2021年高考数学：抽象函数的导函数构造

C． (,1) (1,0)
D． (0,1) (1,)
【例 2】（2018•东莞市期末）已知奇函数 f (x) 的导函数为 f (x) ，且 f (1) 0 ，当 x 0 时 f (x) xf (x) 0 恒
成立，则使得 f (x) 0 成立的 x 的取值范围为（ ）
A． (1,0) (0,1)
ln [ f (x) 2] ln3 x 的解集为（ ）
A． (, 0)
B． (0, )
C． (,1)
D． (1, )
【例 8】定义在 R 上的函数 f (x) 满足： f (x) 1 且 f (x) f '(x) 1 ， f (0) 5 ，其中 f '(x) 是 f (x) 的导函数，
C． 8 f (22018 ) f (22019 )
D．不能确定 8 f (22018 ) 与 f (22019 ) 的大小
【 例 4 】（ 2018 • 辽 宁 期 末 ） 函 数 f (x) 是 定 义 在 区 间 (0, ) 上 可 导 函 数 ， 其 导 函 数 为 f (x) 且 满 足
B． (,1) (0,1)
C． (1,0) (1,)
D． (,1) (1,)
【例 3】（2018•福建期末）设函数 y f (x) ，x (0, ) 的导函数为 f (x) ，且满足 xf (x) 3 f (x) ，则（ ）
A． 8 f (22018 ) f (22019 )
B． 8 f (22018 ) f (22019 )
f (x) 单调递减． xn
【例 1】（2015•新课标 II）设函数 f '(x) 是奇函数 f (x) （ x R ）的导函数， f (1) 0 ，当 x 0 时，
xf '(x) f (x) 0 ，则使得 f (x) 0 成立的 x 的取值范围是（ ）
A． (,1) (0,1)
B． (1,0) (1,)
A．
f (1) e
f
(0),
f (2018) e2018
f
(0)
B．
f (1) e
f (0) ，
f (2018) e2018
f (0)
C．
f (1) e
f (0) ，
f
(2018) e2018
f (0)
D．
f (1) e
f (0) ，
f (2018) e2018
f (0)
【例 6】（2018•长沙期末）已知函数 f (x) 在 R 上可导，其导函数为 f (x) ，若 f (x) 满足：当 x 1 时，
xf (x) 2 f (x) 0 ，则不等式 (x 2019) f (x 2019) 5 f (5) 的解集为（ ）
5
x 2019
A．{x | x 2014}
B．{x | 2019 x 2014}
C．{x | 0 x 2014}
D．{x | x 2014}
秒杀秘籍：第二讲 关于 f '(x) f (x) 问题
sin
xf
'(x)
cos xf
(x)
0 [sin xf (x)]' 0
(x 1)[ f (x) f (x)] 0 ， f (x) e22x f (2 x) ，则下列判断一定正确的是（ ）
A． f (1) f (0)
B． e4 f (4) f (0)
C． ef (2) f (0)
D． e3 f (3) f (0)
【例 7】（2018•南昌期末）已知函数 f (x) 是定义在 R 上的增函数， f (x) 2 f (x) ， f (0) 1 ，则不等式
f (x) ,则 y
f (x) ex
；反之
y
f (x) ． ex
定理
4：由于
f
'(x)
f
(x)
a
[ex (
f
(x)
a)]'
0；
f
'(x)
f
(x)
a
(
f
(x) ex
a) '
0
证明：
f
'(x)
f
(x) a
[ex (
f
(x) a)]' ex
；

f
'(x)
f
(x) a
e
2
x
(
f
(x) a)' e x
f '(x)
f (x) a ，则 y ex ( f (x) a) ，反之 ；若
f '(x)
f (x) a ，则 y
f (x) a ，反之 ． ex
【例 5】（2018•咸阳期末）已知 f (x) 是可导函数，且 f (x) f (x) 对于 x R 恒成立，则（ ）
专题 1 抽象函数的导函数构造
秒杀秘籍：第一讲 抽象函数的构造
f '(x)g(x)
f (x)g'(x) [ f (x)g(x)]' 与
f '(x)g(x) f (x)g'(x) g 2 (x)
f (x) g(x)
'
定理
1： xf '(x)
f (x)
0 [xf (x)]' 0 ； xf
'(x)
f
(x) 0
f (x) ' x
0
证明： xf
'(x)
f
(x)
[xf
(x)]' ；
xf
'(x) x2
f
(x)
f
(x) ' x
xf '(x) f (x) 0 ，则函数 y xf (x) 单调递增； xf '(x) f (x) 0 ，则 y f (x) 单调递减． x
定理
2：当
x
0
时，
xf
'(x)
nf
(x)
0
[xn
f
( x)]'
0
；
xf
'(x)
nf
(x)
0
f (x) ' xn
0
证明：
xn
f
'(x)
nx n1
f
(x)
[xn
f
( x)]'
；
xn
f
'(x)
nxn1 x2n
f
(x)
f (x) ' xn
xf '(x) nf (x) 0 ，则函数 y xn f (x) 单调递增； xf '(x) nf (x) 0 ，则 y
定理
3：
f '(x)
f (x) 0 [ex
f (x)]' 0 ；
f '(x)
f (x)
0
f (x) ' e x
0
证明： f
xex
ex f
x +f
x ,
f x
ex
f
x
ex
f
x
，
253
f '(x)
f (x) 0 ，则 y
f (x)ex ；反之 y
f (x)ex ； f '(x)
则不等式 ln[ f (x) 1] ln 4 x 的解集为（ ）
A． (0,)
B． (,0) (3,)
C． (,0) (0,)
D． (,0)
秒杀秘籍：第三讲 关于 sin xf '(x) cos xf (x) 或 cos xf '(x) sin xf (x)
定理 5：正弦同号，余弦反号定理