北师大版九年级上册第一次月考数学模拟试题及答案 (精选5套试题)

北师大版九年级上学期第一次月考
数学试卷
一、选择题
1．下列给出的方程：①（x+1）（x﹣1）﹣x2=0；②x2+1=0；③y2﹣2y﹣1=0；④x2﹣1=．其中是一元二次方程的是（）
A．①②③B．②③④C．①②④D．②③
2．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
3．下列一元二次方程中，有实数根的方程是（）
A．x2﹣x+1=0 B．x2﹣2x+3=0 C．x2+x﹣1=0 D．x2+4=0
4．如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（）
A．cm B．2cm C．2cm D．4cm
5．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0
6．如图，在菱形ABCD中，已知∠A=60°，AB=5，则△ABD的周长是（）
A．10 B．12 C．15 D．20
7．把方程x2﹣6x+2=0配方成（x+p）2=q的形式后，p与q的值分别是（）A．3，7 B．﹣3，7 C．9，7 D．﹣3，9
8．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE
的周长（）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．关于x的一元二次方程（m﹣6）x2﹣6x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m满足（）A．m≥﹣3 B．m＞﹣3且m≠6C．m≥﹣3且m≠6D．m≠6
10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）
A．B．C．D．
二、填空题
11．一元二次方程3x（x﹣3）=2x2+1化为一般形式为．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=8，E是AB的中点，则OE的长等于．
13．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为．
14．已知矩形两边长分别是方程x2﹣50x+35=0的两根，则矩形的面积为．
15．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB的中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠CDE的度数为．
16．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：
①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．
其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．
三、解答题（共6题，共52分）
17．解下列方程
（1）x2﹣2x+1=0 （2）x2+3x+1=0
（3）x2﹣6x﹣18=0（配方法）（4）x（5x+4）=5x+4．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、C D．求证：EF=C D．
19．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．
20．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
21．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，请在图中画出折痕，并求折痕的长．
22．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列给出的方程：①（x+1）（x﹣1）﹣x2=0；②x2+1=0；③y2﹣2y﹣1=0；④x2﹣1=．其中是一元二次方程的是（）
A．①②③B．②③④C．①②④D．②③
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0；（4）是整式方程．
由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：①由（x+1）（x﹣1）﹣x2=0得到：﹣1=0，不是方程，且不成立，故错误；
②x2+1=0；③y2﹣2y﹣1=0符合一元二次方程的定义，故正确；
④x2﹣1=属于分式方程，故错误；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．这是一个需要识记的内容．
2．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（）x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
【考点】图象法求一元二次方程的近似根．
【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个解的范围．
【解答】解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，
函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；
由表中数据可知：y=0在y=﹣0.02与y=0.03之间，
∴对应的x的值在3.24与3.25之间，即3.24＜x＜3.25．
故选：C．
【点评】掌握函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c=0的根的关系是解决此题的关键所在．
3．下列一元二次方程中，有实数根的方程是（）
A．x2﹣x+1=0 B．x2﹣2x+3=0 C．x2+x﹣1=0 D．x2+4=0
【考点】根的判别式．
【分析】只要判断每个方程的根的判别式的值与零的关系就可以了．
【解答】解：A、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，没有实数根；
B、△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，没有实数根；
C、△=12﹣2×1×（﹣1）=3＞0，有实数根；
D、△=0﹣4×1×4=﹣16＜0，没有实数根．
故选C．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
4．如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（）
A．cm B．2cm C．2cm D．4cm
【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO=AC，再根据邻角互补求出∠AOB的度数，然后得到△AOB是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得解．
【解答】解：在矩形ABCD中，AO=BO=AC=4cm，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180°﹣120°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=4cm．
故选D．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，判定出△AOB是等边三角形是解题的关键．
5．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a的值为（）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0
【考点】一元二次方程的解．
【分析】由一元二次方程的定义，可知a﹣2≠0；一根是0，代入（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0可得a2﹣4=0．a 的值可求．
【解答】解：∵（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0是关于x的一元二次方程，∴a﹣2≠0，即a≠2①
由一个根是0，代入（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0，可得a2﹣4=0，解之得a=±2；②
由①②得a=﹣2．故选B．
【点评】本题考查一元二次方程的定义应用，二次项系数不为0．解题时须注意，此为易错点．否则选C就错了．
6．如图，在菱形ABCD中，已知∠A=60°，AB=5，则△ABD的周长是（）
A．10 B．12 C．15 D．20
【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．
【分析】根据菱形的性质可得判断△ABD是等边三角形，继而根据AB=5求出△ABD的周长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
又∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴△ABD的周长=3AB=15．
故选C．
【点评】本题考查了菱形的性质，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握菱形的四边相等的性质．
7．把方程x2﹣6x+2=0配方成（x+p）2=q的形式后，p与q的值分别是（）
A．3，7 B．﹣3，7 C．9，7 D．﹣3，9
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】直接对一元二次方程配方，然后把常数项移到等号右边即可．
【解答】解：x2﹣6x=﹣2，
x2﹣6x+9=﹣2+9，
（x﹣3）2=7，
∴p=﹣3，q=7
故选：B．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
8．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE 的周长（）
A．4 B．6 C．8 D．10
【考点】菱形的判定与性质；矩形的性质．
【分析】首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．
【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，
∴OD=OC=AC=2，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．
故选C．
【点评】此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．
9．关于x的一元二次方程（m﹣6）x2﹣6x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m满足（）A．m≥﹣3 B．m＞﹣3且m≠6C．m≥﹣3且m≠6 D．m≠6
【考点】根的判别式．
【分析】根据根的判别式结合二次项系数非0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵方程（m﹣6）x2﹣6x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m＞﹣3且m≠6．
故选B．
【点评】本题考查了根的判别式，根据根的判别式结合二次项系数非0列出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）
A．B．C．D．
【考点】正方形的性质；勾股定理．
【分析】利用勾股定理求出CM的长，即ME的长，有DE=DG，可以求出DE，进而得到DG的长．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，M为边DA的中点，
∴DM=AD=DC=1，
∴CM==，
∴ME=MC=，
∵ED=EM﹣DM=﹣1，
∵四边形EDGF是正方形，
∴DG=DE=﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质和勾股定理的运用，属于基础题目．
二、填空题
11．一元二次方程3x（x﹣3）=2x2+1化为一般形式为x2﹣9x﹣1=0．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】根据一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项可得答案．
【解答】解：一元二次方程3x（x﹣3）=2x2+1化为一般形式为x2﹣9x﹣1=0，
故答案为：x2﹣9x﹣1=0．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=8，E是AB的中点，则OE的长等于4．
【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．
【分析】由在菱形ABCD中，AB=8，E是AB的中点，易求得BC的长，证得OE是△ABC的中位线，然后利用三角形中位线的性质求解即可求得答案．
【解答】解：∵在菱形ABCD中，AB=8，
∴BC=AB=8，OA=OC，
∵E是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=BC=4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了菱形的性质以及三角形中位线的性质．注意证得OE是△ABC的中位线是关键．
13．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为14．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD=BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，
∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4，
∵点E为AC的中点，
∴DE=CE=AC=5，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．
故答案为14．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
14．已知矩形两边长分别是方程x2﹣50x+35=0的两根，则矩形的面积为35．
【考点】根与系数的关系．
【分析】设方程x2﹣50x+35=0的两根分别为a，b，根据根与系数的关系可得出a+b=50、ab=35，再根据矩形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：设方程x2﹣50x+35=0的两根分别为a，b，
则：a+b=50，ab=35，
∵a、b是矩形两边，
∴矩形的面积为35．
故答案为：35．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及矩形的面积公式，熟练掌握“两根之积为”是解题的关键．
15．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB的中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠CDE的度数为45°．
【考点】翻折变换（折叠问题）；菱形的性质．
【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A=60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C=60°，进而求出∠PDC=90°，
由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°．
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，
∴∠PDC=90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°
故答案为：45°
【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
16．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：
①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．
其中正确的序号是①②④（把你认为正确的都填上）．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，
∴CE=CF，
∴①说法正确；
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，
∴②说法正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③说法错误；
∵EF=2，
∴CE=CF=，
设正方形的边长为a，
在Rt△ADF中，
AD2+DF2=AF2，即a2+（a﹣）2=4，
解得a=，
则a2=2+，
S正方形ABCD=2+，
④说法正确，
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．
三、解答题（共6题，共52分）
17．解下列方程
（1）x2﹣2x+1=0
（2）x2+3x+1=0
（3）x2﹣6x﹣18=0（配方法）
（4）x（5x+4）=5x+4．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【分析】（1）左边利用完全平方公式进行因式分解，然后通过开平方解方程；
（2）利用配方法把左边配成完全平方式，右边化为常数；
（3）把常数项﹣18移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣6的一半的平方；
（4）先移项，然后利用提取公因式（5x+4）进行因式分解．
【解答】解：（1）由原方程，得
（x﹣1）2=0，
解得x1=x2=1；
（2）移项得x2+3x=﹣1，
配方得x2+3x+（）2=﹣1+（）2，
即（x+）2=，
开方得x+=±，
∴x1=，x2=．
（3）由原方程移项，得
x2﹣6x=18，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2﹣6x+9=27，
配方，得
（x﹣3）2=27，
开方，得
x﹣3=±3，
解得，x1=3+3，x2=3﹣3．
（4）由原方程，得
（x﹣1）（5x+4）=0，
则x﹣1=0或5x+4=0，
解得，x1=1，x2=﹣
【点评】此题考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、C D．求证：EF=C D．
【考点】矩形的判定与性质；三角形中位线定理．
【专题】证明题．
【分析】由DE、DF是△ABC的中位线，可证得四边形DECF是平行四边形，又由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，可证得四边形DECF是矩形，根据矩形的对角线相等，即可得EF=C D．
【解答】证明：∵DE、DF是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
又∵∠ACB=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴EF=C D．
【点评】此题考查了矩形的判定与性质以及三角形中位线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
19．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．
【考点】菱形的判定．
【专题】证明题．
【分析】由已知易得四边形AEDF是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得∠FAD=∠FDA，根据等角对等边可得AF=DF，再根据邻边相等的四边形是菱形可得结论．
【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF，
∴∠FAD=∠FDA，
∴AF=DF，
∴四边形AEDF是菱形．
【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．
20．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．
【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得
x（25﹣2x+1）=80，
化简，得x2﹣13x+40=0，
解得：x1=5，x2=8，
当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．
21．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，请在图中画出折痕，并求折痕的长．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】利用勾股定理列式求出AC，根据翻折变换的性质可得AC⊥EF，OC=AC，然后利用∠ACB 的正切列式求出OF，再求出△AOE和△COF全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF．【解答】解：∵AB=6cm，BC=8cm，
∴AC===10cm，
∵折叠后点C与点A重合，
∴AC⊥EF，OC=AC=×10=5cm，
∵tan∠ACB==，
∴=，
解得OF=，
∵矩形对边AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF=，
∴折痕EF=+=．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键．
22．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【考点】菱形的性质；含30度角的直角三角形；矩形的性质；解直角三角形．
【专题】几何图形问题；压轴题；动点型．
【分析】（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，由已知条件求证；
（2）求得四边形AEFD为平行四边形，若使▱AEFD为菱形则需要满足的条件及求得；
（3）①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．在直角三角形AED中求得AD=2AE即求得．
②∠DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，则得∠ADE=∠DEF=90°，求得AD=AE•cos60°列式得．
③∠EFD=90°时，此种情况不存在．
【解答】（1）证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t．
又∵AE=t，
∴AE=DF．
（2）解：能．理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
∵AB=BC•tan30°=5=5，
∴AC=2AB=10．
∴AD=AC﹣DC=10﹣2t．
若使▱AEFD为菱形，则需AE=AD，
即t=10﹣2t，t=．
即当t=时，四边形AEFD为菱形．
（3）解：①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．
在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE．
即10﹣2t=2t，t=．
②∠DEF=90°时，由（2）四边形AEFD为平行四边形知EF∥AD，
∴∠ADE=∠DEF=90°．
∵∠A=90°﹣∠C=60°，
∴AD=AE•cos60°．
即10﹣2t=t，t=4．
③∠EFD=90°时，此种情况不存在．
综上所述，当t=秒或4秒时，△DEF为直角三角形．
【点评】本题考查了菱形的性质，考查了菱形是平行四边形，考查了菱形的判定定理，以及菱形与矩形之间的联系．难度适宜，计算繁琐．
北师大版九年级上学期第一次月考
数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．由几个大小相同的正方形组成的几何图形如图，则它的俯视图是（）
A．B．C．D．
2．如果反比例函数的图象经过点（﹣2，3），那么k的值是（）
A．B．﹣6 C．D．6
3．晚上小亮在路灯下散步，在小亮从远处走到灯下，再远离路灯这一过程中，他在地上的影子（）A．逐渐变短B．先变短后变长C．先变长后变短D．逐渐变长
4．如果函数y=x m为反比例函数，则m的值是（）
A．1 B．0 C．D．﹣1
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（）
A．sinA=B．tanA=C．cosB=D．tanB=
6．在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＞1 B．k＞0 C．k≥1 D．k＜1
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，sinA=，则AB的长为（）
A．B． 6 C．12 D．8
8．在相同的时刻，物高与影长成比例．如果高为1.5米人测竿的影长为2.5米，那么高为12米的旗杆的影长是（）
A．20米B．16米C．18米D．15米
9．函数y=kx﹣2与y=（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（）
A．B．C．D．
10．在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinB=（）
A．B．C．D．
二、填空题（每空3分，共30分）
11．下面四幅图是两个物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序是．
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，则cosA=．
13．如图，若点A在反比例函数的图象上，AM⊥x轴于点M，△AMO的面积为4，k=．
14．如图，由四个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是1，则该几何体俯视图的面积是．
15．+2cos30°的值为．
16．在△ABC中，∠C=90°，tanA=2，则tanB=．
17．某种大米单价是y元/千克，若购买x千克花费了2.2元，则y与x的表达式是．18．河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比是2：3（坡比是坡面的铅直高度
BC与水平宽度AC之比），则AC的长是．
19．已知点A（﹣2，y1），点B（﹣1，y2），点C（3，y3）都在反比例函数y=（k＞0）的图象上，试比较y1，y2，y3的大小是．
20．如图，在函数y=（x＞0）的图象上有点P1、P2、P3…、P n、P n+1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1、P2、P3…、P n、P n+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3，则S1+S2+S3=．（用含n的代数式表示）
三、解答题（本大题共90分）
21．计算：．
22．画图：如图是小明与爸爸（线段AB）、爷爷（线段CD）在同一路灯下的情景，其中，粗线分别表示三人的影子．请根据要求，进行作图（不写画法，但要保留作图痕迹）；
（1）画出图中灯泡所在的位置．
（2）在图中画出小明的身高．
23．解直角三角形：
（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，c=13，求sinA，cosA，tan A．
（2）Rt△ABC的斜边AB=5，cosA=0.5，求△ABC的其他元素．
24．已知y与x+2成反比例，并且当x=3时，y=2，求y关于x的解析式．
25．△ABC中，AB=AC=8，BC=14，求底角的正弦和△ABC的面积．
26．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y=的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．
（1）求两个函数的解析式；
（2）求△OAB的面积．
27．一个人从山底爬到山顶，需先爬45°的山坡200米，再爬30°的山坡100米，求山高A B．
28．如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．
29．已知反比例函数的图象与一次函数y2=﹣2x+1的图象交于点A（﹣1，3）和点B（m，﹣2）．（1）求k和m；
（2）观察图象，直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
30．“马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，迅速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻．如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机观测得在点A俯角为30°方向的F点处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止）．为了便于观察，飞机继续向前飞行了800米到达B点，此时测得点F在点B俯角为45°的方向上，请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时（点A、B、C在同一直线上），竖直高度CF约为多少米？（结果保留整数，参考数值：≈1.7）
31．如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C=．
（1）求B′点和B点的坐标；
（2）若双曲线过点E，求双曲线的解析式，以及双曲线与直线CB的交点F的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．由几个大小相同的正方形组成的几何图形如图，则它的俯视图是（）
A．B．C．D．
考点：简单组合体的三视图．
分析：根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
解答：解：从上面看第一层右边一个，第二层三个正方形，
故选：A．
点评：本题考查了简单组合体的三视图，上面看得到的图形是俯视图．
2．如果反比例函数的图象经过点（﹣2，3），那么k的值是（）
A．B．﹣6 C．D．6
考点：待定系数法求反比例函数解析式．
专题：计算题．
分析：把（﹣2，3）代入函数解析式即可求k．
解答：解：把（﹣2，3）代入函数解析式，
得3=，
∴k=﹣6．
故选B．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．
3．晚上小亮在路灯下散步，在小亮从远处走到灯下，再远离路灯这一过程中，他在地上的影子（）A．逐渐变短B．先变短后变长C．先变长后变短D．逐渐变长
考点：中心投影．
专题：常规题型．
分析：根据中心投影的定义当小亮从远处走到灯下，他在地上的影子逐渐变短，当他再远离路灯的时，他在地上的影子逐渐变长．
解答：解：晚上小亮在路灯下散步，当小亮从远处走到灯下的时候，他在地上的影子由长变短，当他再远离路灯的时候，他在地上的影子由短变长．
故选B．
点评：本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
4．如果函数y=x m为反比例函数，则m的值是（）
A．1 B．0 C．D．﹣1
考点：反比例函数的定义．
分析：根据反比例函数的定义进行解答．
解答：解：∵y=x m为反比例函数，
∴m=﹣1．
故选：D．
点评：本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y=kx﹣1（k≠0）的形式．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（）
A．sinA=B．tanA=C．cosB=D．tanB=
考点：特殊角的三角函数值；锐角三角函数的定义．
分析：根据三角函数的定义求解．
解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2．
∴AC===，
∴sinA==，tanA===，cosB==，tanB==．
故选D．
点评：解答此题关键是正确理解和运用锐角三角函数的定义．
6．在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＞1 B．k＞0 C．k≥1 D．k＜1
考点：反比例函数的性质．
专题：常规题型．
分析：根据反比例函数的性质，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y都随x的增大而减小，可得k﹣1＞0，解可得k的取值范围．
解答：解：根据题意，在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，
即可得k﹣1＞0，
解得k＞1．
故选：A．
点评：本题考查了反比例函数的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，sinA=，则AB的长为（）
A．B． 6 C．12 D．8
考点：锐角三角函数的定义．
分析：根据三角函数定义就可以解决．。