理论力学课后习题答案第10章动能定理及其应用）

理论⼒学课后习题答案第10章动能定理及其应⽤）
习题10— 3图
第10章动能定理及其应⽤ 10-1计算图⽰各系统的动能: 1 ?质量为 m ,半径为r 的均质圆盘在其⾃⾝平⾯内作平⾯运动。

在图⽰位置时，若已知圆盘上A 、B 两点的速度⽅向如图⽰， B 点的速度为v B ，■■ = 45o （图a ）。

2.图⽰质量为 m i 的均质杆OA ，⼀端铰接在质量为m 2的均质圆盘中⼼，另⼀端放在⽔平⾯上，圆盘在地⾯上作纯滚动，圆⼼速度为 v （图b ） 3?质量为m 的均质细圆环半径为 R ,其上固结⼀个质量也为 m 的质点 A 。

细圆环在⽔平⾯上作纯滚动，图⽰瞬时⾓速度为⑷（图C ）。

（C ）
解:
2. 3. 1 2 J c c 2 C C -m 2v 2
2 2
ImR 2 2 2
」m (纠2 1
2 2 2 1 1
2/V
\2
⼝2「(⼀) 2 2 r -mr 2(V
B )2 3
mv B
2 2r 16 1
2 3
2 m .v m 2v 2 4 jgv 2 2 2 2 2 = ]mR 2 .2 ^mR 2 2 】m （. 2R -）^2mR 2 2 2 2 2
图⽰滑块A 重⼒为W 1，可在滑道内滑动，与滑块 A ⽤铰链连接的是重⼒为 W 2、长为I 的匀质
V 1，杆AB 的⾓速度为? 1。

当杆与铅垂线的夹⾓为 ::时，试求系统
10— 2 杆AB 。

现已知道滑块沿滑道的速度为的动能。

解：图(a ) T ⼆T A T B 1 W 1 2 , 1 W 2 2
1 . 2、 v 1 - ( v C J C )
2 g 2 g 2
W 2
v .
2g 1 I 2 2
-■ 1) ■ v 1 -
丄 I m J I W 2 2 2
⼇2 “ cos ?] -1 ;-1 2 2 12 g
1 1 [(W ； W )V ： - W 2I
2 12 W 2I 1V 1COS] 2g
3 C
习题10 — 2图
(a) 10— 3 重⼒为F P 、半径为r 的齿轮II 与半径为R =3r 的固定内齿轮 I 相啮合。

齿轮II 通过匀质的曲柄0C 带动⽽运动。

曲柄的重⼒为 F Q ，⾓速度为」，齿轮可视为匀质圆盘。

试求⾏星齿轮机构的动能。

解： T =T OC T C
1 2 1 2 —J O ；：：OC ■ — me vc 2 2 扯⽜)'2
■1 2 g
1 1 (
2 2 Fp (2r )2 2 2 m e r ) 'C
lf^r 2(2^)2
4 g '「
V c C
O
2 2
J ' (2F Q 9F p ) 3g
10— 4图⽰⼀重物A 质量为 m 1,当其下降时，借⼀⽆重且不可伸长的绳索使滚⼦C 沿⽔平轨道滚动⽽不滑动。

绳索跨过⼀不计质量的定滑轮D 并绕在滑轮B 上。

滑轮B 的半径为R ,与半径为r 的滚⼦C 固结，两者总质量为 m 2,其对0轴的回转半径为p 试求重物 A 的加速度。

2〉
解：将滚⼦C 、滑轮D 、物块A 所组成的刚体系统作为研究对象, 想约束，由动能定理建⽴系统的运动与主动⼒设系统在物块下降任意距离 s 时的动能 1 2 1 2
2
m 2V C 2
J c ，C
系统具有理 r 2 J 2 E v A
T =1[m, m 2
m 2：、2
1
(R-r)2
(R — r)2]v A 4
m 2
⼒作的功：W^ggs 应⽤动能定理 J 2
2
2〕V A ⼆
mgs (R-r)2」A
将上式对时间求导数: r 2 + P 2
. g m B ]v A …gs
求得物块的加速度为: 2 _ gg(R-r) a ； — 2 22 m 1(R _ r) m 2(r 「) 10— 5图⽰机构中，均质杆 AB 长为I ,质量为 2m ,两端分别与光滑直槽相互垂直。

设弹簧刚度为k ,且当0= 0?时，弹簧为原长。

若运动，试求当杆AB 处于⽔平位置时的⾓速度和⾓加速度。

解：应⽤动能定理建⽴系统的运动与主动动能： T =- mv A — mv B 丄 J o A B
2 2 2
⼒之间的关
系。

其中：V A =1 sin = A B ; V B = l COST ，AB ； J o 」2ml 2
3
质量均为 m 的滑块铰接，两机
构在 0 = 60 ?时⽆初速开始
习题10 — 5图
—如7『24討|2
忌
外⼒的功： W =mgl (sin60，「sin v) ' 2mg
1 |< (si n 60, —si nJ) ■ 2
T
= W ； § mF A B =2mgl (⼻-sin ，)f l 2[-?(1 - cos^)2 ] 当⼋0
时：W =「3mgl 詈
5 2 2 — kl 2
ml ，AB ⼆.3mgl ； AB 6 2[(1
cos60 )2 -(1 -1 cosh)2]
6、‘3 + 3k _ 24J§mg+3kl 8 AB 5 g
20m 对式(〔)求导：5 ml^ABdAB =~2mgl cosBB -⽎| 2
2(1 -cos^)sin T9 ；
20ml
其中：-—'AB ；当⼆=0时：：应=聖
51
10- 6图a与图b分别为圆盘与圆环，⼆者质量均为m,半径均为r，均置于距地⾯为h的斜⾯上, 斜⾯倾⾓为⼆盘与环都从时间t=0开始，在斜⾯上作纯滚动。

分析圆盘与圆环哪⼀个先到达地⾯？3
解：对图（a）应⽤动能定理：⼀
4
=mgssin
v ；
求导后有
ac^ 3 gsinr 设圆盘与圆环到达地⾯时质⼼⾛过距离
2d
t i
a ci : gsin^
3d
对图（b）应⽤动能定理：mv C2= mgssinv ;求导后有a C2= -gsi nr
2y
=—a C2t2 ；t2
4d
g sin）
因为t i < t2,所以圆盘（a）先到达地⾯。

10- 7两匀质杆AC和BC质量均为m,长度均为I，在C点由光滑铰链
相连接，A、B端放置在光滑⽔平⾯上，如图所⽰。

杆系在铅垂⾯内的图
⽰位置由静⽌开始运动，试求铰链C落到地⾯时的
速度。

解：设铰链C刚与地⾯相碰时速度v H V C。

根据运动学分
析A点及B ?点分别为AC ■及BC ?杆的速度瞬⼼，如图
（a）
￡>
K
￥Z” f if f * Ff tFjTf￥背"⽫#卫
习题10 —7图
■AC =VC =v =，
l l
V c V
BC r=~\ =
动能定理：
2 mg h=丄1 ml2 22 _0
2 2 3
mgh
1 2
mv
3
10—8质量为15kg的细杆可绕轴转动，杆端A连接刚度系数为k=50N/m的弹簧。

弹簧另⼀端固结于B点，弹簧原长1.5m。

试求杆从⽔平位置以初⾓速度-'0=0.1rad/s落到图⽰位置时的⾓速度。

解：「JQml2) 2，T2 JQml2) 2
2 3 2 3
W12 =mg 仝-[(2 -1.5)2—(..12—1.5)2]
2 2
⼚
= -^mg k(3i 3 -7)
习题10—8图
T 2 -T I =W i2 1 2
2
2 ■'
3 —
ml 0 . -■ .0)…mg - k(3. 3 ⼀7)
Q —
ml 2
= 3.3 15
9.8
6
2 50(33-7) =1.93「ad/s
V
15 ⽦ 2
(a)
10— 9在图⽰机构中，已知：均质圆盘的质量系数为k 的弹簧⼀端固定于 B ,另⼀端与圆盘中⼼盘⾓速度为?，试求：（1）圆盘向右运动到达最右位弹簧的伸长量；（2）圆盘到达最右位置时的⾓加速度盘与⽔平⾯间的摩擦⼒。

解：（1）设圆盘到达最右位置时，弹簧的为m 、半径为r ，可沿⽔平⾯ O 相连。

置时， :?及圆
伸长量；T 2 = 0 ； W |2 T
2 _ T 1 = W I2 ；（2）如图（
3 mr~⼴
4 a ): J A a .3m 2 2k =k ——r ?；:-=.：.—— 2k 3m ⼈2
2
区）
3m
r -
V 2k
⼆ F O r
； J o ：
= Fr ；F 运动开始时，弹簧处作纯滚动。

刚性于原长，此时圆
(a ) 和R ,对转轴O 的回转半径为 M 、半径为r 的均质圆轮 C 相速度:（ 2）斜⾯的摩擦⼒及在图⽰机构中，⿎轮 B 质量为m ，内、，⼀端吊⼀质量为 m 的物块A ，与斜⾯平⾏。

试求： :的函数）。

T = W 1 2
C
2 C C
10— 10 「，其上绕有细绳
连，斜⾯倾⾓为：，绳的倾斜段连接物块A 的绳⼦的张⼒（表⽰为解：（1 ）应⽤动能定理： _ 1 2 1 2 1 mv A + J o ⑷o + Mv
2 2
"2 其中: v A = R O
1 2 =(mR 2 2 设物块A 上升距离S A 时：W 对动能定理的表达式求导： [m(R 2
T 2) 3Mr 2] o _：i o 2 外半径分别为 I 另⼀端与质量为（1 ）⿎轮的⾓加■ o ； J o =m 「2
； 1 2 Mr 2)
■ 2 ⼆ Mgs C sin 「mgs 2
' 2g(Mr sin ? -mR)
2m(R +b )+3Mr
(2)如图(a ) : J c^=Fr ；⼙=丄⽫「0(
2
如图(b ): ma=F T
—mg ； F T =m(g +R G )
F
T
J C
m g (b )
10- 11匀质圆盘的质量为 mi 、半径为r ，圆盘与处于⽔平位置的弹簧⼀端铰接且可绕固定轴 0转动,
习题10— 13图
以起吊重物A ，如图所⽰。

若重物 A 的质量为m 2 ；弹簧刚度系数为k 。

试求系统的固有频率。

10- 13 测量机器功率的功率计，由胶带ACDB 和⼀杠杆BOF 组成，如图所⽰。

胶带具有铅垂的两段 AC 和DB ，并套住受试验机器和滑轮 E 的下半部，杠杆则以⼑⼝搁在⽀点 O 上，借升⾼或降低⽀点O ,可以变更胶带的拉⼒，同时变更胶带与滑轮间的摩擦⼒。

在F 处挂⼀重锤P ，杠杆BF 即可处于⽔平平衡位置。

若⽤来平衡胶带拉⼒的重锤的质量 m=3kg , L = 500mm ，试求发动机的转速
n=240r/min 时发动机的功率。

解：设发动机的⾓速度为-■ O 则
解：设弹簧上OB 位于铅垂位置时为原长，则动能
k z s 2 W =m 2gs (-d) 2 r 2
V 2
1 1
2
)()=(□ mjv r 2
4
kd 2 2 =m 2gs
2 s 2r 2 T =W 1 1 2
(m 2 m 1)v m 2gs -
2 4
d
1
dt : (m 2
-m!)va =(m 2g
(m^-lm 1)a um^g
/
丄1 、"丄kd (m 2
mjs 2
2 r
-
kd 2
S ? —j s
r (2m 2 - m 1)
kd 2 ⽛s
2r 2
kd 2 -s )v r
2
kd ~2
S r
2
-s = m 2g m 2g -i__ m i 2
2 --n
2kd 2 2 r (2m 2 - m i )
2k 10- 12 图⽰圆盘质量为m 、半径为r ，在中⼼处与两根⽔平放置的弹簧固结, 且在平⾯上作⽆滑动滚
动。

弹簧刚度系数均为k 0。

试求系统作微振动的固有频率。

解：设静⽌时弹簧的原长，则 1 2 11 2\/V o 、2 3 2
动能 T mv 0 ( mr )( -) mv o
2 2 r 4
弹⼒功：W = -2 k x 2
2
3 2
mv 4 ⼆-kx d dt
mv °a = -2kxv 0 2
mv °x 2kx =0
2
x —0
3m
综合(1)、(2)、(3)可得:
M =mgl
发动机的功率
P =M . -mgl n =3 9.8 0.50 8n
=0.369(kW)
10- 14在图⽰机构中，物体 A 质量为m t ,放在光滑⽔平⾯上。

均质圆盘径均为 R ,物块 D 质量为m 2。

不计绳的质量，设绳与滑轮之间⽆相对滑动, 平⾏，系统由静⽌开始释放。

试求物体D 的加速度以及BC 段绳的张⼒。

解：（1）设物块D 下降距离 s 时，速度为V D ，则系统动能为:
T ^(m 叫)v D
1 2
2J C C
=细；V A ⼆ 2V D ； R 1 1 2
T (m m 2 m 2m 4m 1)v D = 重⼒的功为： W =(m -叫)gs ；应⽤动能定理T =W 并求导： (7m 4g m 2)v -a - = (m m 2)gv -
_ 2（m+m 2）g a--
7m
+2m 2
（2）如图（a ），应⽤相对速度瞬⼼的动量矩定理：
a 3 J 。

--=（m m 2）gR-F BC 2R ；其中：J O mR 2 m 2R 2
R 2
F B 「2(m
EX 討如)
2(m m z )g 7m 8m 2m 2
(m m 2)(7m 8m, 2m 2)g _(3m 2m 2)(m m 2)g
2(7m +81^ +2m b )
2(m m 2)(m 2mjg 7m 8 mi 2m 2
⼜-. ⼆const ，发动机作等速转
动。

滑轮 E 的⾓加速度：? =0。

滑轮 E 受⼒分析如图（a ）。

由 7 M E =0
得 M _(「DR =0
M =(「_T 2)R
(1)
取杠杆为研究对象，受⼒如图（ b )。

由 M O 』得
mgl _(T/_T 2)R =0
mgl =(⼈ DR
(2) 且 T/ =T 1，T 2IT ?
(3)
C 、B 质量均为m ，半绳的 AE 段与⽔平⾯ 2 n n "60" 2n 240
~60
=8n (rad/s )
(b)
10- 15图⽰机构中，物块 A 、B 质量均为m ,均质圆盘C 、D 质量均为2m ,半径均为R 。

C 轮铰接于长为3R 的⽆重悬臂梁 CK 上, D 为动滑轮，绳与轮之间⽆相对滑动。

系统由静⽌开始运动，试求（1）物块 A 上升的加速度；（2）HE 段绳的张⼒；（3）固定端 K 处的约束⼒。

解：（1）设物块A 上升距离s 时，速度为 V A ，则系统动能为: = [(m 2m)v D 1 J D ‘D 2 2 1 mv 2 其中:
J c C
2 _V A , '-C
； :.-?D
； V D ； J C
R
2R
2
1 z m m m .23 2
( m m)v A
mv A
2 4 2 4
2 1
mgs 2 1 1 mgv A ； a A g 2 6
2
⼆ mR
>H>C o H A
E
s 重⼒的功为： W = (m 2m) g mgs = 2
应⽤动能定理T =W 并求导：3mv A a A
（2）如图（a ），应⽤动量矩定
其中：J 「￥mR 2 吊⼆2^2 4
F HE = 2ma A mg mg 3 习题10 - 15图
F C
应⽤动量定理： ma A ⼆ F C 「3mg -F HE ； F C =4.5mg
(3)如图(b )，应⽤平衡⽅程：F?=0 F y - 0 ； F? -F c - 0 ； F Ky - 4.5mg
' M K (F)=0； M K -F C 3R = 0； M K =13.5mgR
(b) 10- 16两个相同的滑轮，视为匀质圆盘，质量均为 m ，系统由静⽌开始运动，试求动滑轮质⼼ C 的速度v 与下降距离解：1、先对0、C 轮分别⽤动量矩定理和相对质⼼动量矩定理：对 0 轮：J oGo =F T R 对 C 轮：J c 〉c =FT R F T =F T
(1) (2) J O = J 由(1)、( 2) : a 。

7 =a
H o _
"C h ?
2、再对整体⽤动能定理
T 2 -「刘2
1
2
1 2 1 2
J 。

J c C mv c ⼆mgh 2 2 2 Y (动系为绳AB )
(3)
V c =V e
v c ⼆v e v 「⼆ R o R c =2R ■
(3)、(5)代⼊(4)得：
5 2 2
mR mgh
2
(6)式两边对t 求导：
5R-10gh
半径均为的关系, (5)
(6)
R ,⽤绳缠绕连接，如图所⽰。

如并确定 AB 段绳⼦的张⼒。

@TT
习题10- 16图
(a)
5mR?⼆mgv c (5)代⼊，得：=空
5R
(5)式对t求导，得：a C=2R.-；〔轮⼼、质⼼运动定理：ma C =mg
1
绳中张⼒：F T =_mg
5 4g 5 F T。