湖南省新田一中高中数学 4.1.1 圆的标准方程课时作业 新人教A版必修2

湖南省新田一中高中数学必修二课时作业：4.1.1 圆的标准方程 基础达标
1．方程y ＝9－x 2表示的曲线是 ( )． A ．一条射线
B ．一个圆
C ．两条射线
D ．半个圆 解析 y ＝9－x 2可化为x 2＋y 2＝9(y ≥0)．
答案 D
2．若点P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )．
A ．x －y －3＝0
B ．2x ＋y －3＝0
C ．x ＋y －1＝0
D ．2x －y －5＝0
解析 圆心为C (1，0)，则AB ⊥CP ，∵k CP ＝－1，∴k AB ＝1，∴直线AB 的方程是y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0.
答案 A
3．圆(x －3)2＋(y ＋4)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程是 ( )．
A ．(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝1
B ．(x ＋4)2＋(y －3)2＝1
C ．(x －4)2＋(y －3)2＝1
D ．(x －3)2＋(y －4)2＝1
解析 两个半径相等的圆关于直线对称，只需要求出关于直线对称的圆心即可，(3，－4)
关于y ＝x 的对称点为(－4，3)，即为圆心，1仍为半径．即所求圆的方程为(x ＋4)2＋(y －
3)2＝1.
答案 B
4．已知圆C 经过A (5，1)，B (1，3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________． 解析 设圆心坐标为(a ，0)，易知（a －5）2＋（－1）2
＝
（a －1）2＋（－3）2，解得a ＝2，∴圆心为(2，0)，半径为10，
∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.
答案 (x －2)2＋y 2＝10
5．(2020·徐州高一检测)已知点A (8，－6)与圆C ：x 2＋y 2＝25，P 是圆C 上任意一点，则
|AP |的最小值是________．
解析 由于82＋(－6)2＝100＞25，故点A 在圆外，从而|AP |的最小值为82＋（－6）2－5＝10－5＝5.
答案 5
6．若圆心在x 轴上，半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是________．
解析 如图所示，设圆心O (a ，0)，则圆心O 到直线x ＋2y ＝0的距
离为|a ＋2×0|12＋2
2＝5，解得a ＝－5，a ＝5(舍去)，故所求圆的方程是(x ＋5)2＋y 2＝5.
答案 (x ＋5)2＋y 2＝5
7．已知圆心在x 轴上的圆C 与x 轴交于两点A (1，0)，B (5，0)．
(1)求此圆的标准方程；
(2)设P (x ，y )为圆C 上任意一点，求点P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值．
解 (1)由题意，结合图(1)可知圆心(3，0)，r ＝2，
所以圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4.
(2)如图(2)所示，过点C 作CD 垂直于直线x －y ＋1＝0，垂足为D .
由点到直线的距离公式可得|CD |＝|3＋1|2＝22， 又P (x ，y )是圆C 上的任意一点，而圆C 的半径为2.结合图形易知点P 到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值为22＋2，最小值为22－2.
能力提升
8．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为 ( )．
A ．2
B ．1 C. 3 D. 2
解析 由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1.
答案 B
9．已知圆C ：(x ＋2)2＋(y －6)2＝1和直线l ：3x －4y ＋5＝0，则圆C 关于直线l 对称的圆
的方程为________．
解析 由(x ＋2)2＋(y －6)2＝1的圆心为(－2，6)，半径为1，设所求圆的圆心为M (a ，b )，
半径为1.
由题知M 与C 关于直线l 对称，则有
⎩
⎪⎨⎪⎧3×a －22－4×6＋b 2＋5＝0，b －6a ＋2×34＝－1， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2. 故所求圆的方程为(x －4)2＋(y ＋2)2＝1.
答案 (x －4)2＋(y ＋2)2＝1
10．已知点A (－2，－2)，B (－2，6)，C (4，－2)，点P 在圆x 2＋y 2＝4上运动，求|PA |2＋
|PB |2＋|PC |2的最值．
解 设P (x ，y )，则x 2＋y 2＝4.
|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2＋(x ＋2)2＋(y －6)2＋(x －4)2＋(y ＋2)2＝3(x 2＋y 2)－4y ＋68＝80－4y .
∵－2≤y ≤2，
∴72≤|PA |2＋|PB |2＋|PC |2≤88.
即|PA |2＋|PB |2＋|PC |2的最大值为88，最小值为72.。