方阵的特征值与特征向量

解 由A 的特征值全不为0知，A 可逆，故 A A A1 。 又由 A 123 2 ，所以
A 3A 2E 2A1 3A 2E
把上式记作 A
，有
2 3 2
。
A 的特征值为 1 1 2
定理1 设1,2, ,m 是方阵A 的m 个特征值，p1, p2, , pm 依次是与之对应的特征向量。如果 1,2, ,m 各不相
x1 p1 x2 p2 xk1 pk1 xk pk 0
(1.2)
用A 左乘上式，得 x1Ap1 x2 Ap2 xk1Apk1 xk Apk 0
即
4 1 1 4 1 1
A
2E
0 4
0 1
0 1
r
0 0
0 0
0 0
得方程组的基础解系为
0 1
p2
1
,
p3
0
1
4
所以对应于 2 3 2的全部特征向量为 k2 p2 k3 p3，其中k2, k3
为任意常数且 k2, k3不同时为0。
例4 设λ 是方阵A 的特征值，证明:
A 的二重特征值。
当 1 2 1 时，解特征方程组 A E x 0 。由于
3 2 3 1 0 1
A
E
2 1
0 2
21
r
0 0
1 0
0 0
得同解方程组为
x1 x2
x3 0
取 x3 1，得方程组的基础解系，即A 的对应于 1 2 1 的特
征向量为
1
p1
0
1
5
p2
2 3
所以A 的对应于3 3的全部特征向量为k2 p2，其中k2 为任意非零常数。
2 1 1
例3 求矩阵的特征值和特征向量
A
0 4
2 1
0 3
。
解 矩阵A 的特征多项式为
2 1 1
A E 0 2 0 1 22
4 1 3
所以A 的特征值为1 1,2 3 2。
1 p1 1
所以A 的对应于 1 4 的全部特征向量为k1 p1, 其中k1 为任意非零常数。
当 2 2，解特征方程组 A 2E x 0 。由
A
2E
5 5
1 1
r
1 0
1
5
0
得同解方程组为
x1
1 5
x2
取 x2 5，得到方程组的基础解系，即A 的对应于 2 2 的特征向量为
1
p2
5
所以A 的对应于 2 2 的全部特征向量为 k2 p2，其中k2 为任意非零常数。
4 2 3
例2 求矩阵
A
2 1
1 2
2 0
的全部特征值与特征向量。
解 矩阵A 的特征多项式为
4 2 3
A E 2 1 2 1 2 3
1 2
所以 1 2 1,3 3 是矩阵A 的特征值，其中 1 2 1 是矩阵
11 2 n a11 a22 ann 21,1, ,n A
设 i 为矩阵A 的一个特征值，则由方程
A i E x 0
可求得非零 x Pi ，那么pi 便是A 的对应于特征值λi 的特征 向量。若λi为实数，则pi 可取实向量;若λi 为复数，则pi为复向量。
例1
求矩阵
A
线性代数
方阵的特征值与特征向量
定义1 设A 是n 阶矩阵，如果数λ 和n 维非零列向量x 使关系
Ax x
(1.1)
成立，那么，这样的数λ 称为矩阵A 的特征值，非零向量x 称为A 对 应于特征值λ 的特征向量。
式(1.1)也可写成
AEx 0
这是含n 个未知数、n 个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分 必要条件是系数行列式
(1)λ2 是A2 的特征值; (2)当A 可逆时，1 是A-1的特征值。
证 因λ 是A 的特征值，故有 p 0使 p p。于是
(1) 2 p p p p 2 p
所以λ2 是A2 的特征值。
(2)当A 可逆时，由 p p,有 p 1 p,因 p 0,知 故 1 p 1 p
AE 0
即
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n 0
an1
an 2
ann
上式是以λ 为未知数的一元n 次方程，称为矩阵A 的特征方程。
其左端 A E 是λ 的n 次多项式，记作 f 。称为矩阵A 的特征多
项式。
设n 阶矩阵 A aij 的特征值为 1,1, ,n, 不难证明:
1
所以 是A-1的特征值。
按此例类推，不难证明:
若λ 是A 的特征值，则k是 Ak 的特征值; 是 A的特征值。
其中
a0 a1 am m 是λ 的多项式， A a0E a1A am Am 是矩阵A 的多项式。
例5 设三阶矩阵A 的特征值为1，-1，2，求 A 3A 2E 的特征值。
等，则 p1, p2, , pm 线性无关。
证 用数学归纳法
当m=1时，因特征向量 p1 0，故只含一个向量的向量组p1 线性无关。
假设当 m k 1 时结论成立，要证当m k 时结论也成立， 即假设向量组 p1, p2, , pk1 线性无关，要证向量组 p1, p2, , pk 线性无关。为此，令
当3 1，解特征方程组 A E x 0 。由于
1 1 1 1 0 1
A
E
0
3
0
r
0
1
0
4 1 4
0 0 0
得方程组的基础解系为
1
p1
10
所以A 的对应于 1 1 的全部特征向量为 k1 p1，其中k1 为任意非
零常数。
当 2 3 2，解特征方程组 A 2E x 0 。由于
所以A 的对应于 1 2 1 的全部特征向量为 k1 p1，其中k1 为任意
非零常数。
当 3 3，解特征方程组 A 3E x 0 。由于
1 2 3
1
0
5
3
A
3EBiblioteka 2 12 22 3
r
0 0
1 0
2
3
0
得同解方程组为
x1
5 3
x3
x2
2 3
x3
取x3 3，得到方程组的基础解系，即A 的对应于3 3的特征向量为
=
3 5
1 1
的特征值与特征向量。
解 矩阵A 的特征多项式为
3 AE
1 42
5 1
所以 1 4,2 2 是矩阵A 的特征值。
当1 4 时，解特征方程组 A 4E x 0 。由
1
A
4E
5
1 5
r
1 0
1
0
得同解方程组为
x1 x2
取 x2 1, 得到方程组的基础解系，即A 的对应于 1 4的特征向量为