≤y ≤2)
D ．x 2＋y 2
4＝1(0≤x ≤1，0≤y ≤2)
解析：选D x 2
＝t ，y 2
4＝1－t ＝1－x 2，x 2
＋y 2
4＝1，而由⎩
⎪⎨⎪⎧t ≥0
1－t ≥0得0≤t ≤1，从而0≤x ≤1，
0≤y ≤2.
二、填空题
5．曲线的参数方程是⎩⎪⎨
⎪⎧x ＝1－1t ，
y ＝1－t 2
(t 为参数，t ≠0)，则它的普通方程为________．
解析：1－x ＝1t ，t ＝11－x ，而y ＝1－t 2
，
即y ＝1－(11－x )2＝x （x －2）（x －1）
2(x ≠1)． 答案：y ＝
x （x －2）
（x －1）
2(x ≠1)
6．参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝e t
＋e －t
，
y ＝2（e t －e －t
）(t 为参数)的普通方程为________． 解析：⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝e t ＋e －t
，
y 2
＝e t －e －t
，
⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y
2＝2e t ，x －y 2
＝2e －t
，⇒(x ＋y 2)(x －y 2)＝4.
答案：x 24－y 2
16＝1(x ≥2)
7．若点(x ，y )在圆⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ
(θ为参数)上，则x 2＋y 2
的最小值是________．
解析：法一：由题可知，x 2
＋y 2
＝(3＋2cos θ)2
＋(－4＋2sin θ)2
＝29＋12cos θ－ 16sin θ＝29＋20cos (θ＋φ)(tan φ＝4
3)，当cos (θ＋φ)＝－1时最小，因此可得最
小值为9.
法二：将原式转化为普通方程(x －3)2
＋(y ＋4)2
＝4，它表示圆．令t ＝x 2
＋y 2
，则t 可看做圆上的点到点(0，0)的距离的平方，圆外一点与圆上点的最近距离为该点与圆心的距离减去半径，t min ＝()（0－3）2
＋（0＋4）2－22
＝9，
所以x 2＋y 2
的最小值为9. 答案：9
8．点(x ，y )是曲线C ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)上任意一点，则y
x 的
取值范围是________．
解析：曲线C ：⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ
是以(－2，0)为圆心，1为半径的圆，即(x ＋2)2
＋
y 2＝1.
设y
x
＝k ， ∴y ＝kx .
当直线y ＝kx 与圆相切时，k 取得最小值与最大值． ∴|－2k |
k 2
＋1
＝1，k 2
＝13. ∴y x
的范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－33，33. 答案：⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤－
33，33 三、解答题
9．化下列参数方程为普通方程．
(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝
1－t
1＋t
，y ＝2t 1＋t
(t ∈R 且t ≠－1)；
(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ＋1
tan θ，y ＝1cos θ＋1
sin θ
⎝ ⎛⎭⎪⎫θ≠k π，k π＋π2，k ∈Z .
解：(1)变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2
1＋t
，y ＝2－2
1＋t .
∴x ≠－1，y ≠2， ∴x ＋y ＝1(x ≠－1)．
(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1
sin θcos θ， ①y ＝sin θ＋cos θsin θ·cos θ. ②
②式平方结合①得y 2
＝x 2
＋2x ， 又x ＝tan θ＋1
tan θ
知|x |≥2，
所以方程为(x ＋1)2
－y 2＝1(|x |≥2)．
10．求直线x ＋y ＝2被圆⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，
y ＝3sin α(α为参数)截得的弦长．
解：将圆⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α化为普通方程为x 2＋y 2
＝9.圆心O 到直线的距离d ＝22＝2，
∴弦长L ＝2R 2－d 2
＝29－2＝27.
所以直线x ＋y ＝2被圆⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，
y ＝3sin α截得的弦长为27.
11．已知曲线C 的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)，直线
l 的方程是4x ＋3y －8
＝0.
(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；
(2)设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求|MN |的最大值． 解：(1)曲线C 的普通方程为x 2
＋(y －1)2
＝1. (2)在方程4x ＋3y －8＝0中， 令y ＝0，得x ＝2，
即M 点的坐标为(2，0)．又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0，1)，半径r ＝1，则|MC |＝ 5.
所以|MN |≤|MC |＋r ＝5＋1. 即|MN |的最大值为5＋1.。