3.3探索与表达规律(二)——数字变化类2024-2025学年+北师大版(2024)七年级数学上册

诉我，我就知道你心里想的两位数．你知道为什么吗？
解：设所想的两位数的十位数字为a，个位数字为b，则原来
的两位数表示为10a＋b，
根据题意，得5(2a＋3)＋b＝10a＋b＋15，
则10a＋b＋15－(10a＋b)＝15，
即结果比原数大15，所以只要把计算结果减去15就是心里想
的数．
·数学
7．小明说：“请你任意想一个数，把这个数乘2后加8，然
各数位上的数字之和能否被3整除．你能说明其中的道理吗？
解：设是一个三位数，
则＝ 100
a＋ 10
b＋ 1
c
＝( 99 a＋ 9 b)＋(a＋b＋c)
＝3( 33 a＋ 3 b)＋(a＋b＋c)．
因此只要(a＋b＋c)能被3整除，这个三位数就能被3整除．
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4．【例1】(1)观察下列一组数： ， ， ， ， ，…，按
第三章
整式及其加减
探索与表达规律(二)
——数字变化类
·数学
1．(2022新课标)了解代数推理．
2．能用代数式表示并借助代数式运算验证所探索规律的一
般性，并对具体现象做出解释．
抽象能力
运算能力
推理能力
应用意识
·数学
探索数式规律
解决有关数与算式的规律问题，首先要认真观察，从给定的
几个数与算式入手，观察数与数之间的规律及算式本身存在
的规律，把等式横向、纵向分别进行比较，找出其中的不变
部分与变化部分，数与其式子的序号之间的关系，然后找出
其中的变化规律．
·数学
1．(1)观察下列一组数：1，4，9，16，…，则第5个数是
25 ，第n个数是 n2 ；
(2)观察下列等式：
12＋2×1＝1×(1＋2)；
22＋2×2＝2×(2＋2)；
32＋2×3＝3×(3＋2)；……
因为a，b，c，d为整数，
所以333a＋33b＋3c是整数，
所以3×(333a＋33b＋3c)能被3整除，
所以若a＋b＋c＋d能被3整除，则能被3整除．
需要验证．
·数学
2．(北师7上P97)嘉嘉和琪琪玩猜数字游戏，游戏规则是：
“心里想好一个两位数，将这个两位数的十位数字乘2，然
后加3，再将所得的和乘5，最后将得到的数加心里想的两位
数的个位数字，即可得到
整除问题
(1)一个数a能否被b整除，关键是看能不能写成a＝bx的形式





此排列规律，可推出第10个数是


；
(2)研究下列算式，你可以发现一定的规律：
1×3＋1＝4＝22；
2×4＋1＝9＝32；
3×5＋1＝16＝42；
4×6＋1＝25＝52；……
推断第n个算式应为 n(n＋2)＋1＝(n＋1)2
．
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6．(1)一组按规律排列的代数式：a＋2b，a2－2b3，a3＋2b5，

后除以4，再减去你原来所想的那个数的 ，我可以知道你计

算的结果．”你相信吗？请与同学交流．
解：相信，理由如下：
用x表示任意想的数，




则 (2x＋8)－ x＝ x＋2－ x＝2，




故最后的结果与x的取值无关，且结果的值都是2．
·数学
★8．
0.50 (北师7上P98、人教7上P106)(2024河北
2n+1；有时还可用2n-2或2n+2表示偶数，用2n-1表示奇数；
②当符号一负一正交替变化时，考虑-1的奇数次方和偶数次
方.
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5．【例2】(北师7上P97)你在心里想好一个两位数，将这个
两位数的十位数字乘2，然后加3，再将所得的和乘5，最后
将得到的数加你想的那个两位数的个位数字，把你的结果告
模拟)一个四位数能否被3整除，只要看这个数的各数位上的
数字之和能否被3整除．你能说明其中的道理吗？
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解：设是一个四位数，
则＝1 000a＋100b＋10c＋d
＝(999＋1)a＋(99＋1)b＋(9＋1)c＋d
＝(999a＋99b＋9c)＋(a＋b＋c＋d)
＝3(333a＋33b＋3c)＋(a＋b＋c＋d)，
(其中a，b，x都是正整数)．
例如：144＝6×24＝8×18＝9×16，所以144既能被6，8，9
整除，又能被24，18，16整除．
(2)熟练掌握多位数的表示方法：各个数位上的数字与相应
的数位的乘积和．
例如：56＝5×10＋6×1，
324＝3×100＋2×10＋4×1．
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3．(北师7上P98)一个三位数能否被3整除，只要看这个数的
则第n个等式可以表示为 n2＋2n＝n(n＋2) ．
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数字游戏——猜数问题
解决猜数问题，关键是将题目的文字语言转化为我们熟悉的
数学语言，用字母表示最开始的数，然后按照题目的表述一
步步列代数式表示出最后的数(类似“数值转换机”)，观察
数字前后的变化，得出一般规律．也可以选择几个数，按题
目表述分别得出最后的数，观察变化，猜想规律，这种思路
a4－2b7，…，则第n个式子是 an＋(－1)n＋1·2b2n－1 ；
(2)观察下列式子，第1个式子：2×4＋1＝9＝32，第2个式子：
6×8＋1＝49＝72，第3个式子：14×16＋1＝225＝152，…，
请写出第n个式子： (2n＋1－2)×2n＋1＋1＝(2n＋1－1)2 ．
·数学
小结：①若n表示自然数，一般偶数表示为2n，奇数表示为