备战高考数学(精讲精练精析)专题13.1几何证明选讲试题文(含解析)

专题1 几何证明选讲（文科）
【三年高考】
1. 【2016高考天津】如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE =2AE =2，BD =ED ，则线段CE 的长为__________.
【答案】3
2.【2016高考新课标1卷】如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB =120°.以O 为圆心,
12OA 为半径作圆. (I)证明：直线AB 与O 相切；
(II)点C ,D 在⊙O 上,且A ,B ,C ,D 四点共圆,证明：AB ∥CD .
O D
C
B A
【解析】（Ⅰ）设E 是AB 的中点,连结OE ,因为,120OA OB AOB =∠=︒,所以
OE AB ⊥,60AOE ∠=︒．在Rt AOE ∆中,12
OE AO =
,即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线AB 与⊙O 相切． （Ⅱ）因为2OA OD =,所以O 不是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,
作直线'OO ．由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又'O 在线段AB 的垂直平分线上,所以
'OO AB ⊥．同理可证,'OO CD ⊥．所以//AB CD ．
E O'
D
C O
B
A
3．【2016高考新课标2】如图，在正方形ABCD 中，,E G 分别在边,DA DC 上（不与端点重合），且DE DG =，
过D 点作DF CE ⊥，垂足为F ．
(Ⅰ) 证明：,,,B C G F 四点共圆；
(Ⅱ)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．
4．【2016高考新课标3】如图，O 中AB 的中点为P ，弦PC PD ，分别交AB 于E F ，两点．
（I ）若2PFB PCD ∠=∠，求PCD ∠的大小；
（II ）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG CD ⊥．
【解析】（Ⅰ）连结BC PB ,，则BCD PCB PCD BPD PBA BFD ∠+∠=∠∠+∠=∠,.因为AP BP =，所以PCB PBA ∠=∠，又BCD BPD ∠=∠，所以PCD BFD ∠=∠.又
180,2PFD BFD PFB PCD ∠+∠=︒∠=∠，所以3180PCD ∠=︒， 因此60PCD ∠=︒.
（Ⅱ）因为BFD PCD ∠=∠，所以180PCD EFD ∠+∠=︒，由此知E F D C ,,,四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过E F D C ,,,四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上，又O 也在CD 的垂直平分线上，因此CD OG ⊥．
5.【2015高考新课标2，】如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，圆O 与ABC ∆的底边BC 交于M 、N 两点与底边上的高AD 交于点G ，与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点．
（Ⅰ）证明：//EF BC ；
（Ⅱ） 若AG 等于O
的半径，且AE MN ==求四边形EBCF 的面积．
【解析】（Ⅰ）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点，所以AE AF =，故AD EF ⊥．从而//EF BC ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =,AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 是O 的弦，所以O 在AD
上．连接OE ，OM ，则O E A E ⊥．由AG 等于O 的半径得2AO OE =，所以030OAE ∠=．所以ABC
∆和AEF ∆
都是等边三角形．因为AE =4AO =，2OE =．
因为2OM OE ==
，12DM MN ==所以1OD =．于是5AD =
，AB =．所以四边形EBCF
的面积221122⨯⨯=
6．【2015高考陕西，】如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ． （I ）证明：C D D ∠B =∠BA ；
（II ）若D 3DC A =
，C B =O 的直径．
7.【2015高考新课标1】如图，AB 是
O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于E .
（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是O 的切线；
（Ⅱ）若OA =，求∠ACB 的大小.
【解析】（Ⅰ）连结AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ，在Rt △AEC 中，由已知得DE =DC ，∴∠DEC =∠DCE ， 连结OE ，∠OBE =∠OEB ，∵∠ACB +∠ABC =90°，∴∠DEC +∠OEB =90°，∴∠OED =90°，∴DE 是圆O 的切线.
（Ⅱ）设CE =1，AE =x ,由已知得AB =BE 由射影定理可得，2AE CE BE =，
∴2x ，解得x ACB =60°.
8.【2015高考湖南】如图，在圆O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明：
（1）180MEN NOM ∠+∠=；
（2）FE FN FM FO ⋅=⋅
【解析】（1）如图a 所示， ∵M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，∴OM AB ⊥，ON CD ⊥， 即90OME ∠=， 90ENO ∠=，180OME ENO ∠+∠=，又四边形的内角和等于360，故180MEN NOM ∠+∠=；
（2）由（I ）知，O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FE FN FM FO ⋅=⋅
9. 【2014高考辽宁第22题】如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .
（Ⅰ）求证：AB 为圆的直径；
（Ⅱ）若AC =BD ，求证：AB =ED .
【解析】（Ⅰ）因为PD =PG ,所以∠PDG =∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA =∠DBA , 又由于∠PGD =∠EGA ,故∠DBA =∠EGA ,所以∠DBA +∠BAD =∠EGA +∠BAD ,从而∠BDA =∠PFA .由于AF 垂直EP ，所以∠PFA =90°，于是∠BDA =90°，故AB 是直径.
(Ⅱ)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA =∠ACB =90°，在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB =BA ,AC =BD ，
从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ，于是Rt △BDA 与∠DAB =∠CBA .又因为∠DCB =∠DAB ,所以∠DCB =∠CBA ，故DC ∥AB . 由于ED 是直径，由（Ⅰ）得ED =AB .
10. 【2014高考全国2第22题】如图，P 是e O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与e O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交e O 于点E.
证明：（Ⅰ）BE=EC ；
（Ⅱ）AD ⋅DE=22PB
【解析】（Ⅰ）连结AB ，AC ，由题意知PA=PD ，故PAD PDA ∠=∠，因为PDA DAC DCA ∠=∠+∠， PAD BAD PAB ∠=∠+∠，DCA PAB ∠=∠，所以DAC BAD ∠=∠，从而BE EC =，因此BE=EC.
（Ⅱ）由切割线定理得：2PA PB PC =⋅，因为2PC PA =，所以2PA PB =，4PC PB =，
由相交弦定理得：AD DE BD DC ⋅=⋅=()PD PB PD -⋅=11()22PC PB PC -⋅
=2(2)22PB PB PB PB -⋅=，所以等式成立.
11. 【2014高考全国1第22题】如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =.
（Ⅰ）证明：D E ∠=∠；
（Ⅱ）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE ∆为等边三角形.
【三年高考命题回顾】
纵观前三年各地高考试题, 高考对几何证明的考查，主要考查有关三角形相似、全等、面积、线段长度及角相等的求解及证明，以平行线等分线段定理，平行线截割定理，相似三角形的判定与性质定理，直角三角形射影定理，圆心角、圆周角定理，圆内接四边形的性质定理及判定定理，圆的割线定理，切割线定理，弦切角定理，相交弦定理等为主要考查内容，题目难度一般为中、低档，备考中应严格控制训练题的难度．
【2017年高考复习建议与高考命题预测】
由前三年的高考命题形式可以看出, 高考对这部分要求不是太高，要求会以圆为几何背景，利用直角三角形射影定理，圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理，相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理证明三角形相似，全等，求线段长等，预测2017年高考还会以圆为几何背景，考查相交线定理，切割线定理，以及圆内接四边形的性质定理与判定定理，考查学生的数形结合的能力.“几何证明选讲”是选修系列4的一个专题,该专题在高考中只考查“相似三角形”和“圆”这两部分平面几何内容,且与另三个选修4的专题一起命题,供考生选择作答.其核心内容为:线段成比例与相似三角形,圆的切线及其性质,与圆有关的相似三角形等.对同学们来说,“几何证明选讲”是初中所学知识的深化,因而倍感亲切.
试题题型为解答题,且难度不大.题型以比例问题为主，平行线分线段成比例定理、相似形、角平分线定理、直角三角形中的射影定理、圆中的割线定理、切割线定理和相交弦定理等,都涉及线段成比例,因此比例问题是本专题中所占比重最大的题型.解决这类问题,主要方法就是设法利用上述定理,并灵活变形.复习建议：圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推证过程.与圆有关的比例线段的证明要诀：相交弦、切割线定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效.
【2017年高考考点定位】
几何证明选讲的内容涉及的考点可归纳为:①相似三角形的定义与性质;②平行线截割定理;③直角三角形
射影定理;④圆周角与圆心角定理;⑤圆的切线的判定定理及性质定理;⑥弦切角的性质;⑦相交弦定理;⑧
圆内接四边形的性质定理和判定定理;⑨切割线定理.
【考点1】相似三角形的判定与性质
【备考知识梳理】
1．平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．
推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．
2．平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．
3．相似三角形的判定与性质
(1)判定定理：
【规律方法技巧】
1．判定两个三角形相似的常规思路
(1)先找两对对应角相等；
(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；
(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．
2．借助图形判断三角形相似的方法
(1)有平行线的可围绕平行线找相似；
(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；
(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边．
3.比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.
4.判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等．
5.．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．
6.相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：
若a c
b d
=，则①
a b
c d
=；②ad bc
=；③
a b c d
b d
++
=；④
a b c d
b d
--
=；⑤
a b c d
a b c d
++
=
--
；⑥
a a c
b b d
+
=
+
.
7.辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．
【考点针对训练】
1.【2016届河南省郑州一中高三考前冲刺四】如图所示，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N作割线NAB，交圆O于A，B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连接PB交圆O于点D，若MC=BC.
（1）求证：△APM ∽△ABP ；
（2）求证：四边形PMCD 是平行四边形.
2.【2016年山西省右玉一中高考冲刺压轴卷三】如图，已知⊙O 和⊙M 相交于B A 、两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为弧BD 中点，连结AG 分别交⊙O 、BD 于点F E 、，连结CE .
（Ⅰ）求证：GD CE EF AG ⋅=⋅；
（Ⅱ）求证：2
2
CE EF AG GF =. 【解析】（Ⅰ）连结AC AB ,，∵AD 为⊙M 的直径，∴
90=∠ABD ，∵AC 为⊙O 的直径，∴
AGD CEF ∠=∠，∵CFE DFG ∠=∠，∴GDF ECF ∠=∠，∵G 为弧BD 中点，∴GDF DAG ∠=∠，
∵BAG ECB ∠=∠，∴ECF DAG ∠=∠，∴AGD CEF ∆∆~，∴
GD
AG
EF CE =，∴GD CE EF AG ⋅=⋅. （Ⅱ）由（Ⅰ）知GDF DAG ∠=∠，G G ∠=∠，∴ADG DFG ∆∆~，∴GF AG DG ⋅=2
，由（Ⅰ）
知2222AG GD CE EF =，∴2
2
CE EF AG GF =. 【考点2】圆的有关问题 【备考知识梳理】 1．圆周角定理
(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角．
(2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (3)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质：
定理1：圆内接四边形的对角互补．
定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)判定：
判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．
推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
另外：若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张角为直角的点共圆． 3.圆的切线
(1)直线与圆的位置关系
性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (3)切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线长相等． 3．弦切角
(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．
(2)弦切角定理及推论
①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．
②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
4．与圆有关的比例线段
(1)
(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
【规律方法技巧】
1. 与圆有关的比例线段： (1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．
(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．
(3)相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理统称为圆幂定理：圆的两条弦或其延长线若相交，各弦被交点分成的两条线段长的积相等.当两交点在圆内时为相交弦定理，当两交点在圆外时为割线定理，两交点重合时为切线，一条上两点重合时为切割线定理，两条都重合时为切线长定理，应用此定理一定要分清两条线段是指哪两条．
2. 弦切角定理及推论的应用
(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．
(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．
3. 证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．
4.涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．
5.一般地，涉及圆内两条相交弦时首先要考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要注意应用切割线定理，要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理线段关系之间的区别．
6.在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似．在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦．如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理．在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向． 【考点针对训练】
1.【2016届湖北七市教研协作体高三4月联考】已知ABC ∆中，AB AC =，D 是ABC ∆外接圆劣弧AC 上的点（不与点,A C 重合），延长BD 至E ，延长AD 至F .
（1）求证：ABC EDF ∠=∠；
（2）若75ABC ∠=，ABC ∆中BC 边上的高为2+ABC ∆外接圆的面积.
2.【2016届陕西省高三下学期教学质检二】如图，已知圆1O 与2O 相交于,A B 两点，过点A 作圆1O 的切线交圆2O 于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交圆1O 、圆2O 于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P . （Ⅰ）求证：AD
EC ；
（Ⅱ）若AD 是圆2O 的切线，且6,2,9PA PC BD ===，求AD 的长.
【解析】（Ⅰ）连接BA ．∵AC 是圆1O 的切线，∴BAC D ∠=∠.又∵BAC E ∠=∠，∴D E ∠=∠，∴
AD EC .
（Ⅱ）证明：设,BP x PE y ==，∵6,2PA PC ==，∴12xy =.又∵AD
EC ，∴
PD AP
PE PC
=，∴96
2
x y +=.又∵0,0x y >>，联立上述方程得到3,4x y ==，∴916DE x y =++=.∵AD 是圆2O 的切线，∴2
916AD DB DE =⋅=⋅.∴12AD =.
【应试技巧点拨】 1．辅助线作法：
几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．
2．比例的性质的应用
相似关系的证明中，经常要应用比例的性质： 若
a c
b d =，则①a b
c
d =；②ad bc =；③a b c d b d ++=；④a b c d b d --=；⑤a b c d a b c d
++=--；⑥a a c b b d
+=+. 3．同一法：先作出一个满足命题结论的图形，然后证明图形符合命题已知条件，确定所作图形与题设条件所指的图形相同，从而证明命题成立．
4.证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．
5.与圆有关的比例线段
(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．
(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用． 二年模拟
1. 【2016年山西榆林高三二次模考】如图所示，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，ACD ∆的外接圆交BC 于点E ，2AB AC =.
（1）求证：2BE AD =；（2）当1,2AC EC ==时，求AD 的长.
2. 【2016年湖北八校高三四次联考】如图，在锐角三角形ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的圆O 与边,BC AC 另外的交点分别为,D E ，且DF AC ⊥于F ．
（Ⅰ）求证：DF 是O ⊙的切线；
（Ⅱ）若3CD =，7
=5
EA ，求AB 的长．
【解析】（Ⅰ）连结,.AD OD 则AD BC ⊥，又AB AC =，∴D 为BC 的中点，而O 为AB 中点，∴OD AC ∥，又DF AC ⊥，∴OD DF ⊥，而OD 是半径，∴DF 是O ⊙的切线.
（Ⅱ）连DE ，则CED B C ∠=∠=∠，则DCF DEF ∆∆≌，∴CF FE =，设CF FE x ==，则229DF x =-，
由切割线定理得：2DF FE FA =⋅，即279+5x x x ⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭，解得：1295=52x x =-，（舍），∴ 5.AB AC ==
B
3. 【2016年安徽安庆二模】如图,以ABC ∆的边AB 为直径作圆O ,圆O 与边BC 的交点D 恰为BC 边的中点,过点D 作DE AC ⊥于点E ．
（I ）求证：DE 是圆O 的切线； （II ）若30B ∠=,求
AE
DC
的值．
【解析】（Ⅰ）如图,连接OD .因为O 是AB 的中点,D 是BC 的中点,所以 OD //AC .因为AC DE ⊥,所以OD DE ⊥,所以DE 是⊙O 的切线.
（Ⅱ）因为AB 是⊙O 的直径,点D 在⊙O 上,所以BC AD ⊥. 又D 是BC 的中点,所以 AB AC =. 故
30=∠=∠B ACD .因为AC DE ⊥,所以 30=∠ADE . 在直角三角形AED 中,
30tan =DE
AE
；在直角三角形DEC 中,
30sin =DC DE . 于是6
3
3321=⨯=DE AE .
4.【2016年江西高三九校联考】如图所示，AC 为O e 的直径，D 为BC 的中点，E 为BC 的中点．
（1）求证：//DE AB ；
（2）求证：·
2?AC BC AD CD ＝．
5. 【2016年安徽淮北一中高三模考】如图，,A B 是圆O 上的两点，P 为圆O 外一点，连结,PA PB 分别交圆O 于点,C D ，且AB AD =，连结BC 并延长至E ，使PEB PAB ∠=∠． （1）求证：PE PD =；
（2）若1AB EP ==，且0120BAD ∠=，求AP ．
【解析】（1）连结DC ，因为,PCE ACB ADB PCD ABD ∠=∠=∠∠=∠，又因为AB AD =，所以
ABD ADB ∠=∠，所以PCE PCD ∠=∠，由已知,PEB PAB PDC PAB ∠=∠∠=∠，所以
PEC PDC ∠=∠，且PC PC =，所以PEC PDC ∆≅∆，所以PE PD =．
（2）因为,ACB PBA BAC PAB ∠=∠∠=∠，所以ABC
APB ∆∆，则()2A B A P A C A P A P P C ==-，
所以()2
2
AP AB AP PC PD PB PD PD BD -===+，又因为,1PD AB AB ==，所以
2223AP AB AB BD -==，所以22AP =AP =
．
6. 【2016年江西南昌高三一模】如图， 圆M 与圆N 交于A ， B 两点， 以A 为切点作两圆的切线分别交圆M 和圆N 于C 、D 两点，延长DB 交圆M 于点E ， 延长CB 交圆N 于点F ．已知BC=5， DB=10. (I)求AB 的长； （II ）求
CF
DE
.
【解析】（Ⅰ）根据弦切角定理，知BAC BDA ∠=∠，ACB DAB ∠=∠，∴△ABC ∽△DBA ，则
AB BC
DB BA
=，故250,AB BC BD AB =⋅==（Ⅱ）根据切割线定理，知2
CA CB CF =⋅，2
DA DB DE =⋅，两式相除，得22CA CB CF
DA DB DE
=⋅（*）.由
△ABC ∽△DBA ，得AC AB DA DB ===，22
12CA DA =，又51102CB DB ==，由（*）得1CF
DE
=． 7. 【2016年河南八市高三三模】已知，ABC ∆内接于圆，延长AB 到D 点，使得2,DC DB DC =交圆于
E 点.
（1）求证：2AD DE =；
（2）若AC DC =，求证：DB BE =.
【解析】(1）如图，连结··DB DA DE D B C E =．．DB DE DC DA ∴=．又22DC DB DA DE =∴=，． （2）AC DC D A BED A BED D BD BE =∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=，．，．．
8.【2016届河北省石家庄市高三二模】如图，ABC RT ∆内接于⊙O ， 90=∠C ，弦BF 交线段AC 于E ，
E 为AC 的中点，在点A 处作圆的切线与线段OE 的延长线交于D ，连接D
F .
（I ）求证：EB FE EO DE ⋅=⋅；
（II ）若 45=∠CEB ，⊙O 的半径r 为52，求切线AD 的长.
【解析】（I ）证明：在O 中，弦AC BF 、相交于E ，FE EB AE EC ∴⋅=⋅， 又E 为AC 的中点，所
以2FE EB AE ⋅=， 又因为OA AD ⊥,OE AE ⊥，根据射影定理可得
2AE DE EO =⋅,∴DE EO FE EB ⋅=⋅;
（II ）因为AB 为直径，所以0=90C ∠，又因为o 45CBE ∠=，所以BCE ∆为等腰直角三角
形． 2AC BC ∴=，根据勾股定理得222580AC BC BC +==，解得4BC =， 所以42AE OE ==，，
由（I ）得2AE DE EO =⋅所以8DE =，所以AD ==．
9. 【2016届陕西省高三高考全真模拟四】如下图,,AB CD 是圆O 的两条互相垂直的直径,E 是圆O 上的点,过E 点作圆O 的切线交AB 的延长
线于F .连结CE 交AB 于G 点.
（1）求证：2FG FA FB =；
（2）若圆O 的半径为OB =,求EG 的长.
【解析】（1）证明：连接,OE DE ,由弦切角定理知,90,90FEG D C D C FEG ∠=∠∠+∠=∴∠+∠=，又90,,90,C CGO CGO FGE C FGE FGE FEG ∠+∠=∠=∠∴∠+∠=∴∠=∠,即FG FE =.由切割
线定理得2
FE FA FB =,所以2FG FA FB =.
（2）由O B G ==2OG =.在Rt OCG ∆中，由2OC OG ==得，4,30CG C =∠=.
在Rt CDE ∆中，由30CD C =∠=得6CE =，于是642EG CE CG =-=-=.
10.【2016届山西右玉一中高三下学期模拟】已知如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，对角线,AC BD 交于点E ，直线AP 是圆O 的切线，切
点为A ，PAB BAC ∠=∠.
（1）若5,2BD BE ==，求AB 的长；
（2）在AD 上取一点F ，若FED CED ∠=∠，求BAF BEF ∠+∠的大小.
11. 【2015届陕西西安西北工大附中高三下学期5月模拟】如图，O 和
'O 相交于A ，B 两点，过A 作
两圆的切线分别交两圆于,C D 两点，连结DB 并延长交O 于点E ．
证明：（Ⅰ）AC BD AD AB ⋅=⋅； （Ⅱ）=AC AE ．
【解析】（1）由AC 与O 相切于A ，得=CAB ADB ∠∠，同理=ACB DAB ∠∠，
所以ACB DAB ∆∆从而=AC AB AD BD
，即=AC BD AD AB （2）由AD 与O 相切于A ，得=AED BAD ∠∠，又=ADE BDA ∠∠，得EAD
ABD ∆∆ 从而=AE AD AB BD
，即=AE BD AD AB ，综合（1）的结论，=AC AE 12.【2015届陕西省西工大附中高三下学期模拟考试一】如图,⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线
相交于点P ,E 为⊙O 上一点,AE ＝AC ,DE 交AB 于点F ,且42==BP AB ,
（Ⅰ）求PF 的长度．
（Ⅱ）若圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度
【解析】（Ⅰ）连结,,OC OD OE ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长AE 等于弧长AC 可得CDE AOC ∠=∠,又CDE P PFD ∠=∠+∠,AOC P OCP ∠=∠+∠,从而PFD OCP ∠=∠,故PFD ∆∽PCO ∆,∴PF PD PC PO =, 由割线定理知12PC PD PA PB ⋅=⋅=,故1234
PC PD PF PO ⋅===． （Ⅱ）若圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ，因为21OF r =-=即1r =，所以OB 是圆F 的直径，且
过P 点圆F 的切线为PT ，则2PT 248PB PO =⋅=⨯=
，即PT =.
13.【2015届吉林省吉林市高三第三次模拟考试】如图，在△ABC 中，90B ∠=，以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于E ，AE 交⊙O 于点F ．
（Ⅰ）证明：E 是BC 的中点；
（Ⅱ）证明：AD AC AE AF ⋅=⋅.
【解析】（Ⅰ）证明：连接BD ，因为AB 为⊙O 的直径，所以BD AC ⊥，又90B ∠=，所以CB 切⊙O 于点B ，且ED 切于⊙O 于点E ，因此EB ED = ，EBD EDB ∠=∠，90CDE EDB EBD C ∠+∠==∠+∠ 所以CDE C ∠=∠，得EC ED =，因此EB EC =，即E 是BC 的中点
（Ⅱ）证明：连接BF ，可知BF 是Rt △ABE 斜边上的高，可得△ABE ∽△AFB ，于是有AB AE AF AB
=，即2AB AE AF =⋅，同理可证2AB AD AC =⋅，所以AD AC AE AF ⋅=⋅.
14.【2015届辽宁省师大附中高三模拟考试】如图，圆周角BAC ∠的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ，AD 交BC 于点F ．
（1）求证：DE BC //;
（2）若F C E D ,,,四点共圆，且弧AC 与弧BC 相等，求BAC ∠
【解析】（1）因为DE 与圆相切，DAB DCB EAD EDC ∠=∠∠=∠,，AD 平方EAB ∠，所以DCB EDC ∠=∠，DCB EDC ∠=∠∴，所以DE BC //
（2）弧AC 与弧BC 相等，设θ=∠=∠CBA CAB ，DBA EDA ∠=∠，
θθ23,21=∠∴=∠=∠ACB CAD DBC ，ππθ7
2,27=∠∴=BAC . 15.【2015届陕西省西安市第一中学高三下学期自主命题二】如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的角平分线，ADC ∆的外接圆交BC 于点E ，2AB AC =． E
D C
A B
（Ⅰ）求证：2BE AD =；
（Ⅱ）当3AC =，6EC =时，求AD 的长．
【解析】（Ⅰ）连接DE ，因为ACED 是圆内接四边形，所以,BCA BDE ∠=∠又,CBA DBE ∠=∠DBE ∆∴∽CBA ∆，即有BE DE BA CA
=，又因为2AB AC =，可得2BE DE =因为CD 是ACB ∠的平分线，所以AD DE =，从而AD BE 2=
（Ⅱ）由条件知62==AC AB ，设t AD =，则62,2+==t BC t BE ，根据割线定理得
BC BE BA BD ⋅=⋅，即),62(26)6(+⋅=⨯-t t t 即018922=-+t t ，解得32
t =
或6-（舍去），则32
AD =．
拓展试题以及解析
1. 如图，ABC ∆内接于⊙O ，弦AE 交BC 于点D ，已知2AD BD DC =⋅，°60ADC ∠=，OD =1,BC OE ⊥.
（Ⅰ）求ODG
∠；
（Ⅱ）求ABC ∆中BC 边上的高．
【入选理由】本题主要考查平面几何的相关知识，同时考查考生的逻辑推理能力.高考对平面几何的考查主要是通过三角形全等或三角形相似进行边角转化，并综合运用圆的切割线定理、相交弦定理等 进行证明计算．以圆为背景 是基本不变的，因而灵活应用圆的几何性质，找准有关的对应三角形、对应边和对应角是解题的关键.本题构思巧妙，难度不大，故选此题.
2．如图，过圆O 外一点P 作圆的切线PC ，切点为C ，割线PAB 、割线PEF 分别交圆O 于A 与B 、E
与F ．已知PB 的垂直平分线DE 与圆O 相切．
（1）求证：DE BF ；
（2）若PC =1DE =，求PB 的长．
【解析】（1）证明：连结BE ，∵DE 与圆O 相切，∴BED BFE ∠=∠．又DE 为PB 的垂直平分线，∴BED PED ∠=∠，∴PED BFE ∠=∠，∴DE BF ．
（2）由（1）知DE BF 且D 为PB 的中点，∴E 为PF 的中点，且90FBP EDP ∠=∠=︒，∴
BE PE EF ==．∵PC 为圆O 的切线，∴2PC PE PF =，∴22PE PE =，∴PE =
2PB BD ====
【入选理由】本题考查圆的切割线定理，弦切角定理等基础知识，意在考查逻辑思维能力和推理论证能力. 切割线定理、三角形相似、四点共圆的性质，是高考重点考查知识点，本题难度不大，故选此题.
3.如图，直线AB 过圆心O ，交圆O 于A 、B ，直线AF 交圆O 于F （不与B 重合），直线l 与圆O 相切于C ，交AB 于E ，且与AF 垂直，垂足为G ，连接AC ．
求证：（Ⅰ）CAG BAC ∠=∠；
（Ⅱ）AF AE AC ⋅=2．
【证明】（Ⅰ）连接BC ， AB 是直径，∴ 90=∠ACB ，∴90ACB AGC ∠=∠=． GC 切圆O 于
C ，∴GCA ABC ∠=∠．∴BAC CAG ∠=∠． （Ⅱ）连接CF ， EC 切圆O 于C ，∴AFC ACE ∠=∠．又,CAG BAC ∠=∠∴ACF △∽AEC △． ∴AF AE AC AC
AF AE AC ⋅=∴=2,． 【入选理由】本题考查圆的弦切角定理、三角形相似等基础知识，意在考查逻辑思维能力和推理论证能力.本题由弦切角定理入手，得出三角形相似，从而可证，本题难度不大，故选此题.
4.如图，BC 是⊙O 的直径，,D E 是圆上两点，BE 交DC 于点F ，若3BF FC ==，2DF FE ==． （Ⅰ）求证：AD AE =；
（Ⅱ）求线段BC 的长度．
【入选理由】本题考查平面几何的证明，具体涉及圆的性质，四点共圆，割线定理等基础知识，意在考察学生推理证明和逻辑思维能力.本题考查知识基础，综合性强，是高考出题方向，故选此题.
5.如图，圆内接四边形ABCD 满足AB ∥CD ，P 在BA 的延长线上，且PB PA PD ⋅=2. 若22=BD ，
2==CD PD .。