2024年新高一数学初升高衔接《函数的零点与方程的解》含答案解析

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第18讲函数的零点与方程的解
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解函数零点的概念，了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系；2．会求函数的零点；
3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数.
知识点 1 函数的零点
1、函数零点的概念：对于一般函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数
()y f x =的零点．即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值．
【要点辨析】
（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；（2）函数的零点也就是函数()=y f x 的图象与轴交点的横坐标；（3）函数()=y f x 的零点就是方程()0f x =的实数根．2、函数的零点与方程的解的关系
函数()=y f x 的零点就是方程()0f x =的实数解，也就是函数()=y f x 的图象与x 轴的公共点的横坐标．所以方程()0=f x 有实数根函数()=y f x 的图象与x 轴有交点
函数()=y f x
有零点．
x ⇔⇔
知识点 2 函数零点存在定理
1、函数零点存在定理
如果函数()f x 在区间[],a b 上的图象是一条连续不断的曲线，且()()0⋅<f a f b ，那么，函数()=y f x 在区间().a b 内至少有一个零点，即存在().∈c a b ，使得()0=f c ，这个c 也就是方程()0=f x 的解．【要点辨析】
（1）定义不能确定零点的个数；（2）不满足定理条件时依然可能有零点；（3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件；（4）定理反之是不成立的．2、函数零点存在定理的几何意义
在闭区间[],a b 上有连续不断的曲线()=y f x ，且曲线的起始点(,())a f a 与终点(,())b f b 分别在x 轴的两侧，则连续曲线与x 轴至少有一个交点．3、函数零点存在定理的重要推论
（1）推论1：函数()f x 在区间[],a b 上的图象是一条连续不断的曲线，()()0⋅<f a f b ，且()f x 具有单调性，则函数()f x 在区间().a b 内只有一个零点．
（2）推论2：函数()f x 在区间[],a b 上的图象是一条连续不断的曲线，函数()f x 在区间
().a b 内有零点，且函数()f x 具有单调性，则()()0⋅<f a f b ．
知识点 3 函数零点常用方法技巧
1、零点个数的判断方法
（1）直接法：直接求零点，令()0=f x ，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点．
（2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且
()()0⋅<f a f b ，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零
点．
（3）图象法：
①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数．
②两个函数图象：将函数()f x 拆成两个函数()h x 和()g x 的差，根据
()()()0=⇔=f x h x g x ，则函数()f x 的零点个数就是函数()=y h x 和()=y g x 的图
象的交点个数．
（4）性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数．2、判断函数零点所在区间的步骤
第一步：将区间端点代入函数求函数的值；第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断；
第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。

3、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法
（1）直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；（3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解．
考点一：求函数的零点（方程的根）
例1．（23-24高一上·江苏宿迁·月考）函数2=23y x x --的零点为（）A ．1,3-B ．3,1
-C ．1,3
--D ．1,3
【答案】A
【解析】令223=0x x --，解得3x =或1-，
故2=23y x x --的零点为1,3-.故选：A
【变式1-1】（23-24高一上·福建三明·期中）函数()31x
f x =-的零点为（）
A ．()0,0
B ．()
1,1C ．0D ．1
【答案】C
【解析】令()310x
f x =-=，解得0x =，故选:C.
【变式1-2】（23-24高一上·福建泉州·月考）函数()()
1lg 32x
f x =-+的零点为（）
A ．3log 8
B ．2
C ．3log 7
D ．2log 5
【答案】A
【解析】令()()
1lg 320x
f x =-+=，得3210x +=，则3lo
g 8x =．故选：A
【变式1-3】（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知定义在()0,∞+上的()f x 是单调函数，且对
任意()0,x ∈+∞恒有()13log 4f f x x ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭，则函数()f x 的零点为（）
A ．
1
27
B ．
19
C ．9
D ．27
【答案】A
【解析】设()13
log f x x a +=，即()13
log f x x a =-+，
因为()13log 4f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，可得()4f a =，
所以13
log 4a a -+=，解得3a =，所以()13
log 3f x x =-+，
令()0f x =，可得13
log 30x -+=，即13
log 3x =，解得1
27
=
x .故选：A.考点二：判断函数零点所在区间
例2.（23-24高一上·河北沧州·期末）函数1
2()21x f x x -=--的零点所在的区间是
（）
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
【答案】B
【解析】函数12
()21x f x x -=--的定义域为[)0,∞+，
函数1
2y x =在[)0,∞+上单调递增，函数2x
y -=在[)0,∞+上单调递减，
所以()f x 在[0,)+∞上单调递增．
由11
(1)11022
f =--=-<，1(2)1 1.2504f =-=->，
所以函数1
2
()21x f x x -=--的零点所在的区间是(1,2).故选：B ．
【变式2-1】（23-24高一下·四川达州·期中）函数()24x f x x =+-的零点所在区间为（）
A ．(1,0)-
B ．(0,1)
C ．(1,2)
D ．(2,3)
【答案】C
【解析】因为2x y =和4y x =-均是R 上的增函数，所以函数()24x
f x x =+-是R 上的增
函数，
又()110f =-<，()220f =>，()()120f f ⋅<，所以函数()f x 的零点所在区间为()1,2.故选：C.
【变式2-2】（23-24高一下·江苏扬州·期末）方程2ln 50x x +-=的解所在区间为（）
A ．()4,5
B ．()3,4
C ．()2,3
D ．()
1,2【答案】C
【解析】令()2ln 5f x x x =+-，()f x 在(0,)+∞上连续，且单调递增，
对于A ，因为(4)8ln453ln 40f =+-=+>，(5)10ln555ln 50f =+-=+>，所以()f x 的零点不在()4,5内，所以A 错误，
对于B ，因为(4)0f >，(3)6ln351ln 30f =+-=+>，所以()f x 的零点不在()3,4内，所以B 错误，
对于C ，因为(3)0f >，(2)4ln25ln 210f =+-=-<，
所以()f x 的零点在()2,3内，所以方程2ln 50x x +-=的解所在区间为()2,3，所以C
正确，
对于D ，因为(2)0f <，(1)2ln1530f =+-=-<，
所以()f x 的零点不在()1,2内，所以D 错误，故选：C
【变式2-3】（23-24高一下·浙江湖州·月考）函数()()22
log 1f x x x =+-的零点所在的一个区
间是（）
A ．()0,1
B ．()
1,2C ．()
2,3D ．()
3,4【答案】B
【解析】因为()22
1log 2101f =-
=-<，()222log 302
f =->，且易得()f x 在()0,∞+单调递增，
所以()f x 在()0,∞+上有唯一的零点，且零点在区间()1,2内.故选：B
考点三：由函数零点所在区间求参数
例3.（23-24高一上·四川雅安·月考）若函数()31f x kx =+在(1,1)-存在零点，则实数
k 的取值范围是（）
A ．11,33⎛⎫
- ⎪
⎝⎭B ．1,3⎛
⎫-∞- ⎪
⎝⎭C ．1,3⎛⎫
+∞ ⎪
⎝⎭D ．1,3⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭∪
1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】当0k =时，()1f x =，不存在零点；
当0k ≠时，()31f x kx =+是一次函数，必然单调，
故只需(1)(1)0f f -<即可，即(31)(31)0k k -++<，解得13k <-或1
3k >，
即k 的取值范围是1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭∪1,3⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭，故选：D
【变式3-1】（22-23高一下·安徽·期中）函数()2
2log f x x x m =++在区间()1,2存在零点．则
实数m 的取值范围是（）
A ．()
,5-∞-B ．()
5,1--C ．()
1,5D ．()
5,+∞
【答案】B
【解析】由12log y x =在()0,∞+上单调递增，2
2y x m =+在()0,∞+上单调递增，
得函数()2
2log f x x x m =++在区间()0,∞+上单调递增，因为函数()2
2log f x x x m =++在区间()1,2存在零点，
所以()()1020f f ⎧<⎪⎨>⎪⎩，即222
2
log 110log 220m m ⎧++<⎨++>⎩，解得51m -<<-，所以实数m 的取值范围是()5,1--.故选：B.
【变式3-2】（22-23高一上·重庆九龙坡·期末）函数()132x
f x a x -⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
的一个零点在区间
()1,2内，则实数a 的取值范围是（）
A ．()1,+∞
B ．5,12⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
C ．()5,1,2∞∞⎛
⎫--⋃+ ⎪⎝⎭D ．52⎛⎫-∞- ⎪
⎝
⎭,【答案】B
【解析】2x y = 和3
y x
=-在()0,∞+上是增函数，
()3
2x f x a x
∴=-
+在()0,∞+上是增函数，∴只需()()120f f ⋅<即可，即()5102a a ⎛⎫
-+⋅+< ⎪⎝⎭
，解得512a -<<．故选：B.
【变式3-3】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知()e 43x
f x x =+-的零点在区间
11,,2424k k k ⎛⎫
-+∈ ⎪⎝⎭
Z ，则k =（）A ．1-B ．0C ．1D ．2
【答案】C
【解析】由题意可知，()e 43x
f x x =+-在R 上单调递增，
因为1
411e 43044f ⎛⎫
=+⨯-< ⎪⎝⎭
，
1
211e 43022f ⎛⎫
=+⨯-> ⎪⎝⎭
，
则()f x 零点在区间11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
上，可得1k =.故选：C.
考点四：判断函数零点个数
例4.（23-24高一下·河南·开学考试）函数()lg 1f x x x =-的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3
【答案】B
【解析】令()lg 10f x x x =-=，得1lg x x
=
，画出函数lg y x =与1y x
=的图象，
可得这两个函数在(0,)+∞上的图象有唯一公共点，故()f x 的零点个数为1．故选：B
【变式4-1】（22-23高一上·广东深圳·期末）函数3
1()(22x f x x =--在定义域内的零点个数
是（）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B
【解析】函数31(,22x y y x ==-分别是R 上的减函数和增函数，则函数3
1()()2
2x f x x =--是减函数，
而()()1
31112102f -⎛⎫
-=---=> ⎪⎝⎭
，(0)10f =-<，
所以函数()f x 在R 上的零点个数是1.故选：B
【变式4-2】（23-24高一下·河北保定·开学考试）函数()2e ,0
32,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-+≥⎩的零点个数为
（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】当0x ≥时，令2320x x -+=，解得1x =或2x =；
当0x <时，令e 0x x +=，则e x x =-，画出函数e x y =与函数y x =-的图象，
可知在(],0-∞上两函数图象有一个公共点，故()f x 的零点个数为3.故选：C
【变式4-3】（23-24高一下·浙江·期中）已知函数()22,0,
lg ,0,x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩
则函数
()()3g x f x =-的零点个数为（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】由题意可知，()()3g x f x =-的零点个数可以转化为()f x 和函数3y =的图象交点个数，
它们的函数图象如图所示.故选：C ．
考点五：已知函数零点个数求参数
例5.（23-24高一上·山东济南·月考）若函数()()2,1
ln 1,1x a x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩
有两个不同的零
点，则实数a 的取值范围是（）
A ．(]0,2
B ．()0,2
C ．()0,1
D ．()
,1-∞【答案】A
【解析】当1x >时，由ln(1)0x -=，得2x =，
因为函数()()2,1
ln 1,1x
a x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩
有两个不同的零点，
则当1x ≤时，函数()2x f x a =-还有一个零点，
因为10222x <≤=，所以02a <≤，所以实数a 的取值范围是(0,2].故选：A
【变式5-1】（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知函数()22,1
,1x x f x x x -+≥⎧=⎨<⎩
，若函数
()2y f x m =-有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为（）
A ．()0,1
B ．{}1,0,1-
C ．[]0,1
D ．{}
0,1【答案】B
【解析】由()2y f x m =-有两个不同的零点，即方程()2
f x m =有两个不同的解，
即函数()y f x =与2y m =的图象有两个不同的交点，画出函数()y f x =的图象，如图所示，
结合图象可得21m =或20m =，解1m =±或0m =，即{}1,0,1m ∈-.故选：B.
【变式5-2】（23-24高一上·广东茂名·期中）已知函数()21,23,21x x f x x x ⎧-≤⎪
=⎨>⎪-⎩，若方程()f x a
=有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）
A ．()1,3
B ．()
0,1C ．()
0,3D ．[]
0,1【答案】B
【解析】方程()f x a =有三个不同的实数根，即函数()y f x =与函数y a =的图象有三个不同交点.
作函数()y f x =的图象如下图所示，()23
f
=
由图可得，01a <<.所以实数a 的取值范围是：()0,1.故选：B.
【变式5-3】（23-24高一上·河北保定·月考）已知函数2,0()1,0x x f x x x x
-⎧≤⎪
=⎨->⎪⎩，
()()g x f x x a =--．若()g x 有2个零点，则实数a 的取值范围是（）
A ．[1,0)-
B ．[0,)+∞
C ．[1,)-+∞
D ．[1,)
+∞【答案】D
【解析】0x >时，1
()f x x x
=
-，函数在()0,∞+上单调递减，(1)0f =，令()0g x =可得()f x x a =+，作出函数()y f x =与函数y x a =+的图象如图所示：
由上图可知，当1a ≥时，函数()y f x =与函数y x a =+的图象有2个交点，此时，函数()y g x =有2个零点．因此，实数a 的取值范围是[1,)+∞．故选：D ．
考点六：函数的零点的分布
例6.（23-24高一上·山东淄博·月考）已知方程()2
210x m x m -++=有两个不等正实
根，则实数m 的取值范围为（）
A
．03m <<-
3m >+B ．1
m >-C ．0m >D
．03m <<-
或3m >+【答案】D
【解析】因为方程()2
210x m x m -++=有两个不等正实根，设两根为12,x x ，
则等价于函数()()2
21f x x m x m =-++有两个不相等且大于0
的零点，
所以()(
)2Δ1801
0034
00m m m m f ⎧=+->⎪
+⎪>⇒<<-⎨⎪>⎪⎩
3m >+D 【变式6-1】（23-24高一上·江苏常州·期中）已知关于x 的方程222510kx x k ---=的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k 的取值范围是（）
A ．()0,∞+
B ．()1,0-
C ．(),1-∞-
D ．()()
,10,-∞-⋃+∞【答案】D
【解析】记()2
2251f x kx x k =---，由题意可知函数()f x 有两个零点，所以0k ≠，
若0k >，则()2
2251f x kx x k =---为开口向上的二次函数，
要有两个零点且一个大于1一个小于1，则()122510f k k =---<，得1k >-，故
0k >；
若0k <，则()2
2251f x kx x k =---为开口向下的二次函数，
要有两个零点且一个大于1一个小于1，则()122510f k k =--->，得1k <-，故
1k <-；
综上可知：1k <-或0k >，即实数k 的取值范围是()(),10,-∞-⋃+∞.故答案为：()()
,10,-∞-⋃+∞【变式6-2】（23-24高一上·江苏淮安·月考）已知函数()2
4f x x ax =-+在()1,2上有且只有
一个零点，则实数a 的取值范围是（）
A ．[)8,10
B ．()8,10
C ．[)4,5
D ．()
4,5【答案】D
【解析】因为函数()2
4f x x ax =-+在()1,2上有且只有一个零点，
所以24x ax +=，即4x a x
+=在()1,2上有且只有一个实根，所以4
y x x
=+与y a =的函数图象在()1,2x ∈时有一个公共点，由于4
y x x
=+
在()1,2单调递减，
所以44
2121
a +
<<+，即45a <<.故选：D 【变式6-3】（23-24高一上·湖南株洲·期末）. 已知函数
32()2,()log ,()x f x x g x x x h x x x =+=+=+的零点分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小关系为
（）
A ．c a b <<
B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．c a b
<<【答案】B
【解析】因为函数3
2()2,()log ,()x f x x g x x x h x x x =+=+=+的零点分别为,,a b c ，
可转化为y x =-与三个函数3
22,log ,x y y x y x ===的交点的横坐标为,,a b c ，在同一坐标系下，画出函数y x =-与函数3
22,log ,x y y x y x ===的图象，
如图所示，
结合图象可得：a c b <<.故选：B.
一、单选题
1．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）函数2log 1y x =-的图象与x 轴的交点坐标是（）A ．()0,0B ．()
1,0C ．()
2,0D ．()
1,0-【答案】C
【解析】令0y =，2log 10x -=解得2x =，
所以函数2log 1y x =-的图象与x 轴的交点坐标是()2,0.故选：C.
2．（23-24高一上·河南郑州·月考）函数()31,0
1,0x x f x x x ⎧-≤⎪
=⎨>⎪⎩零点是（）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．
3
【答案】A
【解析】当0x ≤时，由310x -=解得0x =；
当0x >时，令
1
0x
=，显然无实数解.综上，函数()f x 的零点为0.故选：A
3．（22-23高一上·江西上饶·月考）函数22ln 2,0
()23,0x x x x f x x x x ⎧-+>=⎨--≤⎩的零点个数为（）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】当0x >时，2()0ln 2f x x x x =⇒=-，
则函数()f x 的零点个数为函数ln y x =与函数22y x x =-，()0,x ∈+∞的交点个数，作出两个函数的图象如下图所示，
由图可知，当0x >时，函数()f x 的零点有两个，
当0x ≤时，2()230f x x x =--=，可得=1x -或3x =(舍去)即当0x ≤时，函数()f x 的零点有一个；综上，函数()f x 的零点有三个.故选：C.
4．（23-24高一下·贵州遵义·月考）函数()2240x
f x x =+-的零点所在的一个区间是（）
A ．()2,3
B ．()3,4
C ．()4,5
D ．()
5,6【答案】C
【解析】因为()24440320f =+-=-<，()36840260
f =+-=-<()481640160f =+-=-<，()510324020f =+-=>()6126440360
f =+-=>可知()()450f f ⋅<，所以函数的零点所在的区间是()4,5，故选：C.
5．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知二次函数26y x x m =-+的两个零点都在区间[)2,+∞内，则实数m 的取值范围是（）A ．(),9-∞B ．()8,9C ．[)8,9D ．()
8,+∞【答案】C
【解析】设()2
6f x x x m =-+，
因为二次函数26y x x m =-+的两个零点都在区间[)2,+∞内，
所以()Δ020f >⎧⎨≥⎩，则36404120m m ->⎧⎨-+≥⎩，即98m m <⎧⎨≥⎩，
故实数m 的取值范围是：[)8,9.故选：C.
6．（23-24高一上·河南南阳·月考）设正实数a ，b ，c 分别满足433log log 1a
a b b c c ⋅=⋅=⋅=，
则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a
>>【答案】D
【解析】由已知可得13a a =
，41
log b b =，31log c c
=，
作出3x y =，4log y x =，3log y x =的大致图象如图所示.
它们与1
y x
=交点的横坐标分别为a ，b ，c ，由图可得b c a >>.故选：D.
二、多选题
7．（23-24高一上·云南·月考）若定义在R 上的连续不断的函数()f x 满足
()()()10,20,30f f f ><<，则下列说法不正确的是（）
A ．()f x 在区间()1,2上有且只有一个零点
B ．()f x 在区间()1,2上有零点
C ．()f x 在区间()1,3上有且只有一个零点
D ．()f x 在区间()2,3上没有零点【答案】ACD
【解析】由题意可知，()()120f f <，所以()f x 在区间()1,2上有零点，
但不确定有几个，故A 错误，B 正确；
()()130f f <，所以()f x 在区间()1,3上有零点，不确定有几个零点，故C 错误；
()()230f f >，则不确定()f x 在区间()2,3是否有零点，故D 错误.故选：ACD
8．（23-24高一上·山西吕梁·月考）设函数()2
122,02ln ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，若关于x 的方程
()f x a =有四个不同的解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则（）
A ．124x x >
B ．02a <≤
C ．342x x +>
D ．
2421
e e
x <<【答案】BC
【解析】由函数()2
122,0
2
ln ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩
，作出函数()y f x =的图象，如图所示，因为关于x 的方程()f x a = 有四个不同的解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，结合图象，可得12344201x x x x -≤<-<≤<<<，且124x x +=-，
则22
1211111(4)4(2)4x x x x x x x =--=--=-++，其中142x -≤<-，所以124x x <，所
以A 不正确.
根据图象，要使得方程()f x a = 有四个不同的解，可得02a <≤，所以B 正确；因为3401x x <<<，且34ln ln x x =，可得34ln ln x x -=，所以3434ln ln ln 0x x x x +==，可得341x x =，
又由342x x +≥=，当且仅当341x x ==时，等号成立，显然34x x ≠，所以342x x +>，所以C 正确；
令4ln 2a x ==，可得24e x =，结合图象，可得2
41e x <≤，所以D 不正确.故选：BC.
三、填空题
9．（23-24高一上·四川·期中）已知函数()60
3x
f x x
=-
的零点在区间()(),1N n n n +∈内，则n =
．
【答案】
2
【解析】因为3x y =在()0,∞+上单调递增，60
y x
=-
在()0,∞+上单调递增，所以()60
3x
f x x
=-
在()0,∞+上单调递增，因为()13600f =-<，()29300f =-<，()327200f =->，所以()f x 的零点在区间()2,3内，故2n =.故答案为：2.
10．（23-24高一上·湖北恩施·月考）设1x 满足2lg 3x x +=，2x 满足()lg 121x x --=，则
12x x +=
．
【答案】1
【解析】设1t x =-，则1x t =-，
则()lg 121x x --=变形为()lg 211t t --=，即2lg 3t t +=，由题意知1x 满足2lg 3x x +=，则112lg 3x x +=，
易知函数2lg 3y x x =+-在()0,∞+上单调递增，所以此函数只有一个零点，因为2lg 3t t +=，所以1t x =，
又21t x =-，所以121x x =-，所以121x x =+．故答案为：1
11．（23-24高一上·湖南·月考）已知函数()1321,1,
2log ,1
3x x f x x x ⎧-<⎪
=⎨⎛
⎫-≥⎪ ⎪⎝
⎭⎩，若关于x 的方程()0f x m -=只有一个实数根，则m 的取值范围为
．
【答案】(){}
,01∞-⋃【解析】画出()f x 的大致图象，如图所示．关于x 的方程()0f x m -=只有一个实数根，
结合图象可得m 的取值范围为(){},01∞-⋃．故答案为：(){}
,01∞-⋃四、解答题
12．（23-24高一上·四川乐山·月考）已知函数()()R y f x x =∈,是奇函数，当0x ≥
时，
()22f x x x =-．
(1)求()f x 的解析式；(2)判断函数()f x 的单调性；
(3)若方程()f x m =有三个不同的根，求m 的取值范围．
【答案】(1)()2
2f x x x =--；(2)()f x 的单调递减区间是[]1,1-，单调递增区间是(),1-∞-，
()1,+∞；(3)()
1,1-【解析】（1）设0x <，则0x ->，因为0x ≥时，()2
2f x x x =-，
可得()()22
()22f x x x x x -=---=+，
又因为函数()y f x =是奇函数，所以()()2
2f x f x x x -=-=+，即()22f x x x =--，
所以函数()f x 的解析式为()22
2,0
2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩.（2）作出函数()f x 的图象，如图所示：
可得()f x 的单调递减区间是[]1,1-，单调递增区间是(),1∞--，()
1,∞+
（3）要使得方程()f x m =有三个不同的根，即函数()y f x =与y m =的图象有三个不同的交点，如图所示，可得11m -<<，即m 的取值范围是()1,1-．
13．（23-24高三上·新疆阿克苏·月考）已知函数()()2log 2f x x =+.(1)求函数()2f x +恒过哪一个定点，写出该点坐标；
(2)令函数()()1
1x g x f x a -=--，当()1
22
g =
时，证明：函数()g x 在区间()1,2上有零点.【答案】(1)恒过定点(3,0)-，坐标(3,0)-；(2)证明见解析
【解析】（1）由题意知函数()()2log 2f x x =+，故()()22log 4f x x +=+，
令()241,3,log 40x x x +=∴=-+=，
即函数()2f x +恒过定点(3,0)-，该点坐标为(3,0)-；（2）证明：由题意()()21
1log 2x g x x a -=--+，
当()122
g =
时，1
2111,22log 4a a --=∴=，
即()()21
1()12
log 2x g x x -+=--，
则()21320log g =-<，又()1
202
g =
>，故函数()g x 在区间()1,2上有零点.。