全距、四分位距、百分位距

第一节全距、四分位距、百分位距
一、全距(Range)
1、概念
全距是一组数据中最大值与最小值之差，故又称两极差，简称极差。

用符号R表示。

它是表示一组数据离散程度的最简单、最易理解的一种差异量数。

2、计算
全距计算比较简单。

对于原始数据求全距的方法是：找出最大值、最小值，然后用公式：R＝最大值－最小值对于频数分布表求全距的方法：最大一组与最小一组组中值之差；
或者是最大一组上限与最小一组下限之差。

注意：如果数据是连续型，必须用精确上下限。

极差(概念要点及计算公式)
1. 一组数据的最大值与最小值之差
2. 离散程度的最简单测度值
3. 易受极端值影响
4. 未考虑数据的分布
计算公式为
未分组数据R = max(Xi) - min(Xi)
组距分组数据R = 最高组上限- 最低组下限
全距
3 应用条件及优缺点
全距概念清楚,意义明确,计算简单,是其明显的优点.
但因它仅由最大值与最小值求得,易受两极端数值的影响.如果两极端有偶然性或属异常值时,全距不稳定、不可靠。

它不考虑中间数值的差异，即其它数据未起作用，反应不灵敏。

它明显地受取样变动的影响。

由于上述原因，全距只是一种低效的差异量数，只能作为差异量的粗略指标。

它的用处一般只用于研究的预备阶段，用它检查数据的大概散布范围，以便确定统计分组。

即在编制频数分布表时决定全距范围之用。

二、四分位距(四分差)
1、四分位距的概念为了避免全距受两极端数值影响的缺点，则用按一定顺序排列的一组数据中间部位50 ％个频数距离的一半作为差异量指标，即四分位距，又称四分差，用Q 表示。

i
若将从小到大排列的一 组数据分成频数相等的四段，第一 与第二段的分界点 称第一个四分位 数（Q1）。

第三 与第 四段的分界点 称第三个四分位数（Q3）。

则四分位距就是第三 个四分位 数（第 75％百分位 数）与第一个四分位 数 （第 25％百分位 数 ）差的一半。

用公式表示 为 ： Q ＝（ Q3 － Q1 ）／ 2
四分位差 （ 概念要点 ）
1. 离散程度的 测度 值之一
2. 也称为内距或四分 间距
3. 第 3 四分位数与第 1四分位数之差 QD = Q3 – Q1
4. 反映了中 间 50% 数据的离散程度 5．不受 极端值的影 响 6．用于衡量中位 数的代表性
7. 主要用于定序 数据，也可用于 数值 型数据，但不能用于定 类数 据
2、计算方法
（1）原始 数据计算法
先将原始 数据从小到大排列好；
然后根据求中位 数的方法求出第一 个四分位 数和第三 个四分位数； 利用公式求四分位距。

Q ＝（ Q3－Q1）／ 2 （2 ）频数分布表 计算法 先求出第一 个四分位 数及第三 个四分位数； 然后将它们代入公式 计算四分位距，即可。

Q ＝（ Q3 － Q1 ）／ 2
2、计算方法
Lb 该分四分点所在 组 的精确下限 fQ1 与 fQ3 该四分点所在 组的次 数 N 数 据个数
Fb 该分数所在 组以下的累加次 数 组距
数值型分组数据的四分位数（计算示例）例
例
四分位差计算案例
注意:
也有人认为:
四分位距就是75%百分位数与25%百分位数间的距离. 它代表分布中间50%的距离. 四分位距(IQR) = Q3 - Q1
semi-interquartile range ：四分位距的一半( interquartile range ) .
SIQR = (Q3 - Q1)/2
3、四分位距的应用及优缺点
优点：
四位位距简明易懂，计算简便，较少受两极端数值的影响，比全距可靠得多。

缺点：
但它忽略了左右共50 ％数据的差异，又不适合代数运算，因而限制了它的应用。

使用：
当一组数据用中位数表示集中量时，就要用四分位距表示差异量。

因为它们同属于百分体系。

四分位距与中位数一样，适用于有特大或特小两极端数值，有个别数值不确切、不清楚，以及用等级的数据等情况
三、百分位距
1、概念：
百分位点位置
百分位数数值
百分位差段距离
百分位距是指两个百分位数之差。

常用的百分位距有两种：
一种是：第90与第10百分位数之差，用P90－P10表示。

即按一定顺序排列的一组数据中间部位80 ％个频数的距离。

一种是：第93与第7百分位数之差，用P93 －P7表示。

是按一定顺序排列的一组数据中间部位86％个频数的距离。

2、计算方法：先计算百分位数：百分位数的计算方法我们第二章讲中位数时，涉及到了百分位数的计算方法。

然后计算百分位距：百分位距的计算方法很简单，即P90 －P10 或P93 －P7 计算。

1)百分位数的计算
其中：Pp 表示百分位数
p 表示与百分位数相对应的比数
N 表示总频数
Lp 表示百分位数所在组的下限
n 表示小于百分位数所在组下限的频数总和
fp 表示百分位数所在组的频数
i 表示组距例
2）百分位差P90 －P10 ＝P80 －P20 ＝Px－Py＝ 3 、适用条件用几个百分位距能较好地反映一组数据的差异程度。

在计算频数分布峰态量时，要用到上述的百分位距。

四百分等级（相对地位量数）
一）概念
在一个团体中，不管人数多少，如果我们要问：某—个人在一百个人中胜过多少人；或者问假使把这一团体分为一百等，这一个人占第几等。

回答这样的问题，用一个人的原分数或等第都不行。

因为在一班学生中的成绩，单独一个原来的分数，最多只能表示分数的高低，不能表示他在全班中的地位。

例如某个学生名列第十五名，我们不能知道他的成绩究竟如何，要了解他的成绩在班上的地位，还必须知道他同班同学有多少人。

如果全班有60 名学生，他名列第十五名，其成绩还是比较好的。

如果全班只有30 名学生，第十五名就是中等成绩。

如果全班只有20 名学生，第十五名就是较差的。

可见，普通等第是看不出优劣的。

平时所用的等第，也只能表示一个学生成绩的高低次序，而不能表示他在全班中的地位。

而百分等级则不同，它能表示一个分数在它所属团体中的地位。

如一个学生的分数之百分等级为70，就是表示这个学生的分数超过他所在团体的70％。

所以百分等级是一种相对地位量数，是教育、心理研究中较常用的一种量数。

在按分数高低大小顺序排列的情况下，它可以表示任何一个分数在该团体中酌相对地位。

什么是百分等级呢？所谓百分等级就是把一班学生的得分依高低次序排列，然后算出一个人在一百人中超过多少人，或算出这个人以下占多少百分比，表示这种关系的量数，在统计学中，就称为百分等级。

换言之，百分等级是把全班人数按照一百来计算，从他所得的分数决定他在全班所占的地位。

分数的百分等级越大，代表等级越高。

百分等级越小，代表等级越低。

如某学生的分数之百分等级为90，表示比他差的有90 ％，如果百分等级为20 ，表示比他差的只有20 ％。

百分等级的符号为PR。

二）百分等级的计算
1．未分组数据计算百分等级的方法是：将团体中各个体，按他们所得分数之高低排列成等第。

如第一名、第二、
?|以R代表之，第一名，R＝1；第二名，
R＝2 ；?|?| 余类推。

以全体人数除100，即100 ／N，表示百分量表上每人应占的分数。

第一名占第一个100 ／N，第二个占第二个100 ／N，．．
故求第几名百分等级，即以100R ／N 代表。

无论是第几名百分等级，都应以每个分数的占位置的中点来代表它，所以把每段的距离减去半段，即减去50／N，而成（100R ／N）－（50 ／N）＝（100R －50）／N
（100R －50）／N 是每个分数在百分表上的位置，这个位置是按一般等第排列的，其成绩越高，代表等第的数字越小；其成绩越差，其代表的数字越大。

故须从100 减去（100R －50 ）／N，成成为：
100 －（100R －50 ）／N
未分组数据计算百分等级的公式是：
PR＝100 －（100R －50）／N
其中：PR 表示某个分数的百分等级
R 表示某个分数所在团体中按大小排列的等第。

N 个数。

例10 名学生的作文成绩依次排列为：56、64、68、69、73、75、78、79、83、86 分，试求得分为78分的百分等级。

作文成绩得78分的学生是第4名，故R＝4，总人数N＝10，代入公式得：
PR＝100 －（100R －50 ）／N＝100 －（100×4－50 ）／10 ＝65 即该生的百分等级为65，即在100 名学生中，该生的作文成绩胜达65名学生。

例试分别计算20名学生、80名学生数学成绩的第1名、第2名和第15名的百分等级。

20 名学生时：
P1＝100 －（100×1－50）／20＝98
P2＝100 －（100×2－50）／20＝92 P15＝100－（100×15－50 ）／20 ＝25 80 名学生时：
P1＝100 －（100×1－50）／80＝99
P2＝100 －（100×2－50）／80＝98 P15＝100－（100×15－50 ）／80 ＝82
根据以上计算，我们说在20 名学生的数学成绩中，第一名的百分等级为98 ，第二名的百分等级为92 ，第十五名
的百分等级为26。

而在80 名学生的数学成绩中，第一名的百分等级为99 ，第二名的百分等级为98 ，第十五名的百分等级为82 。

可见，团体的总人数不同，同一等第的百分等级并不一样。

2．分组资料（频数分布表）计算百分等级
PR 百分等级
N 总频数
Fb 该分数所在组以下的次数和
f 该分数所在组的频数
X 给定的原始分数
Lb 该分数所在组的精确下限
i 组距
例156 名学生的语文考试成绩分布如表，求66 分的百分等级
解释：在156 名学生中有48.7 ％的学生的分数在66 分以下例表中原始分数为52 的百分等级
百分等级也可以从累加百分曲线图上求得。

只要把上面确定百分位数的过程倒转过来即可
如分布中，P10 亦即第10 百分位之值为19.33 分，那么，我们就可以把19.33 分或其成绩为19.33 分的学生，说成是居于第10 百分位的位置；P90 亦即第90 百分位之值为51.56 分，我们就可以把51.56 分说成是居于第90 百分位的位置。

统计学中习惯上都把这个百分位置称为某某分数的百分等级，如说19.33 的百分等级为10.00 ，51.56 分或得51.56 分的学生其百分等级为90.00 ，等等。

其它任何一个给定的分数也都可以转化为百分等级。

3．求一组的百分等级
一组的百分等级是以每组的组中值的百分等级来代表，其方法是；先分别求出每组精确上、下限的百分等级，然后将上、下限百分等级相加，以 2 除之，即为每组组中值的百分等级。

求每组精确上、下限的百分等级的方法是：首先将次数分布表由下而上求出各组的累积次数；然后从最低组起计算每组精确上限的百分等级。

即以总次数(N)除100，再乘以累积次数。

用公式表示为：
PR＝100fcp/N
其中：
PR 表示每组上限的百分等级
fcp 表示每组的累加次数
N 表示总数
例求各组的百分等级
三）百分等级的应用
在教育和心理方面运用百分等级主要是运用“百分等级常模。

百分等级常模特别适用于教育成就测验，加语文成就测验、算术成就测验—⋯，在这类测验里，通常要测量非常多的学生，然后才可以把常模求出来。

根据常模就可知道得分多少，百分等级是多少；也可知道占某百分等级时，须得分多少。

这样一个换算表上所列数字便是百分等级常模。

假如我们知道某—学生的语文成就测验成绩为76 分，算术成就测验成绩为94 分，则我们无法知道他在团体中所
占的地位，也就是说无法知道他的成绩比别人好或坏。

此时，我们可以查阅百分等级常模。

假定查得语文成就测验得分为76 分时，PR 相当于70，而算术成就测验得分为94 分时、PR相当于68，则我们便知道该生的语文成就较70％学生为高，但算术成就只较68 ％的学生为高而已。