2025年北师大版八年级下册数学阶段拔尖专训8 因式分解中的创新题
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两种不同的拼法，在图④的框中和图⑤的框中分别画出示意
图，并在相应的横线上写出所拼长方形或正方形的面积表达
式及因式分解的结果.
（拼法不唯一）第一种拼法,如图②.
2 + 4 2 + 4 = ( + 2)2 .
第二种拼法,如图③.
2 + 4 2 + 5 = ( + )( + 4).
待定系数法可以应用到因式分解中，例如：因式分解 3 − 1.
∵ 3 − 1为三次多项式，∴ 若能因式分解，则可以分解成一
个一次多项式和一个二次多项式的乘积.
故我们可以猜想 3 − 1可以分解成( − 1)( 2 + + )，展
开等式右边得， 3 + ( − 1) 2 + ( − ) − ，根据待定系
2
1
3
【解】由题意得2 × − (1 − ) × 1 = 0，解得 = .
（3）将下面的式子进行因式分解：
2 − 2
8
∣∣.2ຫໍສະໝຸດ −3 − 2 − 11
原式= ( 2 − 2)( 2 − 2 − 11) − (−3) × 8
= ( 2 − 2)2 − 11( 2 − 2) + 24
题型2 新定义型
2.[2024长沙师大附中期中] 定义：，，为正整数，若
2 = 2 + 2 ，则称为“完美勾股数”，，为的“伴侣勾股
数”.如132 = 52 + 122 ，则13是“完美勾股数”，5，12是13的
“伴侣勾股数”.
是
（1）数10____“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
= 2 + 4 + 2 ， = 3( + )，为“完美勾股数”，
，为的“伴侣勾股数”.多项式 3 − 3 2 + 2有一个因式为
− + ，求该多项式的另一个因式.
【解】由题意得 2 = 2 + 2 ，
∴ (22 + 2 + 22 )2 = (2 + 4 + 2 )2 + 3( + )2 .
3.[2024上海杨浦区模拟] 让我们来规定一种运算：
2 4
∣= − ，例如：∣
∣= 2 × 1 − 4 × 3 = −10，
3 1
6
再如：∣
∣= 2 − 6.按照这种运算规定，请解答下列问
2
∣
题：
（1）∣
−2 −5
14
∣=____;
4
3
（2）当∣
1
1−
∣= 0时，求的值;
∴ ( − 3)2 + ( − 4)2 + ( − 5)2 = 0.
∵ ( − 3)2 ≥ 0,( − 4)2 ≥ 0,( − 5)2 ≥ 0,
∴ = 3, = 4, = 5. ∴ 2 = 2 + 2 .
∴ 是“完美勾股数”.
（3）已知 > > 0， = 22 + 2 + 22 ，
又∵ > > 0，∴ ( − )2 − 1 = 0，即 − = 1.
∵ 3 − 3 2 + 2 = ( − 1)( 2 − 2 − 2),且 3 − 3 2 + 2有一
个因式为 − + = − 1，
∴ 该多项式的另一个因式为 2 − 2 − 2.
（2）继续探究中，小明用1张，2张和3
张再次拼得一个长方形，请在图③的框
中画出示意图，并将长方形面积表达式的
因式分解结果写在横线上；
【解】画示意图如图①.( + )( + 2)
（3）尝试应用：请你仿照小明同学的探究方法，尝试用1张
，4张和若干张拼成一个长方形或者正方形，请你设计
数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等，得
− 1 = 0， − = 0，− = −1，可以求出 = 1，
= 1. ∴ 3 − 1 = ( − 1)( 2 + + 1).
（1）若取任意值，等式 2 + 2 + 3 = 2 + (3 − ) + 恒
= ( 2 − 2 − 3)( 2 − 2 − 8)
= ( + 1)( − 3)( + 2)( − 4).
题型3 阅读理解型
4.
阅读材料，解答下列问题：
待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利
用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这
些系数，从而得到待求的值.
∴ (22 + 2 + 22 )2 − (2 + 4 + 2 )2 = 3( + )2 .
∴ (32 + 6 + 32 )(2 − 2 + 2 ) = 3( + )2 .
∴ ( + )2 ( − )2 = ( + )2 .
∴ ( + )2 [( − )2 − 1] = 0.
阶段拔尖专训8 因式分解中的创新题
题型1 动手操作型
1.
在学习《因式分解》时，
邹老师给同学们发了很多硬纸片
( × 的正方形， × 的正方形，
× 的长方形),如图①.
（1）在探究中，小明用1张和1张组成
如图②所示的长方形,说明2 + 可以分
( + )
解为_________；
∴ + 1 = 0, + = 2, = 3,解得 = −1, = 3.
∴ 该多项式的另一个因式为 2 − + 3.
（3）请判断多项式 4 + 2 + 1是否能分解成两个均为整系
（2）已知△的三边，，满足
2 + 2 + 2 − 6 − 8 − 10 + 50 = 0.求证：是“完美勾股数”;
【证明】∵ 2 + 2 + 2 − 6 − 8 − 10 + 50 = 0,
∴ (2 − 6 + 9) + ( 2 − 8 + 16) + ( 2 − 10 + 25) = 0.
1
成立，则 =___；
（2）已知多项式 3 + 2 + 3有因式 + 1，请用待定系数法
求出该多项式的另一个因式；
【解】设另一个因式为( 2 + + )，
则( + 1)( 2 + + ) = 3 + 2 + + 2 + + =
3 + ( + 1) 2 + ( + ) + .
图，并在相应的横线上写出所拼长方形或正方形的面积表达
式及因式分解的结果.
（拼法不唯一）第一种拼法,如图②.
2 + 4 2 + 4 = ( + 2)2 .
第二种拼法,如图③.
2 + 4 2 + 5 = ( + )( + 4).
待定系数法可以应用到因式分解中，例如：因式分解 3 − 1.
∵ 3 − 1为三次多项式，∴ 若能因式分解，则可以分解成一
个一次多项式和一个二次多项式的乘积.
故我们可以猜想 3 − 1可以分解成( − 1)( 2 + + )，展
开等式右边得， 3 + ( − 1) 2 + ( − ) − ，根据待定系
2
1
3
【解】由题意得2 × − (1 − ) × 1 = 0，解得 = .
（3）将下面的式子进行因式分解：
2 − 2
8
∣∣.2ຫໍສະໝຸດ −3 − 2 − 11
原式= ( 2 − 2)( 2 − 2 − 11) − (−3) × 8
= ( 2 − 2)2 − 11( 2 − 2) + 24
题型2 新定义型
2.[2024长沙师大附中期中] 定义：，，为正整数，若
2 = 2 + 2 ，则称为“完美勾股数”，，为的“伴侣勾股
数”.如132 = 52 + 122 ，则13是“完美勾股数”，5，12是13的
“伴侣勾股数”.
是
（1）数10____“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
= 2 + 4 + 2 ， = 3( + )，为“完美勾股数”，
，为的“伴侣勾股数”.多项式 3 − 3 2 + 2有一个因式为
− + ，求该多项式的另一个因式.
【解】由题意得 2 = 2 + 2 ，
∴ (22 + 2 + 22 )2 = (2 + 4 + 2 )2 + 3( + )2 .
3.[2024上海杨浦区模拟] 让我们来规定一种运算：
2 4
∣= − ，例如：∣
∣= 2 × 1 − 4 × 3 = −10，
3 1
6
再如：∣
∣= 2 − 6.按照这种运算规定，请解答下列问
2
∣
题：
（1）∣
−2 −5
14
∣=____;
4
3
（2）当∣
1
1−
∣= 0时，求的值;
∴ ( − 3)2 + ( − 4)2 + ( − 5)2 = 0.
∵ ( − 3)2 ≥ 0,( − 4)2 ≥ 0,( − 5)2 ≥ 0,
∴ = 3, = 4, = 5. ∴ 2 = 2 + 2 .
∴ 是“完美勾股数”.
（3）已知 > > 0， = 22 + 2 + 22 ，
又∵ > > 0，∴ ( − )2 − 1 = 0，即 − = 1.
∵ 3 − 3 2 + 2 = ( − 1)( 2 − 2 − 2),且 3 − 3 2 + 2有一
个因式为 − + = − 1，
∴ 该多项式的另一个因式为 2 − 2 − 2.
（2）继续探究中，小明用1张，2张和3
张再次拼得一个长方形，请在图③的框
中画出示意图，并将长方形面积表达式的
因式分解结果写在横线上；
【解】画示意图如图①.( + )( + 2)
（3）尝试应用：请你仿照小明同学的探究方法，尝试用1张
，4张和若干张拼成一个长方形或者正方形，请你设计
数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等，得
− 1 = 0， − = 0，− = −1，可以求出 = 1，
= 1. ∴ 3 − 1 = ( − 1)( 2 + + 1).
（1）若取任意值，等式 2 + 2 + 3 = 2 + (3 − ) + 恒
= ( 2 − 2 − 3)( 2 − 2 − 8)
= ( + 1)( − 3)( + 2)( − 4).
题型3 阅读理解型
4.
阅读材料，解答下列问题：
待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利
用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这
些系数，从而得到待求的值.
∴ (22 + 2 + 22 )2 − (2 + 4 + 2 )2 = 3( + )2 .
∴ (32 + 6 + 32 )(2 − 2 + 2 ) = 3( + )2 .
∴ ( + )2 ( − )2 = ( + )2 .
∴ ( + )2 [( − )2 − 1] = 0.
阶段拔尖专训8 因式分解中的创新题
题型1 动手操作型
1.
在学习《因式分解》时，
邹老师给同学们发了很多硬纸片
( × 的正方形， × 的正方形，
× 的长方形),如图①.
（1）在探究中，小明用1张和1张组成
如图②所示的长方形,说明2 + 可以分
( + )
解为_________；
∴ + 1 = 0, + = 2, = 3,解得 = −1, = 3.
∴ 该多项式的另一个因式为 2 − + 3.
（3）请判断多项式 4 + 2 + 1是否能分解成两个均为整系
（2）已知△的三边，，满足
2 + 2 + 2 − 6 − 8 − 10 + 50 = 0.求证：是“完美勾股数”;
【证明】∵ 2 + 2 + 2 − 6 − 8 − 10 + 50 = 0,
∴ (2 − 6 + 9) + ( 2 − 8 + 16) + ( 2 − 10 + 25) = 0.
1
成立，则 =___；
（2）已知多项式 3 + 2 + 3有因式 + 1，请用待定系数法
求出该多项式的另一个因式；
【解】设另一个因式为( 2 + + )，
则( + 1)( 2 + + ) = 3 + 2 + + 2 + + =
3 + ( + 1) 2 + ( + ) + .