用插值法求抛物线的解析式

用拉格朗日插值法求抛物线的解析式
李立波
在数学的学习过程中，我们总是在不断总结规律，尽量得出一些形式化的结论.比如我们用配方法已经能够很好地解决一元二次方程根的求解问题,但是我们仍不满足,进而我们又有了公式法这一利器.今天,笔者想就抛物线解析式的求法作一下类似的探究.在初中阶段我们主要利用待定系数法求抛物线（指对称轴与x 轴垂直的抛物线,本文中的抛物线均是该类型）的解析式.下面笔者就介绍一种更加直接的方法：拉格朗日插值法.
引理:若抛物线21111(0)y a x b x c a =++≠经过抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上的三点11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ，则必有111,,a a b b c c ===.
证明:∵11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y 在抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上
∴123,,x x x 互不相等
∵抛物线2111y a x b x c =++和抛物线2y ax bx c =++都经过点A
∴2110ax bx c ++= …… ①
2111110a x b x c ++= …… ②
①－②,得:211111()()()0a a x b b x c c -+-+-=
同理: 212121()()()0a a x b b x c c -+-+-=,213131()()()0a a x b b x c c -+-+-=
∴123,,x x x 是2111()()()0a a x b b x c c -+-+-=的三个根
由代数基本定理可知,必有1110,0,0a a b b c c -=-=-=
即111,,a a b b c c ===
该引理说明如果过三个点有一条抛物线,那么它必定是唯一的一条.
定理:若一条抛物线经过11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y 三点,则它的解析式为231312123121321233132()()()()()()()()()()()()
x x x x x x x x x x x x y y y y x x x x x x x x x x x x ------=⨯+⨯+⨯------ …… ③. 证明: ∵11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y 在同一抛物线上
∴123,,x x x 互不相等并且31212131
y y y y x x x x --≠--, 故③式一定存在,下面证明它是一个二次函数:
在③式中2x 的系数为312121321233132()()()()()()
y y y x x x x x x x x x x x x ++------
整理,得21313121121323()()()()()()()
y y x x y y x x x x x x x x -------- ∵31212131
y y y y x x x x --≠-- ∴21313121()()()()0y y x x y y x x -----≠
故在③式中2x 的系数不为0. ∴231312123121321233132()()()()()()()()()()()()
x x x x x x x x x x x x y y y y x x x x x x x x x x x x ------=⨯+⨯+⨯------是一个二次函数,其图象是一条抛物线.
容易验证:当11x x y y ==时，;当22x x y y ==时，;当33x x y y ==时，.
由引理知: 过11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y 三点的抛物线解析式必为③式. 注:③式是我们用拉格朗日插值公式构造的.
例:已知一抛物线经过A (0,－1),B (1,0),C (－1,2),求其解析式.
解:所求抛物线的解析式为(1)(1)(1)(1)102(01)(01)(10)(11)(10)(11)x x x x x x y -++-=-⨯+⨯+⨯-+-+---- 整理,得:221y x x =--
由上可知用插值法求抛物线的解析式比用待定系数法更直接,可操作性更强.
（发表于《中学数学杂志》2009年第6期）。