12.3 有效值、平均值和平均功率

例：计算有效值和平均值
i(A)
10
O T/4
T
t
1 T 2 = 1 解：有效值为 I = ∫0 i dt T T 1 T 平均值为 Iav = ∫ | i | dt T 0
= 10*T/4 T =2.5A
∫
T 4 0
10 2 dt =5A
三、非正弦周期电流电路的功率
1、瞬时功率 、 任意一端口的瞬时功率（吸收） 任意一端口的瞬时功率（吸收）定义为
×
20 2 20 2 40 2 U = 10 + ( ) + ( ) + ( ) 2 2 2
电流的有效值
3 2 4 2 5 2 I = 2 +( ) +( ) +( ) 2 2 2
2
u = 10 + 20 cos(30t + 27°) + 30 sin(60t + 11°) + 40 sin(120t + 15°)V i = 2 + 3 cos(30t − 33°) + 4 sin(90t + 52°) + 5 sin(120t − 15°)A
k =1
∞
代入i,则得电流的有效值为 代入 则得电流的有效值为
1 T I= ∫0 I0 + ∑Ikm cos(kω1t +ψk ) dt T k =1
∞
2
有效值与各次谐波有效值之间的关系
I = I + I + I + I +⋯
2 0 2 1 2 2 2 3
非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平 方与各次谐波有效值的平方之和的平方根。 方与各次谐波有效值的平方之和的平方根。 此结论可推广用于其他非正弦周期量。 此结论可推广用于其他非正弦周期量。
×
二次谐波的u和 不同频 如何处理？ 不同频， 二次谐波的 和i不同频，如何处理？
∫
uidt
注意：不同频率的电压和电流乘积的积分为零， 注意：不同频率的电压和电流乘积的积分为零， 的电压和电流乘积的积分为零 即不产生平均功率， 即不产生平均功率， 同频的电压和电流乘积的积分不为零 的电压和电流乘积的积分不为零。 同频的电压和电流乘积的积分不为零。 可以证明
P =U0I0 +U1I1 cosϕ1 +U2I2 cosϕ2 +⋯+Uk Ik cosϕk +⋯
有效值、 §12. 3 有效值、平均值和平均 功率
一、非正弦周期量的有效值
1、有效值的定义：任一周期电流i的有效值 、有效值的定义：任一周期电流 的有效值
1 T 2 I= ∫0 i dt T
2、有效值与各次谐波有效值之间的关系 、 假设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数
i = I0 + ∑Ikm cos(kω1t +ψk )
平均功率 P = 10×2 + 20×3 + 30×4 +40×5 × × × ×
×
P = 10×2 + 20×3cos60° + 30×4cos41°+ 40×5cos30 ° × × ° × ° ×
20 3 40 5 P = 10 × 2 + ( )( ) cos 60° + ( )( ) cos 30° 2 2 2 2
3、不同的测量结果 、 对于同一非正弦周期电流， 对于同一非正弦周期电流，用不同类型的仪表 进行测量时，会有不同的结果。 进行测量时，会有不同的结果。 磁电系仪表 直流仪表）测量， 系仪表（ 用磁电系仪表（直流仪表）测量，所得结果将 是电流的恒定分量 恒定分量； 是电流的恒定分量； 电磁系或电动系仪表测量时 系或电动系仪表测量时， 用电磁系或电动系仪表测量时，所得结果将是 电流的有效值 有效值； 电流的有效值； 全波整流磁电系仪表测量时 磁电系仪表测量时， 用全波整流磁电系仪表测量时，所得结果将是 电流的平均值 平均值。 电流的平均值。 由此可见，在测量非正弦周期电流和电压时， 由此可见，在测量非正弦周期电流和电压时， 要注意选择合适的仪表， 要注意选择合适的仪表，并注意在各种不同类型表 的读数所示的含义。 的读数所示的含义。
二、非正弦周期量的平均值
1、平均值的定义 、
1 T Iav = ∫ | i | dt T 0
即：非正弦周期电流平均值等于此电流绝对值 的平均值。 的平均值Im cosωt | dt T 0 =2Im/π =0.637Im =0.898I
它相当于正弦电流经全波整流后的平均值， 它相当于正弦电流经全波整流后的平均值， 这是因为取电流的绝对值相当于把负半周的各 个值变为对应的正值。 个值变为对应的正值。 i Im Iav O ωt
i
u = 10 + 20 cos(30t + 27°) + 30 sin(60t + 11°) + 40 sin(120t + 15°)V i = 2 + 3 cos(30t − 33°) + 4 sin(90t + 52°) + 5 sin(120t − 15°)A
解：电压的有效值
2
U= 10 2 + 20 2 + 30 2 + 40 2
p = ui
∞ = U0 + ∑Ukm cos(kω1t +ψku ) k =1
× I0 + ∑Ikm cos(kω1t +ψk ) k =1
式中u、 取关联方向 取关联方向。 式中 、i取关联方向。
∞
2、平均功率的定义 、
P=
T 1 T 0
∫
pdt =
T 1 T 0
即:平均功率等于恒定分量构成的功率和各次谐波 平均功率等于恒定分量构成的功率和各次谐波 式中： 式中： 平均功率的代数和。 平均功率的代数和。
U km Ikm Uk = , Ik = , ϕk = ψ uk − ψ ik , k = 1,2,... 2 2
例：已知一端口的电压和电流， + 已知一端口的电压和电流， 求电压和电流的有效值和一端 u 口的平均功率。 口的平均功率。