课件4：2.7 函数的图象

【解答过程】(1)先化简，再作图．
y＝x－2－x2x＋－x2＋2
x≥2 x<2
.图象如下图(a)．
(2)此函数为偶函数，利用函数 y＝(21)x(x≥0)的图象进行 变换，图象如下图(b)．
(3)利用函数 y＝log2x 的图象进行平移和翻折变换，图象 如上图(c)．
【温馨提示】画函数图象的一般方法：(1)直接法：当 函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征直接作出；(2)图象变换法：若函数图 象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到， 可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找 到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩 变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
实数 a 的取值范围为
.
解析：先求出两射线方程，再寻找使 f(x)>f(x－1)恒成立 的临界点，数形结合求解．
根据图象可知，两条射线分别过点(3a,0)和(－3a,0)(其中 a>0)且斜率均等于 1，所以可得两条射线方程，分别为 y＝x －3a(x≥2a)和 y＝x＋3a(x≤－2a)．
数形结合知，当 y＝x－3a(x≥2a)时，令 f(x)＝a，得 x＝ 4a.当 y＝x＋3a(x≤－2a)时，令 f(x)＝－a，得 x＝－4a.若∀x ∈R，f(x)>f(x－1)恒成立，结合图象，需 4a－(－2a)<1 且 2a －(－4a)<1，即 a<16.又因为 a>0，故正实数 a 的取值范围为(0， 61)．
B．2x＋2－2
C．2x－2＋2
D．2x－2－2
解析：由题意，y＝2x 的图象向右、向上分别平移 2 个单 位得 y＝2x－2＋2 的图象．由题意得 f(x)＝2x－2＋2.故选 C.
3.为了得到函数 y＝3×(31)x 的图象，可以把函数 y＝(13)x
的图象( D )
A．向左平移 3 个单位长度 B．向右平移 3 个单位长度 C．向左平移 1 个单位长度 D．向右平移 1 个单位长度 解析：因为函数 y＝3×(31)x 可化成 y＝(13)(x－1)，所以把函 数 y＝(13)x 的图象向右平移 1 个单位长度得到函数 y＝3×(13)x 的图象．
则当直线 y＝x＋a 过点(1,0)时，a＝－1； 当直线 y＝x＋a 与抛物线 y＝－x2＋4x－3 相切时， 由yy＝＝x－＋xa2＋4x－3 ⇒x2－3x＋a＋3＝0.
由 Δ＝9－4(3＋a)＝0，得 a＝－34. 由图象知当 a∈[－1，－34]时方程至少有三个不等实根．
【题后总结】数形结合的问题往往需要准确的图形结构 才能揭示问题本质．
解析：对于①同解于 x≥0，y≥0，x＝y 故其图象 应该为 C；对于②同解于 x2＝y2，即 y＝±x，故其图象 应该为 B；对于③同解于 y≥0 时 x＝y 或 y≤0 时 y＝ －x，故其图象应该为 D；对于④同解于 x≥0 时 y＝x 或 x≤0 时 y＝－x，故其图象为 A.
一 作函数的图形
【跟踪训练 3】函数 y＝f(x)与 y＝g(x)的图象如图所示，则 函数 y＝f(x)·g(x)的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为 y＝f(x)有两个零点，且 x＝0 时，y＝g(x)的 函数值不存在，所以函数 y＝f(x)·g(x)也有两个零点 M，N， 且 x＝0 时，函数值不存在，当 x∈(－∞，M)时，y＜0；当 x ∈(M,0)时，y＞0；当 x∈(0，N)时，y＜0；当 x∈(N，＋∞) 时，y＞0；只有 A 中的图象符合要求．
当 x∈(－1,0)时，g(x)＝x－1x是增函数，因为 y＝lnx 是增 函数，所以函数 f(x)＝ln(x－1x)是增函数．答案：B
【温馨提示】判断图象问题，一般借助：函数的定义 域、值域、单调性、奇偶性、周期性、以及函数的图象的 变化趋势等．要敏锐地从所给图象中找出诸如对称性、零 点、升降趋势等决定函数走势的因素，进而结合选择填空 题，作出合理取舍．
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.7 函数的图象
1.函数 y＝5x 与函数 y＝－51x的图象关于( C )
A．x 轴对称
B．y 轴对称
C．原点对称
D．直线 y＝x 对称
2. 把函数 f(x)的图象向左、向下分别平移 2 个单位，得
到 y＝2x 的图象，则 f(x)＝( C )
A．2x＋2＋2
(3)把函数 y＝2－x－3 的图象向上平移 1 个单位，得到函数 y＝2－x－3＋1 的图象．
方法二：(1)作出函数 y＝2x 的图象关于 y 轴的对称图象， 得到 y＝2－x 的图象；
(2)把函数 y＝2－x 的图象向左平移 3 个单位，得到 y＝ 2－x－3 的图象；
(3)把函数 y＝2－x－3 的图象向上平移 1 个单位，得到函数 y＝2－x－3＋1 的图象．
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【跟踪训练 2】(2014·福建)若函数 y＝logax(a>0，且 a≠1) 的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )
A
B
C
D
解析：利用幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质 解决．由题意 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象过(3,1)点，可解 得 a＝3.选项 A 中，y＝3－x＝(31)x，显然图象错误；选项 B 中， y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项 C 中，y＝(－x)3＝－x3， 显然与所画图象不符；选项 D 中，y＝log3(－x)的图象与 y＝ log3x 的图象关于 y 轴对称，显然不符．故选 B.
二 识图与辨图
【例 2】函数 f(x)＝ln(x－1x)的图象是( )
A.
B.
C.
D.
【思路点拨】求出函数的定义域，通过函数的定义域，
判断函数的单调性，推出选项即可． 【解答过程】因为 x－1x＞0，解得 x＞1 或－1＜x＜0，所
以函数 f(x)＝ln(x－1x)的定义域为(－1,0)∪(1，＋∞)．所以选 项 A、C 不正确．
【例 1】作出下列函数的图象： (1)y＝|x－2|·(x＋1)； (2)y＝(21)|x|； (3)y＝|log2(x＋1)|.
【思路点拨】(1)先利用对绝对值分类讨论将原函数化 简成分段函数的形式，再分段作图即可；(2)先利用偶函数 的定义判断出此函数为偶函数，再利用 y＝(21)x(x≥0)的图 象进行变换，作出关于 y 轴对称的图形即得；(3)利用 y＝ log2x 的图象翻折变换→y＝|log2x|的图象，再进行向左平移 1 个单位→y＝|log2(x＋1)|的图象即可．
即函数 f(x)的图象与直线 y＝x＋a 有两个不同交点，故 a
＜1，则 a 的取值范围是(－∞，1)．
答案：(－∞，1)
【温馨提示】当图形不能准确地说明问题时，可借助 “数”的精确，注意数形结合的数学思想方法的运用．
【跟踪训练 4】(2014·湖北)如图所示，函数 y＝f(x)的图象
由两条射线正
【例题展示】已知函数 f(x)＝|x2－4x＋3|. (1)求函数 f(x)的单调区间，并指出其增减性； (2)若关于 x 的方程 f(x)－a＝x 至少有三个不相等的实数 根，求实数 a 的取值范围．
【审题思路】(1)化简 f(x)并作出 f(x)的图象，由图象确定 单调区间；(2)方程 f(x)－a＝x 的根的个数等价于 y＝f(x)与 y ＝x＋a 的交点的个数，所以可以借助图象进行分析．
【跟踪训练 5】若方程 1－x2＝x＋b 有两个不同的实根， 则 b 的取值范围是
解析：令 y＝ 1－x2，y＝x＋b，则转化为直线 y＝x＋b 与半圆 y＝ 1－x2有两个交点，则由图(图略)可知 b∈[1， 2)．
作图用图要规范 高考答题的规范化要求有很多方面：答题工具、答题规 则与程序、答题位置、答题过程及书写格式要求等．养成良 好的答题习惯，可以帮助考生多得分，至少不会失去一些应 得分． 答题规则与程序：(1)先选择题、填空题，再做解答题； (2)先填涂再解答；(3)先易后难． 在解解答题的过程中，答题过程要整洁美观、逻辑思路 清晰、概念表达准确、答出关键语句和关键词，比如要将你
【规范解答】 f(x)＝－x－x2－22－2＋1 1x∈x∈－1∞，，31]∪[3，＋∞ . 作出图象如图所示．(2 分)
(1)递增区间为[1,2]和[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1]和[2,3]．(4 分)
(2)原方程变形为|x2－4x＋3|＝x＋a，于是，设 y＝x＋a，在 同一坐标系下再作出 y＝x＋a 的图象．
【跟踪训练 1】说明由函数 y＝2x 的图象经过怎样的图象 变换得到函数 y＝2－x－3＋1 的图象．
解析：方法一：(1)将函数 y＝2x 的图象向右平移 3 个单 位，得到函数 y＝2x－3 的图象；
(2)作出函数 y＝2x－3 的图象关于 y 轴对称的图象，得到 函数 y＝2－x－3 的图象；
【解答过程】当 x≤0 时，f(x)＝2－x－1， 当 0＜x≤1 时，－1＜x－1≤0，f(x)＝f(x－1)＝2－(x－1)－1. 当 1＜x≤2 时，－1＜x－2≤0，f(x)＝f(x－1)＝f(x－2)＝ 2－(x－2)－1. 故 x＞0 时，f(x)是周期函数， 如图， 欲使方程 f(x)＝x＋a 有两解，
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三 函数图象的应用
2－x－1 x≤0 【例 3】函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)＝fx－1 x＞0 ， 若方程 f(x)＝x＋a 有两个不同实根，则 a 的取值范围是 __________．
【思路点拨】由已知中函数的解析式，我们易分析出 函数的图象在 y 轴右侧呈周期性变化，结合函数在 x≤0 时 的解析式，我们可以画出函数的图象，根据图象易分析出 满足条件的 a 的取值范围．
本节内容结束
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的解题过程转化为得分点，主要靠准确完整的数学语言表 述，这一点往往被一些考生忽视，因此，卷面上大量出现“会 而不对”“对而不全”的情况．如立体几何论证中的“跳 步”，使很多人丢失得分，代数论证中的“以图代证”，尽 管解题思路正确甚至很巧妙，但是由于不善于把“图形语 言”准确地转移为“文字语言”，尽管考生“心中有数”却 说不清楚，因此得分少．只有重视解题过程的语言表述，“会 做”的题才能“得分”．对容易题要详写，过程复杂的试题 要简写，答题时要会把握得分点．
4.(2013·福建)函数 f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( A )
A.
B.
C.
D.
5.已知下列曲线：
以下编号为①②③④的四个方程： ① x－ y＝0；②|x|－|y|＝0；③x－|y|＝0；④|x|－y＝0. 请按曲线 A、B、C、D 的顺序，依次写出与之对应的方
程的编号 ④②①③ .