教学设计：三角形的三线与三心导学案

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教学设计三角形的三线与三心导学案

教学设计三角形的三线与三心导学案
一、教学内容：
三角形的三线与三心
二、教学目标
1.理解三角形的三线与三心的概念；
2.通过练习让学生熟练运用所学的三角形的三线与三心的概念进行求解；
3.通过学习，使学生能够根据所给条件判断三角形是否符合三角形的三线与三心的定义。

三、教学重点
理解三角形的三线与三心的概念；
四、教学难点
运用所学的三角形的三线与三心的概念进行求解
五、教学准备
准备相关的课件、例题和练习题
六、教学过程
（一）课前准备：
1.
先用ppt展示图形，让学生了解三角形的三条边及三个内角；
让学生分析图形，总结三角形的三线与三心的性质；
（二）正式教学：
1.
老师讲解三角形的三线与三心，引导学生学习如何求解三角形；
2.
老师可以分组活动，让学生总结三角形的三线与三心；
3.
多设计例题，让学生学会运用三角形的三线与三心的概念进行求解；
4.
教师给出练习题，让学生自主解答，老师帮助指导，检查学生的答案是否正确；
（三）课后作业：
1.
让学生完成上课未完成的练习题；
2.
让学生多练习，巩固学过的三角形的三线与三心的概念；
3.
让学生尝试从三条边或三个角度求解三角形；
布置适当的变形题，让学生体会新形的三角形。

11.12 三角形三线应用专题教案 2022-2023学年人教版八年级数学上册

11.12 三角形三线应用专题教案 2022-2023学年人教版八年级数学上册一、教学目标1.理解三角形三线的概念及其应用场景。

2.掌握三角形三线的性质和定理。

3.能够利用三角形三线解决相关问题。

二、教学内容1.三角形三线的概念和组成部分。

2.三角形的中位线、高线、角平分线的定义和性质。

3.利用三角形三线解决实际问题。

三、教学过程步骤一：导入新知识1.在黑板上绘制一个三角形ABC，并画出其三条三线（中位线、高线、角平分线）。

2.引导学生观察和思考，让他们尝试猜测三线的性质和应用场景。

步骤二：学习三线的定义和性质1.学生自主阅读教材相关内容，了解三线的定义和组成部分。

2.教师给出三线的性质和定理，并通过具体的例子进行解释和说明。

–中位线：连接一个三角形两个顶点的中点，并平分第三个顶点的边。

–高线：从一个顶点引垂直于对边的线段。

–角平分线：从一个角的顶点引线段，使其等分两个邻角。

步骤三：学习三线的应用1.举例说明三线在实际问题中的应用。

–中位线：可以用来证明三角形的一个内角等于另两个内角之和。

–高线：可以用来证明三角形的两条边的比例关系。

–角平分线：可以用来证明三角形的一个内角等于另一个内角的两倍。

2.给学生一些练习题，让他们应用三线的性质解决问题。

步骤四：小结和拓展1.教师对本节课的内容进行小结，并强调三线的重要性和应用。

2.鼓励学生阅读相关的数学书籍或文献，进一步了解三线的应用领域。

四、教学评价与反馈1.教师观察学生在课堂上的表现，包括积极参与讨论、解题能力等，进行课堂评价。

2.教师布置相关习题作业，并及时批改并给予反馈，帮助学生巩固所学内容。

五、教学资源1.教材：人教版八年级数学上册。

2.课件：展示三角形三线的定义、性质以及应用场景。

3.黑板、粉笔。

六、教学反思本节课采用了导入新知识、学习三线的定义和性质、学习三线的应用、小结和拓展的教学方法。

通过引导学生观察、思考和运用所学知识解决问题，培养他们的逻辑思维和解决实际问题的能力。

三角形的三线教案

教学重点
1、理解三角形角平分线、高线、中线的概念，懂得画出“三线段”。
2、画钝角三角形的高。
教学难点
通过折纸画图等实践操作活动，让学生体验“三线段”并且感受三线的异同点。
教师活动
学生活动
设计意图
复习提问：角平分线的定义。
学生回答：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的角平分线。
活动3教师提问
问题：三角形角平分线、中线的区别在哪里？
学生活动：能够通过定义实行比较，区分它们的不同点：角平分线是平分各内角；中线是平分各边，这两条线段一个是平分角，一个是平分边。
练习：
1.填空：
（1）如图（1）AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则AB=2＿，BD=＿,AE=1/2＿.
（2）如图（2），AD,BE,CF是ABC的三条角平分线，则∠1=＿，∠3=1/2＿，∠ACB=2＿。
三角形的高、中线、与角平分线教案
科目
课题
教学用具
授课类型
三角形的高、中
线、与角平分线
三角板，三角形纸片
新授课
操作-猜想-验证-合作的教学方法
教学目标
1、了解三角形角平分线、中线、高线的概念。
2、经历探索与三角形相关的线段的过程。
3、培养良好的几何推理意识和简单的分析思想，感受三角形“三线段”的应用价值。
活动1操作实验
实验方法：用薄纸剪成的三角形，通过折纸的方法试一试，你能设法画出一个三角形内角的平分线吗？
学生活动：画任意三角形，对折一个内角，折痕就是所要的一个内角的平分线。
教师提问：一个三角形角平分线有几条？这几条平分线是否交于一点？请你动手画一画。
归纳总结：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间线段叫做三角形的角平分线；一个三角形有三条角平分线，且交于一点。

三角形的三线——导学案

三角形的三线——导学案知识点一：认识并会画三角形的高线，利用其解决相关问题1.动手操作：过右图中三角形的顶点A ，向对边BC 引垂线段，垂足为D.2.想一想：线段AD 就是△ABC 中BC 边上的______________.3.三角形的高可定义如下：_______________________________________________________.4.由三角形高线的的定义，完成下面的推理：∵AD 是△ABC 的高 ∴___________________________5、作出上面锐角三角形三边上的高：由作图可知：锐角三角形的三条高都位于三角形的_________,并且交于__________.6. 作出上面直角三角形三边上的高：由作图可知：(1)直角三角形AC 边上的高是______,直角三角形BC 边上的高是______,直角三角形AB 边上的高是______.(2)直角三角形的三条高交于_______________.7. 作出上面钝角三角形三边上的高并延长，仔细观察，你发现了什么？由作图可知：1.钝角三角形的三条高相交于一点吗？_____________________2.钝角三角形的三条高所在的直线相交于一点吗？如果相交，这个交点在内部还是外部？答：_____________________________________________________________________8.补充：三角形三条高的交点，我们叫做三角形的内心。

跟踪练习：如图所示，画△ABC 的一边上的高，下列画法正确的是（）．知识点二：认识并会画三角形的中线，利用其解决相关问题1.三角形的中线可定义为：__________________________________________________________________.2.由三角形中线的的定义，完成下面的推理：（见右图）∵AD 是△ABC 的中线，∴____________________________3.作出下列三角形三边上的中线4.由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条中线都在三角形的___________,并且相交于___________. A C B A CBAC B A C B A BD A BC如图，D 、E 是边AC 的三等分点，图中有个三角形，BD 是三角形中边上的中线，BE 是三角形中________上的中线；知识点三：认识并会画三角形的角平分线，利用其解决相关问题1.三角形的角平分线可定义为：________________________________________________________________2.由三角形角平分线的的定义，完成下面的推理：（见右图）∵AD 是△ABC 的角平分线，∴____________________________2.作出下列三角形三个角的角平分线：3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条角平分线都在三角形的________,并且相交于__________.补充：三角形三条角平分线的交点，我们叫做三角形的内心。

七年级数学下册《三角形的三条重要线段》教案、教学设计

2.适量原则：控制作业量，确保学生能在合理的时间内完成，避免过度负担。
3.及时反馈原则：要求学生在规定时间内提交作业，教师及时给予评价和指导，帮助学生发现问题、提高自己。
-指出：“在解决几何问题时，我们要学会运用所学的性质，进行严密的逻辑推理。”
3.鼓励学生对所学知识进行自我反思，评价自己的学习效果。
-提问：“你认为自己在今天的课堂上有哪些收获？还有哪些地方需要进一步学习和提高？”
五、作业布置
为了巩固学生对三角形三条重要线段的理解和应用，以及提高他们的问题解决能力，我设计了以下作业：
3.引导学生通过观察、思考、总结，形成解决问题的策略和方法。
-教师鼓励学生在学习过程中积极思考，通过问题驱动的方式，引导学生总结三角形三条重要线段的相关性质。
-学生在教师的引导下，学会运用几何知识进行逻辑推理，形成解题的策略。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发学生的探究欲望。
-通过设置具有挑战性的问题，教师激发学生的学习兴趣，鼓励学生主动探索三角形三条重要线段的秘密。
-学习笔记要体现学生的自主学习和思考过程，有助于他们梳理知识结构。
5.互动交流作业：鼓励学生与家长或同学分享今天学到的三角形知识，讨论解决实际问题的策略。
-通过互动交流，培养学生的沟通能力和团队合作精神。
作业布置时，注意以下原则：
1.分层次原则：针对不同学生的学习水平，提供不同难度的作业，使每个学生都能得到适当的挑战和锻炼。
-通过例题，让学生看到中线如何将三角形分成面积相等的两部分，角平分线如何将角平分，高线如何与底边垂直。
3.解释这些性质在解决几何问题中的应用，并展示解题步骤。
-以具体的几何题目为例，示范如何运用中线、角平分线、高线的性质来解决问题。

11.1.2三角形的三线复习课教学设计

杭后六中七年级数学课堂教学设计2．下列各图中，画出
4．如图，AD是△
知识点3 三角形的角平分线
5．如图，AD是△ABC
6．如图，AD是△ABC
则∠EAD的度数是( )
A．20° B
二、易错点强化
7．下列说法正确的是
A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形的内部B．直角三角形的高只有一条
C．钝角三角形的三条高都在三角形的外部
D．三角形的高至少有一条在三角形的内部
A．①② B
10．如图，已知
＝ cm
则S
△ABC
四、拓展延伸 11题图
11．【方程思想】如图，在△中，AB＝AC，
(1)填空：AE＝
△ABE的周长与△的周长之差为；
(2)若△ABC的周长为将△ABC的周长分成差为
求△ABC的边长．
板书设计及课堂小结：（略）
作业布置：P8 4.8.9T
教学反思及作业反馈：。

三角形的三线教学案例

“三角形的高、中线、角平分线及三角形的稳定性”教学案例一、三维目标：1、了解三角形的角平分线、中线、高线的概念以及三角形的稳定性；2、经历探索与三角形有关的线段的过程，感受三角形稳定性的内涵：3、培养良好的几何推理意识和简单的分析思想，感受三角形“三线”的应用价值。

二、教学重点、难点及切入点：1、教学重点：理解三角形角平分线、高线、中线的概念，懂得画出三角形的“三线段”。

2、教学难点：会画出钝角三角形的高。

3、切入点：通过拆线画图等实践操作活动，让学生体验“三线段”并感受“三线”的异同。

三、教学过程：（一）创设情境，导入新课：操作：在一张薄纸上任意画出一个三角形，通过折纸的方法，你能设计画出一个三角形内角的角平分线吗？学生活动：在薄纸上画任意三角形，对折一个角，折痕就是所要作的内角平分线。

师：一个三角形角平分线有几条？这几条角平分线是否交于同一点？试试看！生：我对折一个角找到了它的角平分线，再对折另外两个角找到了它们的角平分线，所以一个三角形有三条角平分线，我还发现这三条角平分线交于同一点。

师生共识：在三角形中，一个内角平分线与它的对边相交，这个顶点与交战之间的线段叫做三角形的角平分线；一个三角形有三条角平分线，且交于一点。

如图：图1 AB C DFE O操作感知：锐角三角形、钝角三角形、直角三角形纸片各一个。

1、用拆线的办法，画出这三种三角形的内角平分线；2、在每一个三角形中，寻找三条角平分线交点与三角形的位置关系。

师：一个三角形的三条内角平分线交点在三角形的什么位置？生：交点在三角形的内部，不可能在在角形上，也不在三角形的外部。

二、知识牵移，构建理论引导学生动手操作：1、分别画一个锐角三角形、直角三角形和一个钝角三角形；2、取它们各边的中点；3、连接每一个顶点与对边的中点，观察这三条线段是否交在一点上。

师：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，我们把叫作什么呢？生：中线。

师：画三角形的中线可以像角平分线那样用折叠的方法吗？试试看！生操作：把三角形一这对折，找到中点，再与对角的顶点连接就是中线。

三角形的三边关系导学案

9.1.3三角形的三边关系导学案主备人：光晓协作人：一部七数教师审核人：学习目标：1、掌握和理解三角形的三边关系；并能应用三边关系解决一些简单问题。

2、了解三角形的稳定性，并能利用三角形的稳定性解决一些实际问题.学习重难点：三角形的三边关系的理解与应用。

学习过程：一、学案引导：1、自学教材P80中的“做一做”和“试一试”部分。

（1）按“做一做”的要求画一个三角形，你理解第一个云图中的说明的作用吗？（2）按“试一试”的要求试着画三角形，并思考能否画出一个三角形？（3）三角形任意两边的和_________第三边。

2、新旧知识链接人们从A步行到C，通常不走柏油路，而是走小路。

[自主探究] 人们通常会走小路，理由是什么？用线段公理解释：______________________用数学式子表示：_______________________.3、如上图AC>BC>AB,三边关系还可以表示为___________、___________、___________。

请根据上式填空AC—BC___AB. BC—AB ___AC AC—AB___BC.三角形两边之差___________________________。

4、自学教材P81中关于三角形的稳定性的说明。

（1）如果三角形的三条边______,那么三角形的______________就完全确定了，三角形的这一性质叫做三角形的稳定性。

(2)四边形______不稳定性。

将你的疑惑记录下来__________________________________________________.二、问题探究：1、阅读学习目标，明确重点、难点。

（见导学案）2、自主测评.（1）下列长度的各组线段能否组成三角形？请说明理由：①16cm，11cm ，7cm；②8cm，8cm，18cm；③8cm， 12cm， 20cm；④5cm，6cm，7cm.思考：不能组成三角形的条件是________________________________________.你有更好的方法来判定三角形的构成吗？（2）三角形的三边长度一定，这个三角形的______和_____就确定了，这个性质叫做_______ 。

数学华东师大版七年级下册三角形的三线教学设计

三角形的三线教学设计学习目标：1.掌握三角形的高、中线、角平分线的定义中体现出来的性质2.会画三角形的高、中线、角平分线。

重点：了解三角形的高概念，会用工具画出三角形的高。

难点：钝角三角形高的画法。

温故互查：（同桌定义）1.垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。

2.线段中点的定义把一条线段分成两条相等的线段的点3.角平分线的定义一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

探究新知：大家还记得过一点画已知直线的垂线” 吗?动手做一做1. 过一点画已知直线的垂线” 吗?（各自完成，组长查看）2. 过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?给出定义。

根据定义都是一步一步板演3. 学生动手画一个三角形，再做一边上的高。

4. 学生动手画锐角三角形：你能画出这个三角形的三条高吗?（自主完成）你能用折纸的办法得到它们吗?这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流. 交流式小结教师板演5.学生动手画直角三角形：画直角三角形的高你能用折纸的办法得到它们吗?这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流. 交流式小结老师板演6.学生画出一个钝角三角形。

画钝角三角形的高（教师要指导）钝角三角形的三条高交于一点吗？讨论交流发现小结教师板演7.三角形高的表示方法：板演小结：三角形的高填PPT8.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形这边的中线。

（1）根据定义画图，分为三个组，分别是锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的中线。

（2）出示PPT理解三角形的中线（3）三角形的三条中线发现了什么？(交流得出结论)9.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。

（1）根据定义画图，分为三个组，分别是锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的角平分线。

11.1.2三角形的三线(学案)

11.1.2三角形的高、中线与角平分线主编：王强【预习归纳】1．三角形的三线（1）从三角形的一个顶点向它所对边的直线画___，顶点与______之间的________叫做做三角形的高。

（2）在三角形中，连接顶点和它所对的边的______所得的____ 叫做三角形的中线。

三角形三条中线的交点叫做三角形的_______（3）三角形的一个内角的角平分线与这个内角所对的边相交，这个内角的顶点与交点之间_____叫做_____________（4）一个三角形的高、中线、角平分线各有___条，且都是______，可以度量2.三角形具有______，而其他多边形不具________. 【典例精析】知识点一:三角形的三线例1：如图，在△ABC中.（1）画出AC边上的高，标出垂足D；（2）画出AB边上的中线CE，写出两条相等的线段，它们与边AB有什么关系？（3）画出∠BAC处的角平分线AF，写出两个相等的角，它们与∠BAC有什么关系？针对训练：1.如图，△ABC中，∠1=∠2，G为AD中点，延长BG 交AC于E，其满足BE⊥AC；F为AB上一点，且CF ⊥AD于H，下列判断：①线段AG是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③线段AE是△ABG的边BG上的高；④∠1+∠FBC+∠FCB=90∘.其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4知识点二：三角形的三线的运用例2：如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90∘，CD 是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm.求：(1)△ABC的面积；(2)CD的长；(3)作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的面积；(4)作出△BCD的边BC边上的高DF，当BD=11cm时，试求出DF的长。

针对训练：2.如图，在△ABC中，BC=4cm，BC边上的高AD=4cm，AC=5cm.（1）试求△ABC的面积及AC边上的高BE的长；（2）试求AD:BE的值.知识点三：三角形的稳定性例3（1）下列图形中具有稳定性是_______；（只填图形序号）（2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．针对训练：3如图,要使四边形木架(用四根木条钉成)不变形，至少要再钉上几根木条?五边形木架和六边形木架呢?请在下面画出草图。

初二数学上册教案2：三角形的三线 (教师版 )

个性化教学辅导教案1．已知三角形的三边长分别是3、x、9，则化简|x﹣5|+|x﹣13|=8．【分析】首先确定第三边的取值范围，从而确定x﹣5和x﹣13的值，然后去绝对值符号求解即可．【解答】解：∵三角形的三边长分别是3、x、9，∴6＜x＜12，∴x﹣5＞0，x﹣13＜0，∴|x﹣5|+|x﹣13|=x﹣5+13﹣x=8，故答案为：8．【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是能够根据三边关系确定x的取值范围，从而确定绝对值内的代数式的符号，难度不大．2．盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉上一根木条，这是利用了三角形具有稳定性的原理．【分析】在窗框上斜钉一根木条，构成三角形，故可用三角形的稳定性解释．【解答】解：盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样就构成了三角形，故这样做的数学道理是三角形的稳定性．故答案为：稳定性．【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．3．如图共有24个三角形．【分析】在上半部分，按照从左到右的顺序分别找出单个的三角形和复合的三角形的个数，在下半部分有4个，考虑去掉横截线的三角形的个数与上半部分的三角形的个数相同．【解答】解：上半部分：单个的三角形有4个，复合的三角形有3+2+1=6个，所以上半部分三角形的个数为4+6=10个，下半部分：三角形有4个，同理考虑去掉横截线的三角形的个数也是10个．共有24个三角形．故答案为：24．【点评】本题主要考查了三角形，把三角形分成上半部分和上下合成一个整体考虑使求解变得较为简单，要按照一定的顺序找三角形才能做到不重不漏．1．（2014秋•福州校级期末）下列各图中，正确画出△ABC中AC边上的高的是（）A．①B．②C．③D．④【分析】根据高的定义对各个图形观察后解答即可．【解答】解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为E，纵观各图形，①②③都不符合高线的定义，④符合高线的定义．故选D．【点评】本题主要考查了三角形的高线的定义，是基础题，熟练掌握概念是解题的关键，三角形的高线初学者出错率较高，需正确区分，严格按照定义作图．2．（2014春•滦平县期末）如图，已知点D是△ABC中BC边上的一点，线段BD将△ABC 分为面积相等的两部分，则线段BD是△ABC的一条（）A．角平分线B．中线C．高线D．边的垂直平分线【分析】三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形．【解答】解：由题意知，当线段BD将△ABC分为面积相等的两部分，则线段BD是△ABC 的一条中线．故选B．【点评】本题利用了三角形的中线的性质．3．（2013秋•金平区期末）下列说法错误的是（）A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D．三角形的三条高所在直线可能相交于外部一点【分析】三角形的三条中线和三条角平分线都交于三角形的内部，而三条高线可以交在三角形的内部，或外部，或一角的顶点．【解答】解：A、错误，三条高线可以交在三角形的内部，或外部，或一角的顶点；B、正确；C、正确；D正确．故选A．【点评】本题考查了三角形的高线、角平分线、中线的性质．4．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则：（1）BE=EC=BC；（2）∠BAD=∠CAD=∠BAC；（3）∠AFB=∠AFC=90°；（4）△ABC中，∠B对边是AC，BC所对的角是∠BAC；图中以∠C为内角三角形有4个．【分析】（1）根据三角形中线的定义进行解答；（2）根据三角形角平分线的定义进行解答；（3）根据三角形高的定义进行解答；（4）根据三角形的定义结合图形解答即可．【解答】解：（1）∵AE是BC边的中线，∴BE=EC=BC；（2）∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC；（3）∵AF是△ABC边的高，∴AF⊥BC，∴∠AFB=∠AFC=90°；（4）△ABC中，∠B对边是AC，BC所对的角是∠BAC；图中以∠C为内角三角形有4个，分别为：△ABC、△AEC、△ADC、△AFC．故答案为：（1）EC；BC；（2）∠CAD；∠BAC；（3）∠AFC；（4）AC；∠BAC；4．【点评】此题主要考查了三角形中的重要元素，关键是正确理解三角形的边、三角形的内角、三角形的角平分线、中线、高及三角形的概念．精准突破一：三角形的高概念：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高性质：①三条高都是线段②交点：锐角三角形相交于三角形内一点；直角三角形交点是直角顶点；钝角三角形相交于三角形外一点．③面积：222BEACAFBCCDAB⨯=⨯=⨯例题讲解1、★在下列三角形中，分别画出三边上的高．2．如图，在△ABC中，已知BE⊥AC于点E，则以BE为高的三角形是△ABC，△ABE，△BCE．【分析】三角形的高线是过它的一个顶点的垂直于对边的垂线段，或这条直线上从顶点到与对边交点之间的线段．【解答】解：以BE为高的三角形有：△ABC，△ABE，△BCE共3个．故答案为：△ABC，△ABE，△BCE．DFE【点评】本题主要考查了三角形的高线的定义，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．3．如图，△ABC的三条高AD，BE，CF相交于点H，（1）△ABH的三条高是HF、AE、BD，这三条高相交于点C；=BC×DH=BH×CE=HC×BF．（2）S△BHC【分析】（1）根据三角形的高的定义即可求解；（2）根据三角形的面积=×底×高即可求解．【解答】解：（1）∵△ABC的三条高AD，BE，CF相交于点H，∴△ABH的三条高是：HF、AE、BD，这三条高所在的直线相交于点C；（2）S=BC×DH=BH×CE=HC×BF．△BHC故答案是：HF、AE、BD，C；BH×CE，HC×BF．【点评】本题考查了三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，三角形的三条高线所在的直线一定交于同一点．同时考查了三角形的面积，掌握三角形的高的定义是解题的关键．练习1．如图六，在△ABC中，∠BAC是钝角，完成下列画图，并用适当的符号在图中表示；（1）AC边上的高；（2）BC边上的高．（在上图中直接画）【分析】做AC边上的高也就是过点B作AC的垂线，延长CA，让直角三角板的一条直角边与AC重合，移动三角板，让其另一条直角边过点B画线即可；用同样的方法可画出BC边上的高．【解答】解：【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识；做三角形的高要按照一定的方法，不能只凭感觉去做，这是正确解答本题的关键．2．如图，依图填空：在△ABC中，BC边上的高是AB；在△ABC中，AE边上的高是CD；在△ABC中，EC边上的高是AB；AB=CD=2，AE=3，则△AEC的面积S=3，CE=3．【分析】根据三角形的高线的定义和三角形的中线的性质解答．【解答】解：根据高的定义，在△ABC中，BC边上的高是AB；在△ABC中，AE边上的高是CD；在△ABC中，EC边上的高是AB；AB=CD=2，AE=3，则△AEC的面积S==3，CE==3．故答案为：AB；CD；AB；3；3．【点评】本题主要考查了三角形的高的定义，熟记概念是解题的关键．3．如图，AD、CE是△ABC的两条高，已知AD=10，CE=9，AB=12．（1）求△ABC的面积；（2）求BC的长．【分析】（1）根据三角形的面积等于底乘以高除以2列式计算即可得解；（2）根据△ABC的面积列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵CE=9，AB=12，∴△ABC的面积=×12×9=54；（2）△ABC的面积=BC•AD=54，即BC•10=54，解得BC=．【点评】本题考查了三角形的高线，三角形的面积，是基础题，熟记三角形的面积公式是解题的关键．极限挑战：1．如图所示，在△ABC中，点E为AC上一点，BE⊥AC，则以BE为高的三角形有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】三角形的高线是过它的一个顶点的垂直于对边的垂线段，或这条直线上从顶点到与对边交点之间的线段．【解答】解：以BE为高的三角形有：△ABC，△ABE，△BCE共3个．故选A．【点评】本题主要考查了三角形的高线的定义，是需要熟记的内容．2．★★★如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB=4cm，BC=8cm，CE=6cm，求AD的长．【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．【分析】利用三角形的面积列式计算即可得解．=AB•CE=BC•AD，【解答】解：S△ABC∵AB=4cm，BC=8cm，CE=6cm，∴×4×6=×8•AD，解得AD=3cm．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，根据三角形的面积列出等式是解题的关键．精准突破二：三角形的中线概念：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．性质：①三条边的中线都是线段②交点:交于三角形内DE③平分线段：AD=BD、AE=CE、 BF=CFF④平分面积：ABC S ACF S ABF S CBE S ABE S BCD S ACD S ∆∆∆∆∆∆∆======21例题讲解：1、★ 在下列三角形中，分别画出三边上的中线．2．★★如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，则有： BD = CD =BC ． ACD S ABD S ∆∆= =ABC S ∆，【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．【分析】本题考查的是三角形角平分线的性质以及三角形中线的有关知识．【解答】又∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD=CD=BC ．【点评】此类题解答的关键是明确题中所给的条件“AD 是BC 边上的中线，BE 是△ABC 的一条角平分线”，依此解答即可．3．★★在△ABC 中，AB=AC ，AD 是中线，△ABC 的周长为34cm ，△ABD 的周长为30cm ，求AD 的长．【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．【分析】周长是三角形的三边的和，列出方程组求解．【解答】解：方法1：由题意知：AB +AC +BC=34，AB +AD +BD=30， ∵AB=AC ，BD=BC ，∴②×2得：2AB+2AD+BC=60③，③﹣①得：2AD=26，∴AD=13cm．方法2：∵AB=AC，D是中点，且AB+AC+BC=34，∴BD=BC，AB=（AB+AC），∴AB+BD=（AB+AC）+BC=（AB+AC+BC）=17cm（周长的一半）．∵AB+BD+AD=30cm，AD=30﹣17=13cm．练习：1．（2010春•灌云县校级月考）三角形3条中线的交点在这个三角形的（）A．内部B．外部C．1条边上D．以上情况都有可能【分析】根据三角形的中线是三角形内部的三条线段解答．【解答】解：因为三角形的中线是三角形内部的线段，所以3条中线的交点在这个三角形的内部．故选A．【点评】本题主要考查三角形的中线是线段．2．如图，AE是△ABC的中线，已知EC=6，ED=2，则BD=4．【分析】根据三角形中线的定义可得BE=EC=6，再根据BD=BE﹣DE即可求解．【解答】解：∵AE是△ABC的中线，EC=6，∴BE=EC=6，∵DE=2，∴BD=BE﹣DE=6﹣2=4，故答案为4．【点评】本题考查了三角形的中线的定义，是基础题，准确识图并熟记中线的定义是解题的关键．3．★★如图所示，已知AD是△ABC的边BC上的中线．（1）若△ABC的面积为10，求△ADC的面积．（2）若△ABD的面积为6，且BD边上的高为3，求BC的长．【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高；K3：三角形的面积．【分析】（1）根据三角形中高的定义来作高线；（2）根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分即可求解；（3）先求出△ABC的面积，再根据三角形的面积公式求得即可．【解答】解：（1）∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABC的面积为10，∴△ADC的面积=△ABC的面积=5．（2）∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD的面积为6，∴△ABC的面积为12，∵BD边上的高为3，∴BC=12×2÷3=8．【点评】考查了三角形的角平分线、中线和高．（1）理解三角形高的定义；（2）熟悉三角形中线的性质；（3）根据三角形的面积公式求解．4．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，若△ABD的周长比△ACD的周长小5，求AC 与AB的差．【分析】根据三角形中线的定义，BD=CD．所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的差．【解答】解：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△ACD的周长﹣△ABD的周长=（AC+AD+CD）﹣（AB+AD+BD）=AC﹣AB=5，即AC﹣AB=5，∴AC与AB的差为5．【点评】此题考查了三角形的中线定义，三角形的周长计算方法，找出三角形的边长差等于周长差是解决问题的关键．极限挑战1．如图，AD是△ABC的中线，且AB＞AC，则下列结论中不正确的是（）A．∠BAD=∠CADB．△ABD的面积=△ACD的面积C．BD=CDD．△ABD的周长﹣△ACD的周长=AB﹣AC【分析】由AD是△ABC的中线，根据三角形的中线的定义可得BD=CD，由此判断C正确；根据等底同高的三角形面积相等可判断B正确；根据三角形的周长定义可得△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD，由此判断D正确；由于AB＞AC，所以不能得出∠BAD=∠CAD，由此判断A错误．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，故C正确；设△ABC中BC边上的高为h，∵△ABD的面积=BD•h，△ACD的面积=CD•h，又BD=CD，∴△ABD的面积=△ACD的面积，故B正确；∵△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD，又BD=CD，AB＞AC，∴△ABD的周长﹣△ACD的周长=（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）=AB﹣AC，故D正确；由于AB＞AC，所以不能得出∠BAD=∠CAD，故A错误．故选A．【点评】本题考查了三角形的中线：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．也考查了三角形的面积和周长．2．BE、CF分别是△ABC的中线，且BE=CF，AM⊥CF于M，AN⊥BE于N，求证：AM=AN．【分析】直接利用三角形中线平分三角形面积，进而利用三角形面积公式求出即可．【解答】证明：∵BE、CF分别是△ABC的中线，∴S△ABE =S△ACF=S△ABC，∵BE=CF，AM⊥CF于M，AN⊥BE于N，∴AM×FC=AN×BE∴AM=AN．【点评】此题主要考查了三角形中线的性质以及三角形面积公式，得出S△ABE =S△ACF=S△ABC是解题关键．精准突破三、三角形的角平分线概念：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．性质：①都是线段②交点：交于三角形内部③平分角：CADBAD∠=∠=BAC∠21例题：1、★在下列三角形中，分别画出三边上的角平分线．2．如图，若BD是△ABC的角平分线，则∠1=∠2=∠ABC．【分析】利用三角形一个内角的平分线的定义可知．【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2=∠ABC．故填∠2，∠ABC．D【点评】三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．3．（2016秋•宁海县期中）如图，在△ABC中∠B=30°，∠ACB=110°，AD是BC边上高线，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．【分析】根据三角形的内角和等于180°列式求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAE，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后根据∠DAE=∠BAD﹣∠BAE计算即可得解．【解答】解：∵∠B=30°，∠ACB=110°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣110°=40°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC=×40°=20°，∵∠B=30°，AD是BC边上高线，∴∠BAD=90°﹣30°=60°，∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=60°﹣20°=40°．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记概念并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．练习:1．如图所示，∠1=∠2=∠3=∠4，则AD是△ABC的（）A．高B．角平分线C．中线D．以上都不是【分析】根据三角形的角平分线解答即可．【解答】解：∵∠1=∠2=∠3=∠4，∴∠1+∠2=∠3+∠4，∴AD是△ABC的角平分线，故选B【点评】本题考查的是三角形的角平分线的概念，三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．2．AD是△ABC的角平分线，如图，那么∠BAC=2∠BAD．【分析】根据角平分线的定义解答即可．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAC=2∠BAD．故答案为：2．【点评】本题考查了三角形角平分线的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．3．（2007春•工业园区校级期中）如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A=50°，则∠BOC的度数是（）A．50°B．65°C．115°D．110°【分析】由于∠A=50°，根据三角形的内角和定理，得∠ABC与∠ACB的度数和，再由角平分线的定义，得∠OBC+∠OCB的度数，进而求出∠BOC的度数．【解答】解：∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∵BE、CF是△ABC的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=65°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣65°=115°．故选C．【点评】本题主要考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理等知识，难度适中．4．（2016春•淮安期中）在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A=20°，∠B=60°．求∠BCD和∠ECD的度数．【分析】由CD⊥AB与∠B=60°，根据两锐角互余，即可求得∠BCD的度数，又由∠A=20°，∠B=60°，求得∠ACB的度数，由CE是∠ACB的平分线，可求得∠ACE的度数，然后根据三角形外角的性质，求得∠CEB的度数．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠B=60°，∴∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°；∵∠A=20°，∠B=60°，∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠ACB=100°，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE=∠ACB=50°，∴∠CEB=∠A+∠ACE=20°+50°=70°，∠ECD=90°﹣70°=20°【点评】此题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质以及三角形高线，角平分线的定义等知识．此题难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用．极限挑战1．如图，∠BAD=∠CAD，则AD是△ABC的角平分线，对吗？说明理由．【分析】根据三角形角平分线的定义即可作出作答．【解答】解：错误．因为AD虽然是线段，但不符合三角形角平分线定义，这里射线AD是∠BAC的平分线．【点评】考查了三角形的角平分线的定义，三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．2．（2016春•故城县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．求：（1）∠BAE的度数；（2）∠DAE的度数；（3）探究：小明认为如果条件∠B=70°，∠C=30°改成∠B﹣∠C=40°，也能得出∠DAE的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．【分析】（1）根据三角形内角和定理得∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°，然后根据角平分线定义得∠BAE=∠BAC=40°；（2）由于AD⊥BC，则∠ADE=90°，根据三角形外角性质得∠ADE=∠B+∠BAD，所以∠BAD=90°﹣∠B=20°，然后利用∠DAE=∠BAE﹣∠BAD进行计算；（3）根据三角形内角和定理得∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，再根据角平分线定义得∠BAE=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C）=90°﹣（∠B+∠C），加上∠ADE=∠B+∠BAD=90°，则∠BAD=90°﹣∠B，然后利用角的和差得∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=90°﹣（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠B）=（∠B﹣∠C），即∠DAE的度数等于∠B与∠C差的一半．【解答】解：（1）∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣70°﹣30°=80°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC=40°；（2）∵AD⊥BC，∴∠ADE=90°，而∠ADE=∠B+∠BAD，∴∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=40°﹣20°=20°；（3）能．∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C）=90°﹣（∠B+∠C），∵AD⊥BC，∴∠ADE=90°，而∠ADE=∠B+∠BAD，∴∠BAD=90°﹣∠B，∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=90°﹣（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠B）=（∠B﹣∠C），∵∠B﹣∠C=40°，∴∠DAE=×40°=20°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质解答．1．如图，点D，E，F分别是AB，BC，CA上的点，且AE，BF，CD交于点O，它们将△ABC分成6个面积相等的三角形，则AE，BF，CD一定是△ABC的（）A ．高B ．中线C ．角平分线D ．三边的垂直平分线【分析】根据S △OAD =S △OBD ，得到AD=BD ，同理得到答案．【解答】解：∵S △OAD =S △OBD ，∴AD=BD ，∴CD 是△ABC 的中线，同理，BF 、AE 也是△ABC 的中线，故选：B ．【点评】本题考查的是三角形的中线的性质，掌握三角形的一条中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．2．各边长度都是整数、最大边长为11的三角形共有 36 个．【分析】最长的边长度是11，另外两边长用x ，y 表示，要构成三角形必须x +y ≥12，列举出当y 分别从11，10，9，8，7，6时，对应的三角形的个数，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：设另外两边长为x ，y ，且不妨设1≤x ≤y ≤11，要构成三角形，必须x +y ≥ 当y 取值11时，x=1，2，3，…，11，可有11个三角形；当y 取值10时，x=2，3，…，10，可有9个三角形；当y 取值分别为9，8，7，6时，x 取值个数分别是7，5，3，1，∴根据分类计数原理知所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36．故答案是：36．【点评】本题考查分类计数原理，以及三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理，注意分类讨论思想的应用．3．如图所示，CD 为△ABC 的AB 边上的中线，△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，BC=8cm ，求边AC 的长．【分析】根据三角形中线的特点进行解答即可．【解答】解：∵CD为△ABC的AB边上的中线，∴AD=BD，∵△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，∴（BC+BD+CD）﹣（AC+AD+CD）=3，∴BC﹣AC=3，∵BC=8，∴AC=5．【点评】本题考查的是三角形的中线，熟知三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是此题的关键．4．如图所示，P是△ABC内一点，连接PB、PC，试比较PB+PC与AB+AC的大小．【分析】首先需要作辅助线（延长BP交AC于点D），根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得：在△ABD中，AB+AD＞PB+PD；在△PCD中，PD+DC ＞PC，即可得：AB+AC＞PB+PC．【解答】解：如图，延长BP交AC于点D，在△ABD中，AB+AD＞PB+PD；在△PCD中，PD+DC＞PC，∴AB+AD+PD+DC＞PB+PD+PC，∴AB+AC＞PB+PC．【点评】此题考查了三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．解此题的关键是作辅助线，将所求线段联系起来． 5．如图，AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线．（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED 的度数；（2）在△BED 中作BD 边上的高，垂足为F ；（3）若△ABC 的面积为40，BD=5，则△BDE 中BD 边上的高为多少？【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解；（2）根据三角形高线的定义，过点E 作BD 边上的垂线段即可；（3）根据等底等高的三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，求出△BDE 的面积为10，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；【解答】解：（1）∵∠ABE=15°，∠BAD=40°，∴∠BED=∠ABE +∠BAD=15°+40°=55°；（2）如图，EF 即为△BED 边BD 上的高线；（3）∵AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线，∴S △ABD =S △ABC ，S △BDE =S △ABD ，∴S △BDE =×S △ABC =S △ABC ，∵△ABC 的面积为40，∴S=×40=10，△BDE∵BD=5，∴×5•EF=10，解得EF=4；【点评】本题考查了三角形的中线、高线，以及三角形的面积熟练掌握并利用等底等高的三角形的面积相等与等高的三角形的面积的比等于底边的比是解题的关键．6．（2017•安顺二模）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2016BC和∠A20l6CD的平分线交于点A2017，则∠A2017=°．【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A1=∠A，进而可求∠A1，由于∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A，…，以此类推可知∠A2017即可求得．【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CA=∠ACD，∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，即∠ACD=∠A1+∠ABC，∴∠A1=（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC=∠ACD，∴∠A=∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A，…，以此类推可知∠A2017=∠A=（）°，故答案为：．【点评】本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A1=∠A，并能找出规律．三角形有三条中线、三条高线、三条角平分线，它们都是线段．出门测：分数1．画△ABC中BC边上的高，下列画法中正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的高的定义：过三角形的顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高解答．【解答】解：表示△ABC中BC边上的高的是D选项．故选D．【点评】本题考查了三角形的高线，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．已知BD是△ABC的中线，AB=4，AC=3，BD=5，则△ABD的周长为（）A．12B．10.5C．10D．8.5【分析】先由BD是△ABC的中线，得出AD=AC=1.5，再根据三角形周长的定义得出△ABD的周长=AB+BD+AD，将数值代入计算即可求解．【解答】解：∵BD是△ABC的中线，∴AD=AC=1.5，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=4+5+1.5=10.5．故选B．【点评】本题考查了三角形的中线与周长，比较简单，根据中线的定义得出AD=AC=1.5是解题的关键．3．（2008春•济宁期末）如图，AD⊥BC，垂足为D，∠BAC=∠CAD，下列说法正确的是（）A．直线AD是△ABC的边BC上的高B．线段BD是△ABD的边AD上的高C．射线AC是△ABD的角平分线D．△ABC与△ACD的面积相等【分析】根据三角形里高的定义和角平分线定义，中线定义判断出正确选项即可．【解答】解：A、三角形的高是一条线段，错误；B、BD是B到AD的距离，是△ABD的边AD上的高，正确；C、三角形的角平分线是线段，错误；D、只有中线才能得到把一个三角形的面积分成相等的两部分，错误．故选B．【点评】三角形的角平分线，高线，中线都是线段；注意只有三角形的中线才能把三角形的面积分成相等的两部分．4．如图，AF是△ABC的中线，则BE=FC=BC，AE是△ABC的角平分线，则∠BAE=∠EAC=∠BAC．AD是△ABC的高，则AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°．【分析】根据三角形的中线的概念即可完成填空；根据三角形的角平分线的概念即可完成填空；根据三角形的高的概念即可完成填空．【解答】解：AF是△ABC的中线，则BF=FC=BC，AE是△ABC的角平分线，则∠BAE=∠EAC=∠BAC．AD是△ABC的高，则AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°，故答案为：BF；FC；BC；BAE；EAC；BAC；AD；BC；ADB；ADC；90．【点评】此题考查三角形的角平分线、中线、高问题，能够根据三角形的中线、角平分线和高的概念得到线段、角之间的关系．5．★★如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，三角形ABD的周长比三角形ACD 的周长小5，你能求出AC与AB的边长的差吗？【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．【分析】AD是BC边上的中线，可得BD=CD，分别求出△ABD的周长和△ACD的周长，根据三角形ABD的周长比△ACD的周长小5列方程求出．【解答】解：能．由题意知：△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD，又因为AD是BC边上的中线，所以BD=CD．∵△ABD的周长比△ACD的周长小5，∴AC+CD+AD﹣（AB+BD+AD）=AC﹣AB=5．即AC与AB的边长的差为5．【点评】本题考查三角形的周长问题，中间也出现了中线的部分，立意不错．1．★★三角形三边上的高的交点恰是三角形的一个顶点，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上三种都不是【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．【分析】锐角三角形三边上的高的交点在三角形的内部，直角三角形三边上的高的交点恰是三角形的一个顶点，钝角三角形三边上的高所在直线的交点在三角形的外部．【解答】解：A、锐角三角形三边上的高的交点在三角形的内部，不是三角形的一个顶点，错误；B、直角三角形三边上的高的交点恰是三角形的一个顶点，正确；C、钝角三角形三边上的高所在直线的交点在三角形的外部，不是三角形的一个顶点，错误；D、以上B正确，错误．故选B．【点评】熟记三角形三边上的高的特点．2．★★在△ABC中，∠B＞90°，画BC边上的高AD，正确的图形是（）A．B．C．D．【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知．【解答】解：过点A作直线BC的垂线段，即画BC边上的高AD，所以画法正确的是C．故选C．【点评】考查了三角形的高的概念，能够正确作三角形一边上的高．3．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的外角平分线，若∠DAC=20°，问∠EAC=（）A．60°B．70°C．80°D．90°【分析】根据三角形的外角性质得到∠EAC=∠B+∠ACD，求出∠EAC的度数，根据角平分线的定义求出即可．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠DAC=20°，∴∠BAC=2∠DAC=40°，∴∠B+∠ACD=140°，∴∠EAC=∠FAC=（∠B+∠ACD）=70°．故选B．【点评】本题主要考查对三角形的外角性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出∠EAC的度数是解此题的关键．4．（2013春•邢台期末）在△ABC中，已知AD是角平分线，∠B=50°，∠C=70°，∠BAD= 30°．。

三角形三线学案

（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明。
求证：DE=DF．
3.已知：AD、AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA=BD，求证：AE= AC
4.如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．
5.已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点。
2、特殊三角形中的三线
（1）等腰三角形三线合一
例3如图，已知AB＝CD，∠B＝∠C，AC和BD交于点O，E是AD的中点，连接OE.
(1)求证：△AOB≌△DOC；
(2)求∠AEO的度数。
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
变式3：已知，如图5，在△ABC中，∠BAC>90°，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证：∠FED=∠FDE。
3、全等中的三线
例4 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．
试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
变式4如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC．求证：BE=CF．
3.你在பைடு நூலகம்何书写时要注意哪些问题？
星级达标：
1．已知，如图，D是的内角与外角的平分线BD与CD的交点，过D作DE//BC，交AB于E，交AC于F。试确定EF、EB、FC的关系。

三角形的三线导学案+课后作业

4月8日4.1.3认识三角形（3）三角形的中线、角平分线与高线学习目标：1.理解三角形的中线、角平分线、高线的概念；2.会用工具准确画出三角形的角平分线、中线、高线；3.掌握三角形的中线、角平分线、高线的性质.学习重难点：相关概念、性质的运用学习过程：一、新知学习：（一）三角形的中线：1.定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线.如图：AE 是BC 边上的中线符号语言：∵AE 是△ABC 的中线∴BE ＝EC ＝21BC2.（1）在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的位置关系?（2）直角三角形和钝角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？画一画.三角形中线性质：三角形的三条交于一点，这点称为三角形的.（二）三角形的角平分线：1.定义：在三角形中，一个内角的与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的叫做三角形的角平分线.（注意：“三角形的角平分线”是一条线段）如图，AD 是△ABC 的一条角平分线符号语言∵AD 是△ABC 的角平分线.∴∠1＝∠2＝21∠BAC （或∠BAC ＝2∠1＝2∠2）2.每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个.(1)你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗?(2)你能用折纸的办法得到它们吗?(3)在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系?角平分线性质：三角形的三条交于一点.（三）三角形的高线：1.定义：从三角形的一个顶点向所在直线作垂线，___________之间的线段叫做三角形的高.如图：AF是△ABC的BC边上的高.2.锐角三角形的三条高如图，(1)你能画出这个三角形的三条高吗？(2)这三条高之间有怎样的位置关系？3.直角三角形的三条高(1)画出直角三角形的三条高,它们有怎样的位置关系？(2)AC边上的高是直角边BC边上的高是直角边AB边上的高是(3)直角三角形的三条高交于一点吗？4.钝角三角形的三条高(2)钝角三角形的三条高交于一点吗？(3)它们所在的直线交于一点吗？高线的性质：三角形的三条高交于一点.锐角三角形直角三角形钝角三角形三条高所在直线的交点位置二、例题学习例1.作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是()例2.如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．例3.在ΔABC中,CD是△ABC中线,已知BC－AC=5cm,ΔDBC的周长为25cm,求ΔADC 的周长.三、课堂小结三角形的中线、角平分线、高线的定义和性质课后作业1．如图，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，图中可以作为三角形“高”的线段有（）A．1条B．2条C．3条D．5条2．在数学课上，同学们在练习画边AC上的高时，出现下列四种图形，其中正确的是（）A．B．C．D．3．如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（）A．AD⊥BC B．∠BAD＝∠CAD C．AB＝AC D．BD＝CD4．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为22cm，AB比AC长3cm，则△ACD的周长为（）A．19cm B．22cm C．25cm D．31cm5．如图①AD是△ABC的角平分线，则∠＝∠＝∠，②AE是△ABC的中线，则＝＝，③AF是△ABC的高线，则∠＝∠＝90°．6.如图，以AD为高的三角形共有个．7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝．8．如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，G是AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD交AD于点H．①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH为△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高线，其中判断正确的有．9．我们知道，三角形三条高所在直线交于一点．规定：三角形三条高所在直线的交点叫做这个三角形的垂心．如图，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F；AD，BE，CF交于点G．（1）图中哪两个不共顶点的锐角一定相等？请写出一组：．（2）点G是△的垂心．（3）点A是△的垂心．10．△ABC中，AB：AC＝3：2，BC＝AC+1，若△ABC的中线BD把△ABC的周长分成两部分的比是8：7，求边AB，AC的长．11．如图，已知△ABC．（1）画中线AD；（2）画△ABD的高BE及△ACD的高CF．12．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°．求：（1）∠BAE的度数；（2）∠DAE的度数；（3）探究：小明认为如果条件∠B＝70°，∠C＝30°改成∠B﹣∠C＝40°，也能得出∠DAE的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．。

七年级数学下册 4 三角形课题三角形的三条重要线段导学案 (新版)北师大版

课题三角形的三条重要线段【学习目标】1．理解三角形的中线，角平分线和高的概念．2．会画出任意三角形的角平分线、中线．通过画图了解三角形三条角平分线、三条中线会交于一点．3．会画出任意三角形的三条高．通过画图了解三角形三条高的位置随三角形的形状的不同而不同，三角形的三条高或三条高所在的直线交于一点．【学习重点】三角形中线、角平分线和高的画法及相关推理．【学习难点】不同三角形高的画法．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．知识链接：三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．三角形三条中线交于一点，这一点叫做三角形的重心．学习笔记：锐角三角形的三条高在三角形的内部；直角三角形有两条与直角边重合，另一条在三角形内部；钝角三角形两条高在三角形的外部，一条在三角形内部．情景导入生成问题旧知回顾：1．三角形按角可分为__锐角三角形__、__直角三角形__、__钝角三角形__．2．三角形三边关系定理及推论的内容是什么？答：三角形两边之和大于第三边．(定理)三角形两边之差小于第三边．(推论)自学互研生成能力阅读教材P87，完成下列问题：什么是三角形的中线？它们有怎样的位置关系？答：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心．范例1.如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，若DE＝3 cm，则CD＝__6__cm.仿例1.能把三角形的面积两等分的线段是三角形的( B )A．高B．中线C．角平分线D．以上都不对仿例2.如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是__2__．阅读教材P88，完成下列问题：什么是三角形的角平分线？它们有怎样的位置关系？答：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．三角形的三条角平分线交于一点．范例2.如图，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为( A ) A．40°B．45°C．50°D．55°仿例1.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，已知∠ABC＝80°，则∠DBC＝__40°__．(范例2图)(仿例1图) (仿例2图) 仿例2.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝__50°__．阅读教材P89，完成下列问题：什么是三角形的高？它们有怎样的位置关系？答：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线．简称三角形的高，三角形三条高所在的直线交于一点．行为提示：在群学后期，教师可有意安排每组的展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．有展示、有补充、有质疑、有评价穿插其中．检测可当堂完成．范例3.(长沙中考)如图，过△ABC的顶点A作BC边上的高，以下作法正确的是( A )A B C D仿例如图所示，已知△ABC和△DEF，请你画出这两个三角形各边上的高．解：画出的各边上的高如图所示．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一三角形的中线知识模块二三角形的角平分线知识模块三三角形的高检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。

人教版八年级数学上册教案：11.1.2三角形的三线

武陟县实验中学课时教学体系——教学设计学科数学年级八年级授课教师时间9.1 课题11.1.2三角形的高、中线与角平分线计划学时1重难点三角形的高、中线、角平分线概念的简单运用及它们的几何语言表达，钝角三角形的高的画法．课标要求了解三角形的角平分线、高、中线并能在具体情境中作出它们课时目标1、了解三角形的角平分线、高、中线并能在具体情境中作出它们；2、了解三角形具有稳定性并能运用它解释一些实际问题；教法引导讲授学法自主探究、合作交流教学内容及过程一、激趣导入1.这里有一块月饼，我们要平均分成两块，怎么分？2.这里有一块三角形的蛋糕，谁能帮我把它平均分开？学完这节课你就会有很好的办法了。

二、自主学习1.阅读课本P4——P5。

2.三角形中的三线指的是哪三线？三、学习新知1、三角形的高【学生活动一】让学生动手画出一个锐角三角形的高,然后找学生描述三角形的高的画法与定义.我们会画三角形的高，谁能给三角形的高下一个定义？从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称为三角形的高.如图所示,在ΔABC中,AD⊥BC,点D是垂足,所以AD是ΔABC的一条高.引导学生注意垂直符号的书写.[过渡语]根据作图的方法，提示学生用折纸的方法作出三角形的高,动手做一做.【师生共同总结】锐角三角形的三条高相交于一点,此点在锐角三角形的内部.如图所示.【学生活动三】在纸上画出一个直角三角形或通过折纸的方法,画出它的三条高,它们有怎样的位置关系?将你的结果与同桌进行交流.[设计意图]通过同学们自己动手探索、研讨,可以使他们对直角三角形的三条高有更深刻的认识,并提高同学们的合作意识.【师生共同总结】直角三角形的三条高交于一点,即是直角三角形的直角顶点.如图所示.【学生活动四】画一个钝角三角形,让学生尝试画出它的三条高,或通过折纸的方法找到它的三条高.观察三条高,看它们有什么样的位置关系.【师生共同总结】钝角三角形的三条高中,有两条在外面,一条在内部,且它们所在直线交于一点.如图所示.[知识拓展]钝角三角形、锐角三角形、直角三角形都有三条高.锐角三角形的三条高在三角形的内部,相交于一点;直角三角形有两条高与直角边重合,另一条高在三角形内部,它们的交点是直角顶点;钝角三角形有两条高在三角形的外部,一条高在三角形内部,三条高不相交,但三条高所在的直线相交于三角形外一点.2、三角形的中线[过渡语]你能画一条线将三角形的面积平分吗?(学生思考,尝试,引出定义)下面我们就引入三角形的另一条特殊的线段——三角形的中线.思路一【学生活动一】学生们动手画图,之后同桌之间研讨,并且要同学们说出所画出的线的特点?为什么它就能把三角形分成面积相等的两部分呢?它是线段吗?【师生共同总结】三角形中线的定义:连接三角形顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线.【学生活动二】让学生任意画出一个三角形,画出这个三角形的三条中线,然后分析这三条中线的位置关系,同桌之间互相研讨.(老师可多让几名同学发言,分别指出他们画出的是什么样的三角形,这样三角形的任意性就有了)【师生共同总结】任意三角形的三条中线都交于一点,三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.[设计意图]让同学们自己得出三角形的三条中线交于一点的结论,并且在与同桌的研讨中,体验学习的乐趣与分享的快乐.思路二指导学生阅读教材第4~5页的内容,思考如下问题:(1)什么是三角形的中线?(2)三角形的中线有几条?(3)三角形的三条中线是否相交于一点?(4)什么是三角形的重心?(5)一块三角形的玻璃,利用圆规的尖脚,你能让三角形玻璃平衡在圆规上面吗?表述:如图,AD是ΔABC的边BC上的中线(已知),所以BD=DC=错误！未找到引用源。

教学设计：三角形的三线与三心导学案