课件2：2.2.2 不等式的解集

发现规律 1．当 P(x)中 x＞0 时，点 P 位于原点右侧，且点 P 与原点 O 的距离 OP＝x；当 P(x)中 x＜0 时，点 P 位于原点左侧，且点 P 与原点 O 的 距离 OP＝－x. 2．由数轴上的点与实数的对应关系可知，点越靠向右方，对应的实 数越大；点对应的实数越大，点越靠向右方．
)
【答案】B 【解析】由不等式组2x＋x－14≥＜0，0， 得xx≥＜－2，1， 即－1≤x＜2，数轴表示正确的为 B．
3．不等式|x＋1|＞3 的解集是( ) A．{x|x＜－4 或 x＞2} B．{x|－4＜x＜2} C．{x|x＜－4 或 x≥2} D．{x|－4≤x＜2}
【答案】A 【解析】由|x＋1|＞3，得 x＋1＞3 或 x＋1＜－3， 因此 x＜－4 或 x＞2.
发现规律 分段讨论法是解绝对值不等式最基本、最重要的方法，一定要
熟练掌握，在解答过程中要注意以下几点： 1分段要准确，注意等号的分布，避免重复或遗漏； 2每一段都有一个前提，每一段解出的范围都要和前提取“交
集”，最后写不等式的解集时要把每一段 x 的范围取“并集”，即 “先分后合”；
3不等式的解集有两种书写形式：一是用集合的描述法表示， 特殊时用列举法；二是用区间.
[提示] |x|表示数轴上坐标为 x 的点到原点的距离， 即|x|＝x－，xx，≥0x＜，0.
角度 1 |ax＋b|≤c 与|ax＋b|≥c(c＞0)型的不等式的解法
【例 2】 解下列不等式：
(1)|5x－2|≥8；
(2)2≤|x－2|≤4.
[解] (1)|5x－2|≥8⇔5x－2≥8 或 5x－2≤－8⇔x≥2 或 x≤－56，
法二：令 x＋7＝0，x－2＝0 得 x＝－7，x＝2. ①当 x＜－7 时，不等式变为－x－7＋x－2≤3， ∴－9≤3 成立， ∴x＜－7.
②当－7≤x≤2 时，不等式变为 x＋7＋x－2≤3， 即 2x≤－2，∴x≤－1， ∴－7≤x≤－1．
③当 x＞2 时，不等式变为 x＋7－x＋2≤3， 即 9≤3 不成立， ∴x∈∅. ∴原不等式的解集为(－∞，－1]．
(2)解不等式①，得 x＞－152，解不等式②，得 x≤72，把不等式①和② 的解集在数轴上表示出来：
由图可知不等式组的解集为－152，72.
发现规律
不等式组的求解步骤是怎样的？
[提示] (1)求出不等式组中每个不等式的解集． (2)借助数轴求出各解集的公共部分(交集)． (3)写出不等式组的解集．
思考 1．解不等式的理论依据是什么？ [提示] 不等式的性质．
1 体验 1．(1)不等式 2x－2＞0 的解集为________． (2)不等式组2－x＋x＋1＞2＞0，0， 的解集为________．
【答案】(1)14，＋∞ (2)－12，2 【解析】(1)由 2x－21＞0 解得 x＞14，所以不等式 2x－12＞0 的 解集为14，＋∞. (2)由－x＋2＞0 解得 x＜2，由 2x＋1＞0 解得 x＞－12. 不等式组的解集为它们的交集，故－12＜x＜2，即解集为－12，2.
跟踪训练 5．在数轴上，已知 A(4)，B(x)，且 AB＝5，求 x 的值及线 段 AB 的中点坐标．
[解] 由题意，得 AB＝|x－4|＝5，∴x＝－1 或 x＝9. 当 x＝－1 时，线段 AB 的中点坐标为4－2 1＝32. 当 x＝9 时，线段 AB 的中点坐标为4＋2 9＝123.
6．已知数轴上点 H 是以 P(－3)，Q(11)为端点的线段的中点，若 MH ＞5，求点 M 坐标的取值范围． [解] 点 H 的坐标为11－ 2 3＝4， 设 M(x)，则|x－4|＞5. ∴x－4＞5 或 x－4＜－5， ∴x＞9 或 x＜－1，
课堂小结 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．一元一次不等式组解集的求解策略是怎样的？ [提示] (1)一元一次不等式组的解集就是每个不等式解集的交 集； (2)求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中 间找，大大小小找不到(无解)．
2．如何解含有绝对值的不等式？
[提示] (1)含绝对值的不等式|x|＜a 与|x|＞a 的解集
即点 M 坐标的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).
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1．不等式 3x＋6≤2x 的解集为( )
A．[－6，＋∞)
B．(－∞，－6]
C．[6，＋∞)
D．(－∞，6]
【答案】B 【解析】移项得 3x－2x≤－6， 即 x≤－6， 故原不等式的解集为(－∞，－6]．
2．不等式组2x＋x－14≥＜00， 的解集在数轴上表示正确的是(
跟踪训练 1．已知关于 x 的不等式组2ax－＋x1＞＞13，， 的解集为(1,3)，则 a 的值为________．
【答案】4 【解析】由 2x＋1＞3，得 x＞1，由 a－x＞1，得 x＜a－1． 又∵不等式组的解集为(1,3)，∴a－1＝3，即 a＝4.
2．解不等式 1≤3－2 x＜2x＋12.
[解] (1)若 P 是线段 QR 的中点，则－8＝m＋2 2， ∴m＝－18； 若 Q 是线段 PR 的中点，则 m＝－82＋2＝－3； 若 R 是线段 PQ 的中点，则 2＝－82＋m， ∴m＝12.
(2)由题意，知m－2 8－－82＋2＞1， 即m2 －1＞1， ∴m2 －1＞1 或m2 －1＜－1，解得 m＞4 或 m＜0， ∴实数 m 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．
4．已知点 B(x)到原点的距离不大于 4，则 x 的取值范围为________． 【答案】[－4,4] 【解析】由题意，|x|≤4，所以－4≤x≤4.
5．不等式|x－2|－|x－1|＞0 中 x 的取值范围为________．
【答案】－∞，32 【解析】原不等式等价于|x－2|＞|x－1|， 则|x－2|2＞|x－1|2，解得 x＜23， 即原不等式的解集为－∞，32.
式．(重点、难点)
3．通过数轴上两点间距离公式及
3．掌握数轴上两点间的距离公式及中 中点坐标公式的学习，培养直观想
点坐标公式．(重点)
象核心素养.
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知识点一 不等式的解集与不等式组的解集 1．不等式的解集：不等式的 所有解 组成的集合称为不等式 的解集． 2．不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组 来说，这些不等式的解集的 交 集称为不等式组的解集．
3x－2＜－4或3x－2＞4， －8＜3x－2＜8，
x＜－23或x＞2， ⇒－2＜x＜130.
∴原不等式的解集为－2，－23∪2，130.
4．解不等式|x－1|＋|2－x|＞3＋x.
[解] 把原不等式变为|x－1|＋|x－2|＞3＋x， (1)当 x≤1 时， 原不等式变为－(x－1)－(x－2)＞3＋x，解得 x＜0；
(2)当 1＜x≤2 时， 原不等式变为 x－1－(x－2)＞3＋x，解得 x∈∅； (3)当 x＞2 时， 原不等式变为 x－1＋x－2＞3＋x，解得 x＞6. 综上，原不等式解集为(－∞，0)∪(6，＋∞)．
类型 3 数轴上的距离问题 【例 4】 已知数轴上三点 P(－8)，Q(m)，R(2)． (1)若其中一点到另外两点的距离相等，求实数 m 的值； (2)若 PQ 中点到线段 PR 中点的距离大于 1，求实数 m 的取值范 围．
∴原不等式的解集为xx≥2或x≤－56
.
(2)原不等式等价于
|x－2|≥2，
①
|x－2|≤4. ②
由①得 x－2≤－2 或 x－2≥2，
∴x≤0 或 x≥4.
由②得－4≤x－2≤4，
∴－2≤x≤6.
∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤0 或 4≤x≤6}．
发现规律 |ax＋b|≥c 和|ax＋b|≤c 型不等式的解法 (1)当 c＞0 时，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c，|ax＋b|≤c⇔ －c≤ax＋b≤c. (2)当 c＝0 时，|ax＋b|≥c 的解集为 R，|ax＋b|＜c 的解集为∅. (3)当 c＜0 时，|ax＋b|≥c 的解集为 R，|ax＋b|≤c 的解集为∅.
跟踪训练 3．解下列不等式： (1)|3－2x|＜9； (2)4＜|3x－2|＜8. [解] (1)∵|3－2x|＜9，∴|2x－3|＜9. ∴－9＜2x－3＜9. 即－6＜2x＜12. ∴－3＜x＜6. ∴原不等式的解集为(－3,6)．
(2)由 4＜|3x－2|＜8，得||33xx－－22||＞＜48，， ⇒
类型 1 不等式组的解法 【例 1】 解下列不等式组：
x－5＞1＋2x，① (1)3x＋2≤4x； ②
32x＋5＞1－x， ① (2)x－1≤43x－18. ②
[解] (1)解不等式①，得 x＜－6，解不等式②，得 x≥2，把不等 式①和②的解集在数轴上表示出来：
由图可知，解集没有公共部分，不等式组无解，即不等式组的解集为∅.
不等式
a＞0
பைடு நூலகம்a＝0
a＜0
|x|＜a {x|－a＜x＜a}
∅
∅
|x|＞a {x|x＜－a 或 x＞a} {x|x∈R 且 x≠0} R
(2)|ax＋b|≤c 和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法 |ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； |ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c. (3)|x－a|＋|x－b|≥c 和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 (ⅰ)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； (ⅱ)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想．
[解]
原不等式组可化为下面的不等式组33－－22 xx＜≥12，x＋21，
① ②
解不等式①，得 x≤1，
解不等式②，得 x＞25，
所以不等式组的解集为25，1.
类型 2 含绝对值的不等式 尝试与发现 1．若|x|＝|a|，是否一定有 x＝a? [提示] 不一定，x＝a 或 x＝－a. 2．|x|的几何意义是什么？
[提示] ∅
体验 2.(1)不等式|x|＞2 的解集为________． (2)不等式|x－1|≤2 的解集为________． 【答案】(1)(－∞，－2)∪(2，＋∞) (2)[－1,3] 【解析】(1)由|x|＞2，解得 x＜－2 或 x＞2. 所以不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)． (2)由|x－1|≤2 得－2≤x－1≤2，解得－1≤x≤3. 所以不等式的解集为[－1,3]．
知识点三 数轴上的坐标与距离 1．两点间的距离公式 一般地，如果实数 a，b 在数轴上对应的点分别为 A，B，即 A(a)， B(b)，则线段 AB 的长为 AB＝ |a－b| ，这就是数轴上两点之间的距 离公式．
2．中点坐标公式
a＋b
若线段 AB 的中点 M 对应的数为 x，则 x＝ 2 就是数轴上的
2.2.2 不等式的解集
学习任务
核心素养
1．了解不等式(组)解集的概念，会求简 1．通过求一元一次不等式(组)的
单的一元一次不等式(组)的解集． 解法，培养数学运算核心素养．
2．了解含绝对值不等式的几何意义， 2．借助绝对值不等式的解法，提
能 借 助 数 轴 解 含 有 绝 对 值 的 不 等 升数学抽象、数学运算核心素养．
知识点二 绝对值不等式 1．定义：一般地，含有 绝对值 的不等式称为绝对值不等式．
2．含绝对值不等式的解法
x，x＞0，
(1)|x|＝0，x＝0， －x，x＜0.
(2)当 m＞0 时， |x|＞m 的解集为 为 [－m，m] ．
(－∞，－m)∪(m，＋∞)
，|x|≤m 的解集
思考 2.若 m＜0，|x|≤m 的解集是什么？
中点坐标公式．
体验 3.若 A，B 两点在数轴上的坐标分别为 A(2)，B(－4)，则 AB＝ __________，线段 AB 的中点 M 的坐标为________． 【答案】6 －1 【解析】AB＝|2－(－4)|＝6； 线段 AB 的中点 M 的坐标为2－2 4＝－1．
NO.2 合作探究·释疑难
角度 2 |x－a|＋|x－b|≥c 和|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式的解法 【例 3】 解不等式|x＋7|－|x－2|≤3. [解] 法一：|x＋7|－|x－2|可以看成数轴上的动点(坐标为 x)到－7 对 应点的距离与到 2 对应点的距离的差，先找到这个差等于 3 的点，即 x＝－1．由图易知不等式|x＋7|－|x－2|≤3 的解为 x≤－1，即 x∈(－∞， －1]．