【中考数学29个几何模型】模型19 双X形相似模型(后附解题思路分析与小结)

专题19双X形相似模型
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB＝15cm，AC＝12cm，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE等于（）cm．
A．32B．24C．48D．64
2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE平分∠DCB交BD于点F，且∠ABC＝60°，
；③OE：AC＝1：4；④S△OCF AB＝2BC，连接OE，下列结论：①∠ACD＝30°；②S平行四边形ABCD＝AC BC
．其中正确的有（）
＝2S
△OEF
A．1个B．2个
C．3个D．4个
3．如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB于点O，点D是 BC的中点，连接CD、OD．下列四个结论：①AC//OD；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④∠ADC=∠BOD．其中正确结论的序号是（）
A．①④B．①②④C．②③D．①②③④
4．如图，在△ABC中，BC＝6，AE AF
EB FC
=，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交
CE于点Q，当CQ＝1
4CE时，EP+BP的值为（）
A．9B．12C．18D．24
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，
若AF＝2FD，则BE
EG的值为（）
A．1
2
B．
1
3C．
2
3D．
3
4
6．如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，且AB＝BC＝4，AD＝2，点E是边BC上的一个动点，EF⊥BC交AD于点F，将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，若两边重叠部分的面积为3，则BE的长为（）
A．3
4或
4B．4C．
3
4D．
4
3或
7．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝12，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，CD 与AE 交于点O ，则OD 的长是()
A ．1.5
B ．1.8
C ．2
D ．2.4
8．如图，已知O 的内接ABC ∆中，12AB AC +=，AD BC ⊥于D ，3AD =，直径AE 交BC 边于点G ，有下列四个结论：①AG EG BG CG ⋅=⋅；②2BE EG AE =⋅；③当6AB =时，O 的面积取得最大值36π；④三角形外接圆直径等于它的任两边的积与第三边上的高的比．其中正确结论有（）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、解答题
9．
在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =，4sin 5
CAB ∠=，D 是斜边AB 上一点，过点A 作AE CD ⊥，垂足为E ，AE 的延长线交BC 于点F ．
（1）当1tan 2BCD ∠=
时，求线段BF 的长；（2）当54
BF =时，求线段AD 的长．
10．如图①，在ABC ∆中，AC BC =，CD 为AB 边上的中线，//CE AB ，线段DE 交BC 于点G ．
（1）若1CE CG ==，4AB =，求DE 的长；
（2）如图②，取ABC ∆外一点F ，连接AF ，BF ，CF ，DF ，CF 与DE 交于点H ，若90ACB ∠=︒，AC AF =，BF CF ⊥，DE DF ⊥．①求HF DH
的值；②求证：CH FH =．
11．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4．点E ，F 分别在AD ，BC 上，点A 与点C 关于EF 所在的直线对称，P 是边DC 上的一动点．
（1）连接AF ，CE ，求证：四边形AFCE 是菱形；
（2）当△PEF 的周长最小时，求DP CP 的值．
12．如图1，在矩形ABCO中，OA＝8，OC＝6，D，E分别是AB，BC上一点，AD＝2，CE＝3，OE与CD 相交于点F．
（1）求证：OE⊥CD；
（2）如图2，点G是CD的中点，延长OG交BC于H，求CH的长．
13．已知：矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是线段AD上一点，连接CP，点E在对角线AC上（不与点A，C重合），∠CPE＝∠ACB，PE的延长线与BC交于点F．
（1）如图1，当AP＝2时，求CF的长；
（2）如图2，当PF⊥BC时，求AP的长；
（3）当△PFC是等腰三角形时，求AP的长．
14．如图，AB 是O 的直径，4AB =，30ABC ∠=︒，点C 是O 上不与点A ，B 重合的点．
（1）请判断AOC ∆的形状，并证明你的结论；
（2）利用尺规作ACB ∠的平分线CD ，交AB 于点E ，交O 于点D ，连接BD ；（保留作图痕迹，不写作法）
①求弧AD 的长度；
②求ACE ∆与BDE ∆的面积比．
15．如图，AB 是O 的直径，半径OC AB ⊥，垂足为O ，直线l 为O 的切线，A 是切点，D 是OA 上一点，CD 的延长线交直线l 于点,E F 是OB 上一点，CF 的延长线交O 于点G ，
连接,AC AG ，已知O
的半径为3，CE =554BF AD -=．
（1）求AE 的长；
（2）求cos CAG ∠的值及CG 的长．
16．如图，点B 是反比例函数8y x
=
（0x >）图象上一点，过点B 分别向坐标轴作垂线，垂足为A ，C ，反比例函数k y x
=（0x >）的图象经过OB 的中点M ，与AB ，BC 分别相交于点D ，E ．连接DE 并延长交x 轴于点F ，点G 与点O 关于点C 对称，连接BF ，BG ．
（1）填空：k =_________；
（2）求BDF ∆的面积；
（3）求证：四边形BDFG 为平行四边形．
17．已知Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒（如图）
．以线段AB 为边向外作等边三角形ABD ，点E 是线段AB 的中点，连接CE 并延长交线段AD 于点F ．
（1）求证：四边形BCFD 为平行四边形；
（2）连接CD ，交AB 于点M ．
①若6AB =，求BM 的长；
②作MN AC ⊥，垂足为N ，求证：111BC AD MN
+=．
18．如图，已知一次函数364
y x =-
+的图象与坐标轴分别交于A 、B 点，AE 平分BAO ∠，交x 轴于点E ．
（1）直接写出点A 和点B 的坐标．
（2）求直线AE 的表达式．
（3）过点B 作BF ⊥AE 于点F ，过点F 分别作FD//OA 交AB 于点D ，FC//AB 交y 轴于点C ，判断四边形ACFD 的形状并说明理由，求四边形ACFD 的面积．
19．如图，在菱形ABCD 中，∠ADE 、∠CDF 分别交BC 、AB 于点E 、F ，DF 交对角线AC 于点M ，且∠ADE ＝∠CDF ．
（1）求证：CE ＝AF ；
（2）连接ME ，若CE BE ＝CD CE
，AF ＝2，求ME 的长．
20．如图（1）所示：等边△ABC 中，线段AD 为其内角角平分线，过D 点的直线B 1C 1⊥AC 于C 1交AB 的延长线于B 1．
（1）请你探究：AC CD AB DB =，1111
AC C D AB DB =是否都成立？（2）请你继续探究：若△ABC 为任意三角形，线段AD 为其内角角平分线，请问
AC CD AB DB =一定成立吗？并证明你的判断．
（3）如图（2）所示Rt △ABC 中，∠ACB ＝90︒，AC ＝8，BC ＝
323，DE ∥AC 交AB 于点E ，试求DF FA
的
值．21．
如图，在平面直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，//AC x 轴，点B C 、的横坐标都是3，且2BC =，点D 在AC 上，若反比例函数()0k y x x =>的图象经过点B D 、，且32AO BC =：：
．
（1）求点D 坐标；
（2）将AOD △沿着OD 折叠，设顶点A 的对称点为'A ，试判断点'A 是否恰好落在直线BD 上，为什么．
22．如图，正方形ABCD 中，E 为BC 边上任意点，AF 平分,EAD ∠交CD 于点F ．
()1如图1，若点F 恰好为CD 中点，求证：2AE BE CE =+；
()2在()1的条件下，求CE BC
的值；()3如图2，延长AF 交BC 的延长线于点G ，延长AE 交DC 的延长线于点,H 连接,HG 当CG DF =时，求证：HG AG ⊥．
三、填空题
23．如图Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点P 为BC 上任意一点，连接PA ，以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，连接PQ ，则PQ 的最小值为__．
24．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点M ，N 分别是边BC ，CD 上的动点（不与点B ，C ，D 重合），AM ，AN 分别交BD 于E ，F 两点，且∠MAN=45°，则下列结论：①MN=BM+DN ；②△AEF ∽△BEM ；
③AF AM =2
；④△FMC 是等腰三角形．其中正确的是______．（填写正确序号）
25．如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，点D 为AC 上一点，连接BD ，E 为AB 上一点，CE BD ⊥于点F ，当AD CD =时，求CE 的长．
26．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，将矩形ABCD 绕点C 旋转，点A 、B 、D 的对应点分别为A’、B’、D’，当A’落在边CD 的延长线上时，边A’D’与边AD 的延长线交于点F ，联结CF ，那么线段CF 的长度为____．
27．如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别为边AB ，AD 的中点，BF 与EC ，ED 分别交于点M ，N ．已知4AB =，6BC =，则MN 的长为_________．
专题19双X形相似模型
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB＝15cm，AC＝12cm，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE等于（）cm．
A．32B．24C．48D．64
【答案】C
【分析】
根据平行线的性质及相似三角形的判定与性质即可求解．
【详解】
解：标出字母，如图：
∵在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，
∴∠EAD=∠MAD，
∵DE∥AB交AC的延长线于点E，
∴∠EDA=∠MAD，∠BAC=∠CED，
∴∠EAD=∠EDA，
∴ED=EA，
∵在三角形ABC与三角形CED中，
∠BAC=∠CED，∠BCA=∠ECD，
∴△ABC∽△CED，
∴ AB AC
DE CE
，
∵AB=15cm，AC=12cm，设ED=15k，
∴CE=12k，
∴ED=15k=EA=EC+CA=12k+12，
∴3k=12，
∴k=4，
∴CE=12k=48（cm），
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质及相似三角形的判定与性质，本题的解题关键是由三角形相似边的比例关系即可得出答案．
2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE平分∠DCB交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE，下列结论：①∠ACD＝30°；②S平行四边形ABCD＝AC BC
⋅；③OE：AC＝1：4；④S△OCF
＝2S
△OEF
．其中正确的有（）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【答案】C
【分析】
由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据角平分线的定义得到
∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE是等边三角形，证得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；由AC⊥BC，得到S▱ABCD=AC•BC，故②正确；
根据直角三角形的性质得到，根据三角形的中位线的性质得到OE=1
2
BC，于是得到OE：
6，故③错误；
由三角形的中位线可得BC∥OE，可判断△OEF∽△BCF，根据相似三角形的性质得到CF BC
EF OE
==2，求得
S△OCF=2S△OEF；故④正确．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BCD=120°，
∵CE平分∠BCD交AB于点E，
∴∠DCE=∠BCE=60°
∴△CBE是等边三角形，
∴BE=BC=CE，
∵AB=2BC，
∴AE=BC=CE，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；
∵AC⊥BC，
∴S▱ABCD=AC•BC，故②正确，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴，
∵AO=OC，AE=BE，
∴OE=1
2 BC，
∴OE：：6；故③错误；∵AO=OC，AE=BE，
∴OE∥BC，
∴△OEF∽△BCF，
∴CF BC EF OE
=2
∴S△OCF：S△OEF=CF EF=2，
∴S
△OCF
=2S△OEF；故④正确．故选C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线、相似三角形的性质，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
3．如图，AB 是半圆O 的直径，半径OC ⊥AB 于点O ，点D 是 BC
的中点，连接CD 、OD ．下列四个结论：①AC //OD ；②CE=OE ；③△ODE ∽△ADO ；④∠ADC=∠BOD ．其中正确结论的序号是（）
A ．①④
B ．①②④
C ．②③
D ．①②③④
【答案】A
【分析】如图，利用圆周角定理得∠1=∠3，加上∠1=∠2，则∠2=∠3，于是可对①进行判断；利用AC ∥OD 可判
定△ACE ∽△DOE ，则CE AC OE OD
=，再判定△AOC 为等腰直角三角形得到OD ，所以OE ，于是可对②进行判断；利用圆周角定理得到∠COD=2∠1，则根据相似三角形的判定方法可对
③进行判断；利用圆周角定理可计算出∠ADC=45°，而∠BOD=45°，则可对④进行判断．
【详解】解：如图，
∵点D 是 BC
的中点，即 CD
BD =，∴∠1=∠3，
∵OA=OD ，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴AC ∥OD ，所以①正确；
∴△ACE ∽△DOE ，∴CE AC OE OD
=，∵OC ⊥OA ，
∴△AOC 为等腰直角三角形，
∴OD ，
∴CE OE
=
∴OE ，所以②错误；
∵点D 是 BC
的中点，∴∠BOD=∠COD
∵∠BOD=2∠1
∴∠COD=2∠1，
而∠ODE=∠ADO ，
∴△ODE 与△ADE 不相似，所以③错误；
∵∠ADC=12∠AOC=45°，∠BOD=12
∠BOC=45°，∴∠ADC=∠BOD ，所以④正确．
∴正确的结论是①④，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了圆周角定理．
4．如图，在△ABC中，BC＝6，AE AF
EB FC
=，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交
CE于点Q，当CQ＝1
4CE时，EP+BP的值为（）
A．9B．12C．18D．24【答案】C
【分析】
如图，延长EF交BQ的延长线于G．首先证明PB＝PG，EP+PB＝EG，由EG∥BC，推出EG
CB＝
EQ
QC＝3，
即可求出EG解决问题．
【详解】
解：如图，延长EF交BQ的延长线于G．
∵AE AF EB FC
=，
∴EG∥BC，
∴∠G＝∠GBC，
∵∠GBC＝∠GBP，
∴∠G＝∠PBG，
∴PB＝PG，
∴PE+PB＝PE+PG＝EG，
∵CQ＝1
4EC，
∴EQ＝3CQ，
∵EG∥BC，
∴△EQG∽△CQB，
∴EG
CB＝
EQ
QC＝3，
∵BC＝6，
∴EG＝18，
∴EP+PB＝EG＝18，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，
若AF＝2FD，则BE
EG的值为（）
A．1
2
B．
1
3C．
2
3D．
3
4
【答案】C
【分析】
由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【详解】
解：由AF ＝2DF ，可以假设DF ＝k ，则AF ＝2k ，AD ＝3k ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB ＝CD ，
∴∠AFB ＝∠FBC ＝∠DFG ，∠ABF ＝∠G ，
∵BE 平分∠ABC ，
∴∠ABF ＝∠CBG ，
∴∠ABF ＝∠AFB ＝∠DFG ＝∠G ，
∴AB ＝CD ＝2k ，DF ＝DG ＝k ，
∴CG ＝CD +DG ＝3k ，
∵AB ∥DG ，
∴△ABE ∽△CGE ，∴2233
BE AB k EG CG k ===，故选：C ．
【点睛】
本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键．
6．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，且AB ＝BC ＝4，AD ＝2，点E 是边BC 上的一个
动点，EF ⊥BC 交AD 于点F ，将四边形ABCD 沿EF 所在直线折叠，若两边重叠部分的面积为3，则BE 的长为（）
A ．34或4
B ．4
C ．3
4D ．43或
【答案】A
【分析】
如图1，将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，两边重叠部分为五边形EB′GDF，推出四边形ABEF是矩形，得到AB=EF=4，AF=BE，根据折叠的性质得到A′F=AF，B′E=BE，A′B′=AB=4，设BE=x，则
AF=A′F=B′E=x，根据相似三角形的性质得到B′G=4（2-x），根据题意列方程得到1
2
[（2-x）+
（4-x）]×41
2 （4-2x）（8-4x）=3此方程无实数根，故这种情况不存在；如图2，将四边形ABCD沿EF
所在直线折叠，两边重叠部分为矩形A′B′EF，设BE=x，则AF=A′F=B′E=x，根据题意列方程得到
BE=3
4；如图3，将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，两边重叠部分为△CEG，设BE=x，则AF=A′F=B′E=x，
根据相似三角形的性质得到EG=2（4-x），根据题意列方程得到结论．
【详解】
解：如图1，将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，两边重叠部分为五边形EB′GDF，
∵AB⊥AD，AD∥BC，EF⊥BC，
∴四边形ABEF是矩形，
∴AB＝EF＝4，AF＝BE，
∵将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，
∴A′F＝AF，B′E＝BE，A′B′＝AB＝4，
设BE＝x，则AF＝A′F＝B′E＝x，
∴DF＝2﹣x，CE＝4﹣x，
∴A′D＝2x﹣2，CB′＝4﹣2x，
∵A′D∥B′C，
∴△A′DG∽△B′CG，
∴
'
'
'
' A
C
A
G B
G
B D
=
∴24'
2
4'
2
x
x
B G
B G
-
=
-
-
，
∴B′G＝4（2﹣x），
∵两边重叠部分的面积为3，
∴1
2
[（2﹣x）+（4﹣x）]×4﹣
1
2（4﹣2x）（8﹣4x）＝3
此方程无实数根，故这种情况不存在；
如图2，将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，两边重叠部分为矩形A′B′EF，
设BE＝x，则AF＝A′F＝B′E＝x，
∵两边重叠部分的面积为3，
∴B′E•A′B′＝4x＝3，
解得：x＝3 4，
∴BE＝3 4；
如图3，将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，两边重叠部分为△CEG，
设BE ＝x ，则AF ＝A ′F ＝B ′E ＝x ，
∴DF ＝x ﹣2，CE ＝4﹣x ，
∵DF ∥CE ，
∴△DFG ∽△CEG ，∴G
DF CE FG E =∴
442x x EG EG -=--，∴EG ＝2（4﹣x ），
∵两边重叠部分的面积为3，∴12
×2（4﹣x ）（4﹣x ）＝3，
解得：x ＝4x ＝，
综上所述，BE 的长为
34
或4，故选：A ．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定和性质，矩形的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
7．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝12，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，CD 与AE 交于点O ，则OD 的长是()
A ．1.5
B ．1.8
C ．2
D ．2.4
【答案】C
【分析】
根据直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，求得CD 的长，根据中位线的性质，得到DE ∥AC ，求得△AOC ∽EOD ，根据三角形相似的性质求出OD 和OC 的关系，进而得出OD 和CD 的关系，然后即可求解．
【详解】
解：∵△ABC 为直角三角形，
D 点为AB 的中点，
∴CD=12
AB=6∵D 和E 点分别为AB ，BC 的中点，
∴DE ∥AC ，12
DE AC =∴△AOC ∽△EOD ，
12
OD DE OC AC ==．123
∴==OD CD 故选C ．
【点睛】
本题考查了中位线性质，相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是熟练掌握中位线的性质，能够利用平行线判定两三角形相似．
8．如图，已知O 的内接ABC ∆中，12AB AC +=，AD BC ⊥于D ，3AD =，直径AE 交BC 边于点G ，有下列四个结论：①AG EG BG CG ⋅=⋅；②2BE EG AE =⋅；③当6AB =时，O 的面积取得最大值36π；④三角形外接圆直径等于它的任两边的积与第三边上的高的比．其中正确结论有（）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【分析】
本题需根据三角形外接圆、相交弦定理、相似三角形的性质、圆周角定理、二次函数的性质去解答.
【详解】
由相交弦定理得①是正确的；
由条件并不能得出BEG ∆与AEB ∆相似，故②是错误的；
由条件可证ABE ∆与ADC ∆相似，从而可得AE AD AB AC ⋅=⋅，进而可得O 的半径，
设AB x =，O 的半径为y ，则有2126
y x x =-+，故当6AB =时，O 的最大面积为36π，故③是正确的；
由AE AD AB AC ⋅=⋅这一结论一般化，得④是正确的，
故选C ．
【点睛】
本题主要考查三角形外接圆、相交弦定理、相似三角形的性质、圆周角定理、二次函数的性质，解题的关键是理解运用这些性质定理.
二、解答题
9．
在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =，4sin 5
CAB ∠=，D 是斜边AB 上一点，过点A 作AE CD ⊥，垂足为E ，AE 的延长线交BC 于点F ．
（1）当1tan 2BCD ∠=
时，求线段BF 的长；（2）当54
BF =时，求线段AD 的长．【答案】（1）52BF =
；（2）32AD =或AD=94．【分析】
（1）先求出AC ，BC 的长，证出∠CAF=∠BCD ，再得到∠CAF 和∠BCD 的三角函数值都与∠BCD 的三角函数值相等，进一步得到BF 的长；
（2）分两种情况①当点F 在线段BC 上时，根据三角函数值相等得到比例式，进而得到方程，求出BG 的长，再由平行得到△ACD 和△BDG 相似从而得到相似比，得出方程求出AD 的长；②当点F 在CB 的延长线上时，方法可参照①．
【详解】
解：（1）在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，sin ∠CAB=
45，∴BC=4，AC=3，
∵AE ⊥CD ，∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠AFC=90°，∠AFC+∠CAF=90°，
∴∠CAF=∠BCD
∴tan ∠CAF=tan ∠BCD=12
，又∵∠ACB=90°，AC=3，
∴CF=32，BF=52
；（2）①如图1中，当点F 在线段BC 上时，过点B 作BG//AC ，交CD 延长线于点G ，
∵tan ∠CAF=tan ∠BCD ，∴CF AC =BG BC ，即4BF 3BG BC
-=，∴BG=
113，∵BG//AC ，
∴∠ACD=∠G ，∠CAD=∠DBG ，
∴△BGD ∽△ACD ∴BG BD AC AD =，即53BG AD AD
-=，∴AD=
94．②如图2中，当点F 在CB 延长线上时，过点B 作BG//AC ，交CD 延长线于点G ，
∵tan ∠CAF=tan ∠BCD ，∴CF BG AC BC =，即4BF 3BG BC
+=，∴BG=7，
∵BG//AC ，
∴∠ACD=∠G ，∠CAD=∠DBG ，
∴△BGD ∽△ACD ∴BG BD AC AD =，即53BG AD AD
-=∴AD=
32．【点睛】
本题考查三角形的三角函数的应用、相似的判定与性质，用到了分类讨论的思想，转化为方程去思考是解题的关键，本题是一道难度较大的综合题．
10．如图①，在ABC ∆中，AC BC =，CD 为AB 边上的中线，//CE AB ，线段DE 交BC 于点G ．
（1）若1CE CG ==，4AB =，求DE 的长；
（2）如图②，取ABC ∆外一点F ，连接AF ，BF ，CF ，DF ，CF 与DE 交于点H ，若90ACB ∠=︒，AC AF =，BF CF ⊥，DE DF ⊥．①求HF DH
的值；②求证：CH FH =．
【答案】（16；（2）①
HF DH 2【分析】
（1）找到△CEG 和△BDG 相似，得到CE CG BD BG
=，又因为CD 为等腰三角形ABC 中AB 边上的中线，计算出BD 、BG 的长度，再使用勾股定理即可计算出DE 的长度；
（2）①由题目中的信息可以得到推到出∠FDB ＝∠HDC ，∠DFB =∠DHC ；可以证明△DFB 和△DHC 全等，有DF =DH ，推算出2HF DH =，从而计算出题目所求；
（2）②根据已知信息，设AC BC a ==，根据勾股定理可以计算出22AB a =
=，1222
AD AB a ==，可以推导出△DAF 和△FAB 相似，有2BF DF =；又因为△DFB 和△DHC 全等，有CH BF =，DF =DH ，由于2HF DH =
，从而可以证明题目所求．【详解】
（1）∵//CE AB
∴△CEG ∽△BDG ，∴CE CG BD BG
=
∵在等腰三角形ABC 中，AC BC =，CD 为AB 边上的中线，∴122
BD AB ==，CD AB ⊥∴112BG
=∴2BG =∴213BC BG CG =+=+=，
∴22222325CD BC BD =-=-=，
∴在Rt △CED
中，DE ===
；（2）①∵DE ⊥DF ，CD AB
⊥∴∠FDE =∠CDB =90°，
∴∠FDB ＝∠HDC ，
∵BF ⊥CF ，∴∠CFB ＝∠EDF =90°，∴∠CFB +∠DFH =∠EDF +∠DFH ，∴∠DFB =∠DHC ，
∵△ABC 是等腰直角三角形，CD 为AB 边上的中线，
∴BD =CD ，
∵在△DFB 和△DHC 中，
∴DFB DHC FDB HDC BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DFB ≌△DHC （AAS ），
∴DF =DH ，∵∠EDF =90°，
∴HF =，即HF DH
；②∵△ABC 是等腰直角三角形，CD 为AB 边上的中线，
设AC BC a ==，
∴AB ===，1222
AD AB a ==
∴22
AD AC AC AB ==，∵AC AF =，∴22
AD AF AF AB ==，∵∠DAF ＝∠FAB ，
∴△DAF ∽△FAB ，
∴22
DF AF BF AB ==，即BF =，∵△DFB ≌△DHC ，
∴CH BF =，DF =DH ，
∵HF =；
∴CH FH =．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形及性质、全等三角形、勾股定理的综合运用，熟练掌握和灵活应用以上内容的相关定义及性质是我们解题的关键；其中根据不同的条件灵活使用以上知识点，得出我们所需，能够更有效的解题．
11．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4．点E ，F 分别在AD ，BC 上，点A 与点C 关于EF 所在的直线对称，P 是边DC 上的一动点．
（1）连接AF ，CE ，求证：四边形AFCE 是菱形；
（2）当△PEF 的周长最小时，求DP CP 的值．
【答案】（1）见解析；（2）
35
【分析】（1）连接AF ，CE ，AC 交EF 于点O ，由“AAS”证明△AEO ≌△CFO ，可得四边形AFCE 是平行四边形，再结合AC ⊥EF ，可证得结论；
（2）作点F关于CD的对称点H，连接EH，交CD于点P，此时△PEF的周长最小，由AD∥BC，可得△DEP∽△CHP，由相似三角形的性质可得比例式进而求得答案．
【详解】
解：（1）证明：如图，连接AF，CE，AC交EF于点O
∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC
∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO
∵点A与点C关于EF所在的直线对称
∴AO＝CO，AC⊥EF
∵∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，AO＝CO
∴△AEO≌△CFO（AAS）
∴AE＝CF，且AE∥CF
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AC⊥EF
∴四边形AFCE是菱形；
（2）如图，作点F关于CD的对称点H，连接EH，交CD于点P，此时△PEF的周长最小
∵四边形AFCE是菱形
∴AF＝CF＝CE＝AE
∵AF2＝BF2+AB2
∴AF2＝（4﹣AF）2+4
∴AF＝5 2
∵AD∥BC
∴△DEP∽△CHP
∴DP
CP＝
DE
CH＝
3
5．
答：当△PEF的周长最小时，DP
CP的值为
3
5．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理在计算中的应用及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
12．如图1，在矩形ABCO中，OA＝8，OC＝6，D，E分别是AB，BC上一点，AD＝2，CE＝3，OE与CD 相交于点F．
（1）求证：OE⊥CD；
（2）如图2，点G是CD的中点，延长OG交BC于H，求CH的长．
【答案】（1）见解析；（2）CH的长为6．
【分析】
（1）根据四边形ABCO是矩形，可得OA=BC=8，OC=AB=6，根据勾股定理可得OE和CP的长，进而得EF和CF的长，再根据勾股定理的逆定理即可得OE⊥CD；
（2）在Rt△CBD中，CB=8，BD=AB-AD=6-2=4，根据勾股定理可得G是CD的中点，
可得G是CP的三等分点，根据OA∥BC，对应边成比例即可求出CH的长．
【详解】
（1）∵四边形ABCO是矩形，
∴OA=BC=8，OC=AB=6，
在Rt△OCE中，CE=3，
∴OE==，∵AB∥OC，即AD∥OC，且AD=2，
∴AD PA OC PO
=，
∴2
68
PA
PA
=
+
，
∴PA=4，
∴PO=PA+OA=12，
∴在Rt△OPC中，OC=6，
∴CP==，∵OA∥BC，即OP∥CE，
∴CE EF CF OP OF PF
==，
∴
31
124 EF CF
OF PF
===，
∴EF=1
5OE=5，
CF=1
5CP=
65
5，
∵(35
5)
2+(
65
5)
2=
936
55
+=9，
∴EF2+CF2=CE2，
∴△CEF是直角三角形，
∴∠CFE=90°，
∴OE⊥CD；
（2）在Rt△CBD中，CB=8，BD=AB﹣AD=6﹣2=4，
根据勾股定理，得CD==，∵点G是CD的中点，
∴CG=DG=，
由（1）知：CP=
∴DP=CP﹣CD=，
∴点G是CP的三等分点，
∵OA∥BC，即OP∥CH，
∴CH CG OP GP
=，
∴
1 12
2 CH
=，
∴CH=6．
答：CH的长为6．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、勾股定理及其逆定理的应用、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
13．已知：矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是线段AD上一点，连接CP，点E在对角线AC上（不与点A，C重合），∠CPE＝∠ACB，PE的延长线与BC交于点F．
（1）如图1，当AP＝2时，求CF的长；（2）如图2，当PF⊥BC时，求AP的长；（3）当△PFC是等腰三角形时，求AP的长．
【答案】（1）CF＝36
7；（2）AP＝
7
2；（3）AP的长为6．
【分析】
（1）如图1，先根据勾股定理计算AC=10，，证明△CEP∽△CPA，得CE CP
CP AC
=，则CE=7.2，
计算AE=10-7.2=2.8，由平行线分线段成比例定理列比例式可得CF的长；
（2）如图2，由（1）知：CE•CA=CP2=CD2+DP2，即可求解；
（3）分PF=PC、FC=PC、FC=FP三种情况，继续利用CE•CA=CP2=CD2+DP2，求解即可．【详解】
（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，
∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10，
Rt△PDC中，∵AP＝2，
∴PD＝CD＝6，
∴PC
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠CPE ＝∠ACB ，
∴∠DAC ＝∠CPE ，
∵∠PCE ＝∠PCA ，
∴△CEP ∽△CPA ，
∴CE CP
CP AC =，即10=，∴CE ＝7.2，
∴AE ＝10﹣7.2＝2.8，
∵AP ∥CF ，∴AP AE CF CE =，即2 2.87.2
CF =，∴CF ＝
367；（2）如图2，
∵AD ∥BC ，PF ⊥BC ，
∴AD ⊥PF ，
∴∠APE ＝90°，
tan ∠DAC ＝6384
DC EP AD AP ===设EP ＝3x ，AP ＝4x ，则AE ＝5x ，BF ＝AP ＝4x ，
∴CE ＝10﹣5x ，PD ＝8﹣4x ，
由（1）知：CP 2＝CE •AC ，
Rt△PCD中，PC2＝PD2+CD2，∴PD2+CD2＝CE•AC，
∴62+（8﹣4x）2＝10（10﹣5x），
解得：x＝0（舍）或x＝7 8，
∴AP＝4x＝7 2；
（3）分三种情况：
①当PF＝PC时，如图3，
设AP＝x，则PD＝8﹣x，CF＝2PD＝16﹣2x，∵AP∥CF，
∴AP AE
CF CE
=，即
162
x AE
x CE
=
-
，
∴1610 162
x
x CE
-
=
-
，
∴
10(162)
16
x CE
x
-
=
-
，
由（2）知：用CE•CA＝CP2＝CD2+DP2，
∴100(162)
16
x
x
-
-
＝62+（8﹣x）2，
∵x≠0，
∴x2﹣32x+156＝0，（x﹣6）（x﹣26）＝0，
x＝6或26（舍），
∴AP＝6；
②当FC＝PC，如图4，连接AF，
∴∠CPE＝∠CFP＝∠APE＝∠ACB＝∠PAC，
∴AE＝EP，EF＝CE，
∵∠AEF＝∠PEC，
∴△AEF≌△PEC（SAS），
∴AF＝PC＝CF，
设CF＝AF＝a，则BF＝8﹣a，
Rt△ABF中，由勾股定理得：62+（8﹣a）2＝a2，
解得：a＝25 4，
∴CF＝CP＝25 4，
设AP＝x，则PD＝8﹣x，∵CP2＝CD2+DP2，
∴
2
22 256(8) 4
x
⎛⎫
=+-
⎪
⎝⎭
，
解得：x＝39
4（舍）或
25
4；
当x＝25
4时，AP＝CP＝CF＝AF，且AC＝PF
∴四边形AFCP 是正方形，此种情况不存在；
③当FC ＝FP ，如图5，P 与A 重合，
该情况不符合题意；
综上：AP 的长为6．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质、三角函数的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会构建方程计算边的长，属于中考压轴题．
14．如图，AB 是O 的直径，4AB =，30ABC ∠=︒，点C 是O 上不与点A ，B 重合的点．
（1）请判断AOC ∆的形状，并证明你的结论；
（2）利用尺规作ACB ∠的平分线CD ，交AB 于点E ，交O 于点D ，连接BD ；（保留作图痕迹，不写作法）
①求弧AD 的长度；
②求ACE ∆与BDE ∆的面积比．
【答案】（1）等边三角形，证明见解析
（2）作图见解析；①π；②1:2
【分析】
（1）运用圆的直径所对应的圆周角为直角的定理，求出ACB 90∠=︒，且根据题意可知ABC 30∠=︒，
OB=OC ，故BCO 30∠=︒，∠ACO 的度数便可相减得出，故AOC 的形状便可判断出来；
（2）作图方式：先以C 为圆心，取合适的长度为半径，交CA 、CB 于某两点，再分别以该两点为圆心，取合适的长度为半径，所画圆弧的交点与C 点连线即为∠ACB 的角平分线．
①因为画出了角平分线，所以∠ACD 的度数便可求出，而∠ACD 为»AD
的圆周角，∠AOD 是»AD 的圆心角，圆心角度数为圆周角度数的两倍，已知圆的直径和圆心角度数，则圆弧的长度即可求得；
②连接OD ，作OF BD ⊥，分别求出AC 、BD 的长度，证明ACE DBE △∽△，两相似三角形的面积之比为边长之比的平方，即可求得答案．
【详解】
解：（1）AOC 是等边三角形．
证明：∵AB 是⊙O 的直径，圆的直径所对应的圆周角为直角，
∴ACB 90∠=︒，
又∵ABC 30∠=︒，且OB=OC ，
∴BCO 30∠=︒
∴∠ACO =∠ACB -∠BCO =90°-30°=60°，
又∵OC=OA ，
∴AOC 是等边三角形．
（2）尺规作图如下图所示，先以C 为圆心，取合适的长度为半径，交CA 、CB 于某两点，再分别以该两点为圆心，取合适的长度为半径，所画圆弧的交点与C 点连线即为∠ACB 的角平分线．
①∵CD 平分∠ACB ，∴11ACD ACB 904522
∠=∠==︒⨯︒，∴弧AD 所对的圆心角为2ACD 24590∠=⨯︒=︒，
∴弧AD 的长度901AB 43604
πππ︒=⨯⨯=⨯⨯=︒．②由①得，点D 是半圆ADB 的中点，
连接OD ，过点O 作OF BD ⊥，垂足为点F ，
∴BOD △是等腰直角三角形，OBF ∆也是等腰直角三角形，
在Rt OBF ∆
中，1BF=OF=OB=222
⨯⨯
∴∵同弧所对应圆周角相等，
∴ACE DBE ∠=∠，且对顶角相等，
故AEC DEB ∠=∠，
∴ACE DBE △∽△．
∴2
21:2ACE DBE S AC S BD ∆∆⎛⎫=== ⎪⎝⎭．【点睛】
本题考查了圆周角概念的判析、圆的弧长的求法、尺规作图画角平分线、用相似三角形定理求两个三角形的面积之比，这里要注意的是，两个相似三角形的面积之比为边长之比的平方，这里的计算千万不能出错．15．如图，AB 是O 的直径，半径OC AB ⊥，垂足为O ，直线l 为O 的切线，A 是切点，D 是OA 上一点，CD 的延长线交直线l 于点,E F 是OB 上一点，CF 的延长线交O 于点G ，
连接,AC AG ，已知O 的半径为3
，CE =554BF AD -=
．（1）求AE 的长；
（2）求cos CAG ∠的值及CG 的长．
【答案】（1）AE=2；（2）CG=5，cos ∠CAG=10【分析】
(1)过点E 作EH ⊥OC ，交OC 的延长线于点H ，证明四边形AOHE 是矩形得到EH=OA=3，求得
5CH ===，即可得到AE ；
(2)先证明△ADE ∽△OCD 求得AD=1.2，OD=1.8，根据554BF AD -=求得BF=2，
=
BG ，证明△AFC ∽△GFB ，得到AF CF GF BF =，求得4105
GF =，即可得到CG=CF+GF=9105
，设CO 延长线交O 于点N ，连接GN ，则∠CNG=∠CAG ，在Rt △CGN 中，求得
=
5，即可得到cos ∠CAG=cos ∠CNG=10NG CN =.【详解】
(1)过点E 作EH ⊥OC ，交OC 的延长线于点H ，
∵直线l 为O 的切线，A 是切点，
∴OA ⊥AE ，
∵OC ⊥AB ，
∴∠EHO=∠OAE=∠AOH=90°，
∴四边形AOHE 是矩形，
∴EH=OA=3，AE=OH ，
∵CE =
∴5CH ==
=,
∴AE=OH=CH-OC=2；
(2)∵∠OAE=∠AOC=90°，
∴OC ∥AE ，
∴△ADE ∽△OCD ，∴23
AD AE OD OC ==，∴AD=1.2，OD=1.8，
∵554BF AD -=，
∴BF=2，
∴OF=1，
∴AF=4，CF==连接BG ，
∵∠ACF=∠B ，∠AFC=∠GFB ，
∴△AFC ∽△GFB ，∴AF CF GF BF
=，∴
4102GF =，
∴
410
5 GF=，
∴CG=CF+GF=910 5，
设CO延长线交O
于点N，连接GN，则∠CNG=∠CAG，
在Rt△CGN中，∠CGN=90°，CN=6，CG=910 5
,
∴NG==5，
∴cos∠CAG=cos∠CNG=
310110
5610 NG
CN=⨯=
.
【点睛】
此题考查矩形的判定定理及性质定理，勾股定理，圆切线的性质定理，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数解直角三角形，熟记各定理并熟练运用解题，正确连接辅助线是解此题的关键.
16．如图，点B是反比例函数
8
y
x
=（0
x>）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C，
反比例函数
k
y
x
=（0
x>）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并
延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．
（1）填空：k =_________；
（2）求BDF ∆的面积；
（3）求证：四边形BDFG 为平行四边形．
【答案】（1）2
（2）3（3）见解析【分析】
（1）根据题意设点B 的坐标为（x ，8x ），得出点M 的坐标为（
2x ，4x ），代入反比例函数k y x
=（0x >），即可得出k ；（2）连接OD ，根据反比例函数系数k 的性质可得||12AOD k S ∆==，842
AOB S ∆==，可得413BOD S ∆=-=，根据//OF AB ，可得点F 到AB 的距离等于点O 到AB 距离，由此可得出答案；
（3）设(),B B B x y ，(),D D D x y ，可得8B B x y ⋅=，2D D x y ⋅=，根据B D y y =，可得4B D x x =，同理4B E y y =，可得
31BE EC =，34BD AB =，证明EBD ECF ∆∆∽，可得13CF CE BD BE ==，根据43OC AB BD BD ==，得出41
OC CF =，根据O ，G 关于C 对称，可得OC CG =，4CG CF =，3FG CF =，可得BD FG =，再根据//BD FG ，即可证明BDFG 是平行四边形．
【详解】
解：（1）∵点B 在8y x
=上，∴设点B 的坐标为（x ，8x
），∴OB 中点M 的坐标为（
2x ，4x ），
∵点M 在反比例函数k y x
=（0x >），∴k=2x ·4x
=2，故答案为：2；
（2）连接OD ，则||12
AOD k S ∆==，
，∵842
AOB S ∆==，∴413BOD S ∆=-=，
∵//OF AB ，
∴点F 到AB 的距离等于点O 到AB 距离，
∴3BDF BDO S S ∆∆==；
（3）设(),B B B x y ，(),D D D x y ，
8B B x y ⋅=，2D D x y ⋅=，
又∵B D y y =，
∴4B D x x =，
同理4B E y y =，
∴31BE EC =，34
BD AB =，∵//AB BC ，
∴EBD ECF ∆∆∽，∴13
CF CE BD BE ==，∵43
OC AB BD BD ==，∴
41OC CF =，∴O ，G 关于C 对称，
∴OC CG =，
∴4CG CF =，
∴43FG CG CF OF CF CF =-=-=，
又∵3BD CF =，
∴BD FG =，
又∵//BD FG ，
∴BDFG 是平行四边形．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，灵活运用知识点是解题关键．
17．已知Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒（如图）．以线段AB 为边向外作等边三角形ABD ，点E 是线段AB 的中点，连接CE 并延长交线段AD 于点F ．
（1）求证：四边形BCFD 为平行四边形；
（2）连接CD ，交AB 于点M ．
①若6AB =，求BM 的长；
②作MN AC ⊥，垂足为N ，求证：111BC AD MN
+=．【答案】（1）证明见解析；（2）①2BM =；②证明见解析．
【分析】
（1）先根据等边三角形的性质可得60BAD ABD D ∠=∠=∠=︒，再根据直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质可得60CEB CBE ABC ∠=∠=∠=︒，然后根据平行线的判定可得//CF BD ，//BC FD ，最后根据平行四边形的判定即可得证；
（2）①先根据相似三角形的判定与性质可得
BM BC AM AD =，再根据（1）已求1122
BC AB AD ==，从而可得12BM BC AM AD ==，然后根据线段的和差即可得；②先根据平行线的判定可得////BC MN DA ，再根据相似三角形的判定与性质可得
MN AN BC AC =，MN CN DA CA =，从而可得
1MN MN AN CN BC DA AC CA +=+=，由此即可得证．【详解】
（1）∵ABD △是等边三角形
∴AD AB BD ==，60BAD ABD D ∠=∠=∠=︒
在Rt ABC 中，30CAB ∠=︒
∴60ABC ∠=︒
∵点E 是线段AB 的中点∴12
CE BE AE AB ===∴BCE 是等边三角形
∴60CEB CBE ABC ∠=∠=∠=︒，BC CE
=∴60ABD CEB ∠=∠=︒
∴//CF BD。