2021年八年级数学下册 第十八章 勾股定理教材分析 人教版
《勾股定理》说课稿
《勾股定理》说课稿《勾股定理》说课稿1各位老师、评委：大家好﹗今天我说课的题目是选自人教版八年级数学第十八章第一节的内容：勾股定理。
我将从以下这几个方面进行本节课的阐述：教材分析、学情分析、教法、学法指导、教学过程设计以及教学反思。
下面请大家和我共同走进教材。
(一)教材分析⒈教材的地位和作用《勾股定理》是人教版新课标八年级数学第十八章第一节第一课时内容，勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，是中学数学几个重要定理之一。
它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，是解直角三角形的主要根据之一，在实际生活中用途很大。
勾股定理的发现、验证和应用蕴含着丰富的文化价值，它在理论上占有重要地位，学好本节至关重要。
⒉教学目标根据新课程标准对学生知识、能力的要求，结合八年级学生实际水平、认知特点制定以下教学目标。
知识与技能：了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程，能够灵活地运用勾股定理及其计算。
过程与方法：让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学过程，并从中体会数形结合及从特殊到一般的数学思想。
培养学生观察、比较、分析、推理的能力。
情感态度与价值观：通过介绍我国古代在研究勾股定理方面取得的伟大成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感,在探索问题的过程中，培养学生的合作交流意识和探索精神。
3.重点和难点勾股定理的学习是建立在掌握一般三角形的性质、直角三角形以及三角形全等的基础上, 是直角三角形性质的拓展。
本节课主要是对勾股定理的探索和勾股定理的证明。
勾股定理的证明方法很多，本节课介绍的是等积法。
通过本节课的教学，引领学生从不同的角度发现问题、用多样化策略解决问题，从而提高学生分析、解决问题的能力。
因此本节课的重点：是勾股定理的发现、验证和应用。
八年级学生已初步具备几何的观察能力和说理能力，也有了一定的空间想象和动手操作能力，但是他们的推理能力较弱、抽象思维能力不足。
新人教版八年级下第18章第一节 勾股定理（第一课时）
（2）想一想，怎样利用小方格计算正方形P、Q、R面积？
P的面积
Q的面积
R的面积
图
（3）正方形P、Q、R面积之间的关系是什么？
（4）直角三角形三边之间的关系用命题形式怎样表述？
教师出示图表.
学生独立观察并计算图中正方形P、Q、R的面积并完成填表.
教师参与小组活动，指导、倾听学生交流.针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积.
或者用割补的方法将正方形A、B中小等腰直角三角形补成一个大正方形得到：正方形A、B的面积之和等于大正方形C的面积.
教师引导学生，由正方形的面积等于边长的平方,归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
通过讲述故事来进一步激发学生学习兴趣，使学生在不知不觉中进入学习的最佳状态.
“问题是思维的起点”，通过层层设问，引导学生发现新知.
得到教科书66页图18.1—3图1，构造了以a、b为直角边的直角三角形，令斜边为c，沿直角三角形的斜边分割从而拼得边长为c的正方形，完成拼图. 学生容易想到：未剪之前，图形面积是a +b ，在拼图过程中，构造了以a、b为直角边的直角三角形，得到斜边为c.拼接之后新的正方形边长是c，面积为c .从而得到直角三角形三边的关系：a +b ＝c ，即验证了命题1.
课题
18．1勾股定理（第一课时）
学校
嘉积中学海桂学校
上课教师
刘红军
项目
内 容
理论依据或意图
教
材
分
析
教材地位与作用
《勾股定理》是人教版八年级(下册)第十八章第一节的内容。它是在学生已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，是直角三角形的一条非常重要的性质，也是几何中最重要的定理之一。它揭示了直角三角形三边之间的数量关系,将数与形密切联系起来,在数学的发展中起着重要的作用，它可以解决许多直角三角形的计算问题,在生产,生活中用途很大。
人教版八年级数学下册知识点总结归纳
八年级数学下册知识点第十八章 勾股定理18.1勾股定理1.勾股定理：命题1:如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。
18.2勾股定理的逆定理1.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。
，那么这个三角形是直角三角形。
就是说，用三角形全等可以证明勾股定理的逆命题是正确的，它是一个定理，我们把这个定理叫勾股定理的逆命题2.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
（例：勾股定理与勾股定理逆定理）3.直角三角形的性质可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=A （1）、直角三角形的两个锐角互余。
可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°（2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90°（3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∠ACB=90° DD 为AB 的中点4、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD ∙=2⇒ AB AD AC ∙=2CD ⊥AB AB BD BC ∙=25、常用关系式由三角形面积公式可得：AB ∙CD=AC ∙BC6、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
7、命题、定理、证明1、命题的概念判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
《勾股定理》说课稿【优秀6篇】
《勾股定理》说课稿【优秀6篇】《勾股定理》说课稿篇一各位专家领导：上午好！今天我说课的课题是《勾股定理》。
一、教材分析：（一）本节内容在全书和章节的地位。
这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书（华东版），八年级第十九章第二节“勾股定理”第一课时。
勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，它可以解决直角三角形的主要依据之一，在实际生活中用途很大。
教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和观察分析问题的能力；通过实际分析，拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；通过联系比较，理解勾股定理，以便于正确的进行运用。
（二）三维教学目标：1、知识与能力目标。
（1）理解并掌握勾股定理的内容和证明，能够灵活运用勾股定理及其计算；（2）通过观察分析，大胆猜想，并探索勾股定理，培养学生动手操作、合作交流、逻辑推理的能力。
2、过程与方法目标。
在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学思想，并体会数形结合和从特殊到一般的思想方法。
3、情感态度与价值观。
通过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国和热爱祖国悠久文化的思想感情，培养学生的民族自豪感和钻研精神。
（三）教学重点、难点：1、教学重点：勾股定理的证明与运用2、教学难点：用面积法等方法证明勾股定理3、难点成因：对于勾股定理的得出，首先需要学生通过动手操作，在观察的基础上，大胆猜想数学结论，而这需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，从而形成困难。
4、突破措施：（1）创设情景，激发思维：创设生动、启发性的问题情景，激发学生的问题冲突，让学生在感到“有趣”、“有意思”的状态下进入学习过程；（2）自主探索，敢于猜想：充分让自己动手操作，大胆猜想数学问题的结论，老师是整个活动的组织者，更是一位参入者，学生之间相互交流、协作，从而形成生动的课堂环境；（3）张扬个性，展示风采：实行“小组合作制”，各小组中自己推荐一人担任“发言人”，一人担任“书记员”，在讨论结束后，由小组的“发言人”汇报本小组的讨论结果，并可上台利用“多媒体视频展示台”展示本组的优秀作品，其他小组给予评价。
18章章节综合 课件(人教版八年级下册)
活动一设计意图
师生活动:学生分小组展示研究成果，介绍不同
的证明方法，并讲解。鼓励学生在课下积极准 备，自学和研究不同证法，进行小组展示。教 师加以评价。
设计意图:激发学生探索欲望。在自学勾股定理的
不同证法过程中，让学生经历数学定理的发生和 证明过程，体验数形结合思想。同时小组合作中 锻炼学生合作意识，展示环节锻炼学生勇敢表达、 与同学分享的学习品质。进行学科德育,学生感受 到数学博大的文化，引起兴趣。
学生 提高兴趣
知识树
表 示 方 法 等 边 对 等 角 三 线 合 一 等 角 对 等 边 等 边 三 角 形
空间与图形6-2
定 义 条件 定义
镶嵌
要 素
已知两边 求第三边
应用 证明
弦图 毕达哥拉斯 苏菲尔德
性质
外角和
判定
概念 多边形 及其 内角和
特例
定理
内容 互逆命题
文字.符号 图形
内角和
勾股定理 等腰三角形
（约15分钟）
古埃及人用这样的方法画直角
1. 如图所示，校园内有两棵树相距12米，
一棵树高8米，另一棵树高3米，一只 小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的 顶端，小鸟至少要飞 米 . 13
A
8米
C
B
3米
12米
2.“今有池方一丈，葭生其中 央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸 齐．问水深、葭长各几何．”
教法：针对八年级学生的知识结构和心
理特征，本节课我选择引导探索、自主 学习的教法，引导学生重温数学知识的 形成与应用的过程。
学法：自主探究、合作交流、实践应用、
构建模型
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数学复习课教学模式
教学流程图
回 顾 勾 股 之 证 明 体 验 勾 股 之 应 用 积 累 勾 股 之 方 法 欣 赏 勾 股 之 魅 力 总 结 勾 股 之 知 识
人教版第十八章第18.1节《勾股定理》
让学生从中 学会总结归纳， 学 会反思提升， 学会 感悟数学。
板书设计 18.1 勾股定理 勾股定理：
c a
b
三边关系： 三边关系：a
2
+b2=c2
教学反思 1.有待改进之处：课堂教学语言应凸显抑扬顿挫，营造跌岩起伏的教学氛围。数学语言虽以简洁、 抽象而闻名，但是光有简洁、抽象的语言只会显示出数学的单调乏味，使人敬而远之。数学教师除了在 表述概念、定理、法则、性质时应力求严谨、规范外，其他情况应力求用轻松、活泼的教学语言，使学 生悦耳、爱听。这就需要数学教师具有深厚的文学功底，超强的演讲能力。 2.课堂教学充分体现学生的主体性， 给学生留下最大化的思维空间。 数学教学实则数学思维的教学， 一切教学活动都应围绕着一个中心，那就是促进学生思维能力的发展。在课堂上表现为应尽最大可能给 学生的思维“留白”，学生只有不断地思维，才能学会思维，思维才能得到发展。 3.注重数学思想方法的渗透，整个勾股定理的探索、发现、证明都着意渗透数形结合，又从一般到 特殊，从特殊回归到一般的数学思想方法。 4.重视数学史教育，激发学生的爱国情感。 5.数学问题生活化。用数学知识解决生活中的实际问题，关键在于把生活问题转化为数学问题，让 生活问题数学化，然后才能得以解决。在这个过程中，很多时候需要老师帮助学生去理解、转化，而更 多时候需要学生自己去探索、尝试，并在失败中寻找成功的途径。教学中，如果能让学生自己反思答案 与方法的合理性，那么效果会更好了。
联想到用字母 表示数字的方法， 贯 彻代数的基本应用 思想。
活动 3：
观光之旅
1、勾股弦图
2、勾股世界 3、勾股定理简介 4、千古第一定理
让学生根据 个人的兴趣和知 识结构去吸取自 己所需的知识， 渗 透对学生的人文 教育， 同时这种课 堂形式， 给了学生 一个生动、形象、 鲜活的情感体验。
初中数学八年级下册《勾股定理》优秀教学设计
18.1勾股定理教学设计【教材分析】这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书，人教版八年级第十八章第一节第一课时。
勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为以后学习解直角三角形奠定基础,在实际生活中用途很大。
【教学目标】知识与技能目标（1）理解并掌握勾股定理的内容和证明，能够运用勾股定理进行简单计算和运用；（2）通过观察分析，大胆猜想，并探索勾股定理，培养学生动手操作、合作交流、逻辑推理的能力。
过程与方法目标在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学过程，并体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法。
情感态度与价值观目标（1）在探索勾股定理的过程中，培养学生的合作交流意识和探索精神，增进数学学习的信心，感受数学之美，探究之趣。
（2）利用远程教育资源突出介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国和热爱祖国悠久文化的思想感情，培养学生的民族自豪感和钻研精神。
【重点与难点】重点：勾股定理的证明与运用难点：用面积法和拼图法等方法证明勾股定理【学生分析】初中阶段是智力发展的关键阶段，学生的逻辑思维能力从经验型向理论型发展。
从年龄上看，初中的学生好奇、好动、好表现。
生理上，他们注意力分散，爱表现，希望得到别人的赞赏。
抓住这些特点，一方面要引导学生积极参与，激发他们的学习兴趣，培养他们的学习能力，促进他们的个性发展；另一方面老师要创造机会，让学生发表自己的见解。
鼓励他们，发挥他们的积极性。
【教学方法】课前布置学生进行预习，根据自己的学习，完成《问题导读评价单》，从而发现本节课存在的难点问题课上树立以学生为本的思想，通过创设问题情境，利用《问题生成评价单》，以多媒体为教学平台，通过精心设计的问题串和活动系列，采取精讲多练、讲练结合的方法来落实知识点并不断地制造思维兴奋点，让学生脑、嘴、手动起来，充分调动了学生的学习积极性，达到事半功倍的教学效果。
勾股定理
B
图1-2
C A
B
图1-3
你是怎样得到 表中的结果的？
议一议
3．三个正方形A，B，C 面积之间有什么关系？
A
C
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正 方形面积之和等于斜边 上的正方形的面积．
B
图1-2
C
A
B
图1-3
议一议
4．你能发现直角三角 形三边长度之间存在什 么关系吗？
A B
图1-2
C
C
A
B
图1-3
(一)创设情境
引入新课
这就是本届大会 会徽的图案．
你见过这个图案吗？ 你听说过勾股定理吗？
这个图案是我国汉代数学 家赵爽在证明勾股定理时用到 的，被称为“赵爽弦图”．
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次 在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某 种数量关系．
我们也来观察右 图中的地面，看看有 什么发现？
填一填
(二)自主探索 合作交 流
1．观察图1-1（图中每个小方格代表一个单位面积）填空
正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积是
9 9
C A B
图1-1
你是怎样得到上面的 结果的？
个单位面积．
正方形B的面积是 个单位面积．
正方形C的面积是
18 个单位面积．
1 2
继续
S正方形C
1 4 3 3 18 2
勾 股 定 理
华中科技大学附属中学
余华安
一、教材分析
1、教材的地位与作用
《勾股定理》是人教版教科书八年级下册第十八 章第一节的内容，是在学习了三角形的概念、三角形 的三边的关系、三角形的全等之后，以直角三角形的 三边之间的特殊的数量关系“勾股定理” 的探索、 发现、证明以及简单应用为主要内容的一课。勾股定 理是“空间与图形”学习领域的重要内容，是一个很 重要的定理。通过对勾股定理的学习，进一步掌握直 角三角形三边之间的特殊的数量关系。利用拼图的思 想将代数与几何统一，渗透数形结合的思想，使学生 初步感受到数学的完整性和统一性。同时也为以后学 习四边形、锐角三角函数奠定坚实的基础。
说课设计勾股定理
一 、教材分析 2.学情分析
八年级学生已初步具有几何图形的观 察，几何证明的理论思维能力。希望老师创 设便于他们进行观察的几何环境，给他们发 表自己见解和表现自己才华的机会，希望老
师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，
使他们获得施展自己创造才能的机会。
3、三维教学目标
一 、教材分析
【知识与能力目标】了解勾股定理的文化背景， 体验勾股定理的探索过程。 【过程与方法目标】在探索勾股定理的过程中， 让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学思 想，并体会数形结合和从特殊到一般的思想方 法。 【情感态度与价值观】通过介绍中国古代勾股 方面的成就，激发学生热爱祖国悠久文化的思 想感情，培养学生的民族自豪感和钻研精神。
勾
弦 股
动手操作证明定理 y=0
拼一拼、摆一摆
请同学们拿出课前准备好的四个全等的 直角三角形,记三边分别为a,b,c,然后拼一拼、 摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c为边 长的正方形？
b a
c
c b a
图1
c b a
图2
同学们，你们能用不同的方式表示这个大正方形的 面积吗？试试看，相信你是最棒的！
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个 叫商高的人发现的，商高是公元前十一世纪的西 周人．在中国古代的数学著作《周髀算经》中记 录着商高同周公的一段对话． 他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得 一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”以 后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦 五”．这句话意思是说一个直角三角形较短直角 边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4， 那么斜边（弦）的长是5。 由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所 以在我国人们就把这个定理叫作 “商高定理”．
初中数学八年级下册《勾股定理》全章优秀教学设计
c
15
8C
B
A
第十八章勾股定理
第1课时——勾股定理（
1）
学习目标：
1、能用几何图形的性质和代数的计算方法探索勾股定理；
2、知道直角三角形中勾、股、弦的含义，能说出勾股定理，并用式子表示；
3、能运用勾股定理理解用关直角三角形的问题。
学习重点：知道直角三角形中勾、股、弦的含义，能说出勾股定理并用式子表示。
学习难点：能用几何图形的性质和代数的计算方法探索勾股定理；学习过程：
一．自主探究，预习新知
1.利用右图画出一个两条直角边分别为AC=3厘米、BC=4厘米的直角三角形，
（1）用刻度尺量出斜边的长AB=
厘米，
（2）计算：
2
2BC AC
= =
2
AB = =
即：
（用字母表示）
2.勾股定理：
如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
公式变形: c =
， a = , b
=
3. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．
（1）已知a ＝6， b ＝8，求c ；（2）已知a ＝2， c ＝5，求b ．
二．学以致用，展示提升: 1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．（1）已知 a ＝3，b ＝4，求c ；（2）已知c ＝10， a ＝6，求b. 解：(1)在ABC Rt 中，根据勾股定理，（2）在ABC Rt 中，根据勾股定理，
∴c = = = ∴b = = = ∴c = ∴
b=
2.求下列图中直角三角形的未知边。
2
2
2
2
2。
八年级数学《勾股定理》的教学设计
八年级数学第十八章《勾股定理》的教学设计一、教材分析勾股定理是数学中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。
它是建立在三角形、全等三角形、等腰三角形等有关知识的基础之上。
同时，也是初三几何中解直角三角形及圆中有关计算的必备知识。
它在数学理论体系中的地位举足轻重，在日常生活、工农业生产中，应用极为广泛。
从学生的角度来看，对勾股定理学习的好坏直接影响他们的后续数学学习。
二、学情分析八年级学生思维比较活跃，在平时自主学习、合作探究能力训练的基础上，具有了一定的归纳、总结能力及合作意识，学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。
部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。
现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会；更希望教师满足他们的创造愿望。
三、教学目标（1）知识与技能:使学生在探索勾股定理的过程中掌握直角三角形三边之间的数量关系，学会初步运用勾股定理进行简单的计算，解决实际问题。
（2）过程与方法:让学生经历用面积法探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想，渗透观察、归纳、猜想、验证的数学思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。
（3）情感态度和价值观:通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情；在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神。
四、教学重点:探索和验证勾股定理，会利用两边求直角三角形第三边。
五、教学难点：用拼图法验证勾股定理，勾股定理的证明方法。
六、教学策略：本节课采用探究发现式教学，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，鼓励学生采用观察分析、自主探索、合作交流的学习方法，让学生经历数学知识的形成与应用过程。
七、教学手段：多媒体辅助教学。
八、教学准备：用硬纸板剪制2个不等边的正方形、双面胶带、剪刀、方格纸、多媒体课件等。
勾股定理
基本信息课题人教版八年级数学第十八章勾股定理教材分析●本章内容是勾股定理，研究的是直角三角形中三边的关系，还有三角之间的关系。
在初中阶段是重点，为后面的三角函数奠定了基础。
●本节核心内容是勾股定理的证明过程及其应用。
学习本章知识使学生了解我国古代在勾股定理研究方面取得的成就，同时可以培养学生在实际生活中发现问题和总结规律的能力。
1、本章内容是勾股定理，研究的是直角三角形中三边的关系，还有三角之间的关系。
在初中阶段是重点，为后面的三角函数奠定了基础。
2、本节核心内容是勾股定理的证明过程及其应用。
学习本章知识使学生了解我国古代在勾股定理研究方面取得的成就，同时可以培养学生在实际生活中发现问题和总结规律的能力。
学情分析1.教师主观分析、师生访谈、学生作业或试题分析反馈、问卷调查等是比较有效的学习者分析的测量手段。
2.学生认知发展分析：主要分析学生现在的认知基础（包括知识基础和能力基础），要形成本节内容应该要走的认知发展线。
3.学生认知障碍点：学生形成本节课知识时最主要的障碍点。
学生在学习的过程中会对勾股定理比较有兴趣，可以进行测量的数据他们很容易理解，但是碰到较大的数据或是分数时，他们会感到困难。
在介绍直角边和斜边时，是个重点，往往学生在后面判断三角形是否是直角三角形时分不清楚斜边和直角边的区别，往往会按照顺序去套公式，所以要注意讲解，三条边中，先确定最长的边是斜边，剩下的是直角边。
教学目标（教学目标的确定应注意按照新课程的三维目标体系进行分析）1、了解勾股定理的历史背景,体会勾股定理的探索过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2、掌握直角三角形中的三边关系和三角之间的关系。
3、通过学习体念数学思维的严谨性，培养学生在实际问题中发现问题和总结规律的能力。
教学重点和难点重点：探索和证明勾股定理（即勾股定理的内容和证明）。
难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。
（即勾股定理的证明）教学过程（教学过程的表述不必详细到将教师、学生的所有对话、活动逐字记录，但是应该把主要教学环节、教师活动、学生活动、设计意图很清楚地再现。
人教版八年级数学下册《勾股定理》教学设计
人教版八年级数学下册《勾股定理》教学设计一、内容和内容解析本节课为人教版八年级数学下册第十八章第一节，教材64页至66页（不含探究1）的内容。
其内容包括章前对勾股定理整章的引入：2002年北京召开的国际数学家大会的会徽及“赵爽弦图”的简介，反映了我国古代对勾股定理的研究成果，是对学生进行爱国主义教育的良好素材。
教材正文中从毕达哥拉斯发现等腰直角三角形的边之间的数量关系这一事实引入对勾股定理的探究，用面积法得到勾股定理的结论，而后教材又重点从“赵爽弦图”的方法对勾股定理进行了详细的论证；课后习题18.1的第1、2、7、11、12等题目针对勾股定理的内容适当的加以巩固，特别是第11、12题侧重对面积法运用的巩固。
勾股定理是几何中几个重要定理之一，揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是对直角三角形性质的进一步学习和深入，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，在实际生活中用途很大。
它不仅在数学领域而且在其他自然科学领域中也被广泛地应用，而说明数学是一门基础学科，是人们生活的基本工具。
学生接受勾股定理的内容“在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方”这一事实从学习的角度不难，包括对它的应用也不成问题。
但对勾股定理的论证，教材中介绍的面积证法即：依据图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积就不会改变。
学生接受起来有障碍（是第一次接触面积法），因此从面积的“分割”“补全”两种方法进行演示同时学生动手亲自拼接图形构成“赵爽弦图”并亲自验证三个正方形之间的面积关系得到勾股定理的证明。
有利的让学生经历了“感知、猜想、验证、概括、证明”的认知过程，感触知识的产生、发展、形成以提高学生学习习惯和能力。
本节的后续学习中，对勾股定理运用的探究和勾股定理逆命题的论证和应用，都是将图形与数量紧密的结合，将有利的培养学生数形结合的意识以提高学生分析问题、解决问题的能力。
同时也为后期学习四边形、圆中的有关计算及计算物体面积奠定基础，因此本节课无论从知识的角度还是从数学技能、数学思想方法及数学活动经验等层面都起着举足轻重的作用。
八年级数学第十八章 勾股定理教材分析人教版
第十八章勾股定理18．1 勾股定理（一）一、教学目标1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
二、重点、难点1．重点：勾股定理的内容及证明。
2．难点：勾股定理的证明。
3．难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。
在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志。
水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积。
几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具。
本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。
其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。
三、例题的意图分析例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。
进一步让学生确信勾股定理的正确性。
四、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。
我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。
这个事实可以说明勾股定理的重大意义。
尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
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2021年八年级数学下册第十八章勾股定理教材分析人教版18．1 勾股定理（一）一、教学目标1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
二、重点、难点1．重点：勾股定理的内容及证明。
2．难点：勾股定理的证明。
3．难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。
在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志。
水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积。
几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具。
本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。
其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。
三、例题的意图分析例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。
进一步让学生确信勾股定理的正确性。
四、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。
我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。
这个事实可以说明勾股定理的重大意义。
尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 五、例习题分析例1（补充）已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正4×ab ＋（b －a ）2=c 2，化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。
这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家A B之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=4×ab ＋c 2右边S=（a+b ）2左边和右边面积相等，即 4×ab ＋c 2=（a+b ）2 化简可证。
六、课堂练习 1．勾股定理的具体内容是： 。
2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） ⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ； ⑷三边之间的关系： 。
3．△ABC 的三边a 、b 、c ，若满足b 2= a 2＋c 2，则 =90°； 若满足b 2＞c 2＋a 2，则∠B 是 角； 若满足b 2＜c 2＋a 2，则∠B 是 角。
4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。
七、课后练习 1．已知在Rt △ABC 中，∠B=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则 ⑴c= 。
（已知a 、b ，求c ） ⑵a= 。
（已知b 、c ，求a ） ⑶b= 。
（已知a 、c ，求b ）2．如下表，表中所给的每行的三个数a 、b 、c ，有a ＜b ＜c ，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b ，c 的值，并把b 、c 用含a 的代数式表示出来。
b bb b aa A Bb EB3．在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=cm ，一动点P 从B 向C 以每秒2cm 的速度移动，问当P 点移动多少秒时，PA 与腰垂直。
4．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 在CB 的延长线上。
求证：⑴AD 2－AB 2=BD ·CD⑵若D 在CB 上，结论如何，试证明你的结论。
八、参考答案课堂练习 1．略；2．⑴∠A+∠B=90°；⑵CD=AB ；⑶AC=AB ；⑷AC 2+BC 2=AB 2。
3．∠B ，钝角，锐角；4．提示：因为S 梯形ABCD = S △ABE + S △BCE + S △EDA ，又因为S 梯形ACDG =（a+b ）2，S △BCE = S △EDA = ab ，S △ABE =c 2, （a+b ）2=2× ab ＋c 2。
课后练习1．⑴c=；⑵a=；⑶b=2． ；则b=，c=；当a=19时，b=180，c=181。
3．5秒或10秒。
4．提示：过A 作AE ⊥BC 于E 。
18．1 勾股定理（二）一、教学目标1．会用勾股定理进行简单的计算。
2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。
二、重点、难点1．重点：勾股定理的简单计算。
2．难点：勾股定理的灵活运用。
3．难点的突破方法：⑴数形结合，让学生每做一道题都画图形，并写出应用公式的过程或公式的推倒过程，在做题过程中熟记公式，灵活运用。
⑵分类讨论，让学生画好图后标图，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力⑶作辅助线，勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此要注意直角三角形的条件，要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力。
⑷优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度。
D C B三、例题的意图分析例1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。
让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。
并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。
例2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
例3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。
让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力。
四、课堂引入复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。
学习勾股定理重在应用。
五、例习题分析例1（补充）在Rt △ABC ，∠C=90°⑴已知a=b=5,求c 。
⑵已知a=1,c=2, 求b 。
⑶已知c=17,b=8, 求a 。
⑷已知a ：b=1：2,c=5, 求a 。
⑸已知b=15，∠A=30°，求a ，c 。
分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。
⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。
⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。
⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。
通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。
后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。
例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。
分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。
让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
例3（补充）已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm 。
⑴求等边△ABC 的高。
⑵求S △ABC 。
分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要 创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做 法。
欲求高CD ，可将其置身于Rt △ADC 或Rt △BDC 中，但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=AB=3cm ，则此题可解。
六、课堂练习 1．填空题⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。
⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
⑶在Rt △ABC ，∠C=90°，c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= 。
⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。
⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 。
DB A⑹已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为 ，面积为 。
2．已知：如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB=，AC=4，AD 是BC 边上的高，求BC 的长。
3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。
七、课后练习 1．填空题在Rt △ABC ，∠C=90°，⑴如果a=7，c=25，则b= 。
⑵如果∠A=30°，a=4，则b= 。
⑶如果∠A=45°，a=3，则c= 。
⑷如果c=10，a-b=2，则b= 。
⑸如果a 、b 、c 是连续整数，则a+b+c= 。
⑹如果b=8，a ：c=3：5，则c= 。
2．已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥DC ， AB ⊥AC ，∠B=60°，CD=1cm ，求BC 的长。
八、参考答案 课堂练习1．17； ； 6，8； 6，8，10； 4或； ，； 2．8； 3．48。
课后练习1．24； 4； 3； 6； 12； 10； 2．18．1 勾股定理（三）一、教学目标1．会用勾股定理解决简单的实际问题。
2．树立数形结合的思想。
二、重点、难点1．重点：勾股定理的应用。
2．难点：实际问题向数学问题的转化。
3．难点的突破方法：数形结合，从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性。