【冲刺卷】高中必修五数学上期中模拟试题含答案(1)

【冲刺卷】高中必修五数学上期中模拟试题含答案(1)
一、选择题
1)63a -≤≤的最大值为（ ）
A ．9
B ．
92
C ．3
D ．
2
2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*1
1
n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7S
D ．n S 的最小值是7S
3．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1
B ．6
C ．7
D ．6或7
4．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知
sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）
A ．18
B ．34
C ．2
3 D ．16
5．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2
B ．4
C ．16
D ．8
6．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018
B ．2019
C ．4036
D ．4037
7．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7
B ．5
C ．5-
D ．7-
8．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，c =，
30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )
A B ．
34
C ．32或
D ．
34 9．已知数列{an}的通项公式为an ＝2
()3
n
n 则数列{an}中的最大项为( ) A ．
8
9
B ．
23
C ．
6481
D ．
125
243
10．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若
(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9
B ．22
C ．36
D ．66
12．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1a
b c
<
B ．
c a c
b a b
->- C ．11a a c b --<
D ．log log c b a a <
二、填空题
13．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,
45612131477a a a a a a ++++++=L ，且13k a =,则k =_________．
14．如图,无人机在离地面高200m 的A 处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN 为_________m.
15．若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①ab≤1； a b 2； ③a 2+b 2≥2；④a 3+b 3≥3;11
2a b
+≥⑤
. 16．数列{}n b 中，121,5b b ==且*
21()n n n b b b n N ++=-∈，则2016b =___________.
17．正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ，6290-=a a ，则{}n a 前5项和为________. 18．在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=3：5：7，则此三角形最大内角的大小．．为________．
19．已知数列{}n a 的通项1n n a n
+=
+15项的和等于_______.
20．在锐角ΔABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知
24,sin 4sin 6sin sin a b a A b B a B C +=+=,则ABC n 的面积取最小值时有2c =__________.
三、解答题
21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设n n b a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是首项为1公比为2的等比数列，求数列{}n b 前n 项和n T ．
22．已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C
的对边，
cos sin 0a C C b c --=．
（1）求A ．
（2）若2a =，ABC △
b ，
c ． 23．在△ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且
2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++
（Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.
24．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c a
B b
--=
（1） 求
sin sin C
A
的值 （2） 若1
cos ,24
B b =
= ，求ABC ∆的面积. 25．
已知函数()sin (0)f x m x x m =+>的最大值为2. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间； （Ⅱ）ABC ∆中
,()()sin 44
f A f B A B π
π
-
+-=,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且060,3C c ==，求ABC ∆的面积．
26．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且4
cos 5
A =． （1）求2
sin
cos 22
B C
A ++的值； （2）若2b =，ABC ∆的面积3S =，求a 的值．
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：
369
22
a a -++≤
= 当且仅当36a a -=+，即3
2
a =-时，等号成立， 故选B. 【点睛】
本题主要考查了均值不等式，属于中档题.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由
870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.
【详解】
由已知，得()11n n n S nS ++<， 所以
1
1
n n S S n n +<+， 所以()()()
()
1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，
所以等差数列{}n a 为递增数列. 又870a a +<，即
8
7
1a a <-， 所以80a >，70a <，
即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零， 所以n S 的最小值为7S ， 故选D. 【点睛】
本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.
3．B
【解析】
试题分析：由等差数列
的性质，可得
，又，所以
，所以数列
的通项公式为
，令
，解得
，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得
取最小值时的为
，故选B ．
考点：等差数列的性质.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos b
C C a
=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3
cos 24
C =，利用二倍角公式求得结果.
【详解】
由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=
则22224cos 2cos cos 22a b c b C b
C C ab ab a
+-===
ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=
ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222
C C
b b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅
即：2sin 4sin cos 3sin 222
C C C
C ==
()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24
C ∴= 2
91cos 2cos 1212168
C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】
本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.
5．D
解析：D
【分析】
利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可． 【详解】
等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7， 可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，
数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ． 【点睛】
本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据等差数列前n 项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n . 【详解】
由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，所以0d <，且
20182019
00a a >⎧⎨<⎩，所以()1403640362018201914037201940374036201802
240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩
，所以使前n 项和
0n S >成立的最大正整数n 是4036.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2
417
a a a =可得解.
【详解】
56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=Q 或474,2a a ==-.
由等比数列性质可知
2274101478,1a a a a a a ==-==或22
7410147
1,8a a a a a a ====-
1107a a ∴+=-
故选D. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知利用余弦定理可得29180a a -+=，解得a 值，由已知可求中线1
2
BD c =
，在BCD V 中，由余弦定理即可计算AB 边上中线的长． 【详解】
解：3,33,30b c B ===o Q ，
∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得239272332
a a =+-⨯⨯⨯，
整理可得：29180a a -+=，∴解得6a =或3．
Q 如图，CD 为AB 边上的中线，则1332BD c ==，
∴在BCD V 中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅，可得：
222333336(
)26222CD =+-⨯⨯⨯，或222333333()23222
CD =+-⨯⨯⨯
， ∴解得AB 边上的中线32CD =
或37
2
． 故选C ．
【点睛】
本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．
9．A
解析：A 【解析】
解法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)
n ＋1
－n
n
＝·
n
，
当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；
当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，
所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×
2
＝.故选A.
解法二 ＝＝
，
令
>1，解得n <2；令＝1，解得n ＝2；令
<1，解得n >2.又a n >0，
故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，
所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×
2
＝.故选A.
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案． 【详解】
由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=o ， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选D ． 【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．
11．D
解析：D 【解析】
分析：由341118a a a ++=，可得156a d +=，则化简11S =()1115a d +，即可得结果. 详解：因为341118a a a ++=， 所以可得113151856a d a d +=⇒+=， 所以11S =()111511666a d +=⨯=，故选D.
点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式， 意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
运用不等式对四个选项逐一分析 【详解】
对于A ，1b c >>Q ，1b c ∴>，01a <<Q ，则1a
b c ⎛⎫> ⎪⎝⎭
，故错误 对于B ，若c a c
b a b
->-，则bc ab cb ca ->-，即()0a c b ->，这与1b c >>矛盾，故错误
对于C ，01a <<Q ，10a ∴-<，1b c >>Q ，则11a a c b -->，故错误 对于D ，1b c >>Q ，c b log a log a ∴<，故正确 故选D 【点睛】
本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题．
二、填空题
13．18【解析】观察下标发现4710成等差数列所以同理
解析：18 【解析】
471017a a a ++=，观察下标发现4，7，10成等差数列，所以74710317a a a a =++=，
7173a ∴=
同理94561213141177a a a a a a a =++++++=L ，97a ∴=423
d ∴=，23
d =
91376k a a -=-=2
693÷=9918k ∴=+=
14．300【解析】试题分析：由条件所以所以这样在中在中解得中故填：300考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题属于基础题型首先要弄清楚两个概念仰角和俯角都指视线与水平线的夹角将问题所涉及的
解析：300 【解析】
试题分析：由条件，
,所以
,
,
,所以
,
,这样在
中，,在
中，
，解得
,
中，
，故填：300.
考点：解斜三角形
【思路点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度.
15．①③⑤【解析】【分析】【详解】对于①：因为所以所以故①项正确；对于②：左边平方可得：所以故②项错误；而利用特殊值代入②中式子也可得出②错误的结论；对于③：因为由①知所以故③项正确；对于④：故④项错误
解析：①③⑤ 【解析】 【分析】 【详解】 对于①：因为，，所以，所以，故①项正确； 对于②：左边平方可得：
，所以
，故②
项错误； 而利用特殊值，
代入②中式子，也可得出②错误的结论；
对于③：因为，由①知
，所以
，
故③项正确；
对于④：(
)3
3
22
()a b a b a ab b +=+-+2
2()
3a b ab ⎡⎤=⨯+-⎣⎦8686ab =-≥-2=,故
④项错误； 对于⑤
1a +1a =a b ab +=2ab
≥2，故⑤项正确； 故本题正确答案为：①③⑤.
16．-4【解析】【分析】根据已知可得即可求解【详解】且故答案为:-4【点睛】本题考查数列的递推关系以及周期数列考查计算求解能力属于中档题
解析：-4 【解析】 【分析】
根据已知可得6n n b b +=，即可求解. 【详解】
121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈， 321211n n n n n n n n b b b b b b b b ++++++=-==-=--， 63,20166336n n n b b b ++=-==⨯， 201663214b b b b b ∴==-=-+=-.
故答案为:-4 【点睛】
本题考查数列的递推关系以及周期数列，考查计算求解能力，属于中档题.
17．93【解析】【分析】运用等比数列通项公式基本量的计算先求出首项和公比然后再运用等比数列前项和公式求出前项和【详解】正项等比数列满足即则有代入有又因为则故答案为【点睛】本题考查了求等比数列前项和等比数 解析：93
【解析】
【分析】
运用等比数列通项公式基本量的计算，先求出首项和公比，然后再运用等比数列前n 项和公式求出前5项和.
【详解】
正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ，6290-=a a ，
即24222218,90a q a a q a -=-=
则有()()()
22222118,1190a q a q q -=-+=
代入有221=5,4q q +=
又因为0q >，则212,6,3q a a =∴== ()
553129312
S ⨯-∴==-
故答案为93
【点睛】 本题考查了求等比数列前n 项和等比数列通项公式的运用，需要熟记公式，并能灵活运用公式及等比数列的性质等进行解题，本题较为基础.
18．【解析】由正弦定理得由余弦定理得故也就是最大内角为 解析：23
π 【解析】
由正弦定理得::3:5:7a b c =,由余弦定理得2223571cos 2352
C +-==-⨯⨯,故2π3C =,也就是最大内角为2π3
. 19．【解析】【分析】将通过分母有理化化简得出再利用裂项相消法求出前15项的和【详解】利用分母有理化得设数列的前项的和为所以前15项的和为：即：故答案为：3【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前项的和还 解析：3
【解析】
【分析】
将
n a =
15项的和.【详解】
利用分母有理化得
n
a===
设数列{}n a的前n
项的和为n S，所以前15
项的和为：
151215
S a a a
=+++
L
1
=L
1
=
413
=-=
即：153
S=.
故答案为：3.
【点睛】
本题考查利用裂项相消法求数列的前n项的和，还运用分母有理化化简通项公式，属于基础题.
20．【解析】由正弦定理及得又即由于即有即有由即有解得当且仅当a=2b=2时取得等号当a=2b=1S取得最小值易得(C为锐角)则则
解析：5
【解析】
由正弦定理及sin4sin6sin sin
a A
b B a B C
+=,
得22
46sin
a b ab C
+=,
又
1
sin
2
S ab C
=,即22
412
a b S
+=,
由于24
a b
+=,即有()2
22
424164
a b a b ab ab
+=+-=-,
即有41612
ab S
=-,
由
2
2
42
2
a b
ab
+
⎛⎫
≤ ⎪
⎝⎭
,即有16128
S
-≤,解得
2
3
S≥,
当且仅当a=2b=2时,取得等号,
当a=2,b=
1,S取得最小值
2
3
,
易得
2
sin
3
C=(C为锐角),则cos C=,
则2222cos 5c a b ab C =+-=. 三、解答题
21．（1）21n a n =+；（2）()1212n n +-⋅
【解析】
【分析】
()1由已知条件利用等差数列的前n 项和公式和通项公式以及等比数列的定义，求出首项和公差，由此能求出21n a n =+．
(2()111)2,2212n n n n n n n
b b a n a ---==⋅=+⋅，由此利用错位相减法能求出数列{}n b 前n 项和n T ．
【详解】
解：(1)Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，
且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．
()()1121
113254355022312a d a d a d a a d ⨯⨯⎧+++=⎪∴⎨⎪+=⋅+⎩，
解得132a d =⎧⎨=⎩
()()1132121n a a n d n n ∴=+-=+-=+，
21n a n ∴=+
(2)n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
Q 是首项为1公比为2的等比数列， ()1112,2212n n n n n n n
b b a n a ---∴==⋅=+⋅ ()0121325272212n n T n -∴=⨯+⨯+⨯+⋯++⋅...①
()()12312325272212212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅++⋅...②
两式相减得：
()
()12123221212n n n T n --=--⨯++⋅-
()1212n n =+-⋅
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和，还考查了错位相减法求和，考查计算能力，属于中档题。

22．(1)60A =︒；(2)2b c ==.
【解析】
试题分析：
（1）由题意利用正弦定理边化角可得
()
sinAcosC sinB sinC sin A C sinC =+=++，化简可得
()1302
sin A -︒=，则60A =︒．
（2）由题意结合三角形面积公式可得12
S bc sinA =
⋅=4bc =，结合余弦定理计算可得4b c +=，则2b c ==．
试题解析：
（1）∵在ABC V 中，0acosC b c --=，
利用正弦定理可得()sinAcosC sinB sinC sin A C sinC =+=++，
1cosA -=，
即()1302
sin A -︒=， ∴3030A -︒=︒，
∴60A =︒．
（2）若2a =，ABC V
则12S bc sinA =⋅== ∴4bc =， 又由余弦定理可得()2222234a b c bccosA b c bc =+-=+-=，
∴4b c +=，
故2b c ==．
23．(Ⅰ)120°；(Ⅱ)1.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得∠A 的大小；
(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)的结论和三角函数的性质可得sin sin B C +的最大值.
【详解】
(Ⅰ)()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++Q ，
()()2222a b c b c b c ∴=+++,即222a b c bc =++.
2221cos 22
b c a A bc +-=-∴=，120A ∴=︒.
(Ⅱ)sin sin sin sin(60)B C B B +=+︒-()1 sin sin 6022
B B B =+=︒+， 060B ︒<<︒Q ，∴当6090B ︒+=︒即30B =︒时，sin sin B
C +取得最大值1.
【点睛】
在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
24．（1）
sin 2sin C A = （2 【解析】
【分析】
（1）正弦定理得边化角整理可得()()sin 2sin A B B C +=+，化简即得答案．
（2）由（1）知
sin 2sin c C a A ==，结合题意由余弦定理可解得1a = ，sin 4B =，从而计算出面积．
【详解】
（1）由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin a R A b R b c R C ===， 所以cos cos 22sin sin cos sin A C c a C A B b B
---== 即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-
即有()()sin 2sin A B B C +=+，即sin 2sin C A = 所以sin 2sin C A
= （2）由（1）知
sin 2sin c C a A ==，即2c a =， 又因为2b = ，所以由余弦定理得：
2222cos b c a ac B =+-，即222124224
a a a a =+-⨯⨯，解得1a =,
所以2c =，又因为1cos 4B =，所以sin B = ，
故ABC ∆的面积为
11sin 1222ac B =⨯⨯⨯4=4
. 【点睛】
正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，本题主要考查由正余弦定理解三角形，属于一般题．
25．（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】
【分析】
【详解】 (1)由题意，f(x)的最大值为2m 2+，所以2m 2 2.+=而m>0，于是m=2，f(x)=2sin(x+4π).由正弦函数的单调性可得x 满足32k x 2k (k Z)242πππππ+≤+≤+∈，即52k x 2k (k Z).44ππππ+≤≤+∈所以f(x)在［0,π］上的单调递减区间为,.4
ππ［］ (2)设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意，得c 32R 2 3.sin?C sin60=
==︒化简f (A )f (B )46sinAsin?B 44ππ
-+-=，得sin A+sin B=26sin Asin B.由正弦定理，得()2R a b 26ab,a b 2ab.+=+=① 由余弦定理，得a 2+b 2-ab=9，即(a+b)2-3ab-9=0② 将①式代入②，得2(ab)2-3ab-9=0，解得ab=3或3ab 2
=-(舍去)，故ABC 133S absinC .2∆== 26．（Ⅰ）
5950
（Ⅱ）a =13 【解析】
【分析】
【详解】 2
22221131sin cos 2cos 12sin cos 12sin cos 2sin 222222
B C A A A A A A A ++=+-=++-=+-⋅ 3sin 5A =
,4cos 5A ∴= 2231314959sin cos 2cos 2sin 2222225 5 250B C A A A ++=+-=+⨯-⨯= （2）133sin ,2,sin 25
bc A b A ===。