高三数学上学期第一次月考试题理(13)

寿县2018屇高三第一次月考
数学试题（理科）
说明:本试卷满分150分,考试用时120分钟
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}
{}
1log ,122<=<=x x B x x A ，则B A 等于（ ）
A.{}11<<-x x
B.{}10<<x x
C.{}20<<x x
D.{}
21<<-x x 2.函数34)(-+=x e x f x
的零点所在的区间为（ ）
A.)0,41(-
B.)41,0(
C.)21,41(
D.)4
3,21(
3.已知2
1
35,3log ,4log ===c b a π，则c b a ,,的大小关系是（ ）
A.c b a <<
B.b c a <<
C.a c b <<
D.c a b << 4.设命题n n N n p 2,:2>∈∃，则p ⌝为（ ） A.n n N n 2,2>∈∀ B.n n N n 2,2≤∈∃ C.n n N n 2,2≤∈∀ D.n n N n 2,2=∈∃
5.函数)(x f 的定义域为]2,1[，则)22(-x f 的定义域为（ ）
A.]1,0[
B.]2,3[log 2
C.]3log ,1[2
D.]2,1[
6.函数1
3)(3
-=x x x f 的图象大致是（ ）
7.若命题:p 函数12+-=x a y （,0>a 且1≠a ）的图像恒过定点)2,1(，命题:q 若函数)1(-x f 为偶
函数，则函数)(x f y =的图像关于直线1=x 对称，则下列命题为真命题的是（ ） A.q p ∨ B.q p ∧ C.)(q p ⌝∧ D.)(q p ⌝∨
8.已知命题ax x x p >+∈∀5),3,2(:2是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A.),52[+∞ B.),29[+∞ C.),3
14
[
+∞ D.]52,(-∞ 9.设函数⎩
⎨⎧≥<-+=-1,21
),2(log 1)(1
2x x x x f x ，则)12(log )2(2f f +-等于( ) A.3 B.6 C.9 D.12
10.若数列{}n a 满足p p a a n
n (221
=+为正常数，*)N n ∈，则称{}n a 为等方比数列.甲：数列{}n a 为等方比
数列；乙：{}n a 为等比数列，则甲是乙的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.设函数x
x
x f +=
1)(，则使得)63()2(2->-x f x x f 成立的x 的取值范围是（ ） A.),3()2,(+∞-∞ B.)3,2( C.)2,(-∞ D.),3(+∞
12.已知函数)(x g 满足2
1
2
1)0()1()(x x g e g x g x +
-'=-，且存在实数0x 使得不等式)(120x g m ≥-成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A.]2,(-∞
B.]3,(-∞
C.),1[+∞
D.),0[+∞ 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置． 13.若函数1)(3++=x ax x f 的图像在))1(,1(f 处的切线过点)7,2(，则=a _____________. 14.=+20lg 5lg _____________.
15.若函数)(x f 定义域为R ，直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴，且1)0(=f ，则
=+)10()4(f f _____________.
16.已知函数)(x f 满足)1
(4)(x f x f =，当]1,41[∈x 时，x x f ln )(=.若在]4,4
1[上方程kx x f =)(有三
个不同的实根，则实数k 的取值范围是_____________.
三、解答题:本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分10分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且60,4565==S S . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足*)(1N n a b b n n n ∈=-+，且31=b ，求⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n b 1的前n 项和n T .
18.（本小题满分12分）
已知函数2
3
cos sin sin 3)(2
-+=x x x x f .
（Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若A 为锐角且2
3
)(=A f ，4=+c b ，求a 的
取值范围.
19．（本小题满分12分）
设函数x x k x f -⋅+=22)(为定义域为R 上的偶函数. （Ⅰ）求k 的值和不等式2
5
)(>
x f 的解集； （Ⅱ）若对于任意R x ∈，不等式6)()2(-≥x mf x f 恒成立，求实数m 的最大值.
20．（本小题满分12分）
如图, 在直三棱柱ABC C B A -111中, 4,2,1===⊥AA AC AB AC AB , D 是 BC 的中点. （Ⅰ）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值； （Ⅱ）求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值.
21.（本小题满分12分）
如图，有一块半椭圆形钢板，其半长轴长为r 2，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记x CD 2=，梯形面积为S . （Ⅰ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （Ⅱ）求面积S 的最大值.
22.（本小题满分12分）
已知函数a a ax x x g e x f x 32)(,)(22+-+==，设)()()(x g x f x h ⋅= （Ⅰ）讨论函数)(x h 的单调性； （Ⅱ）试比较)2(-x f e 与x 的大小.
数学试题（理科）参考答案
1-5 BCDCB 6-10 CDACB 11-12 AC 13.1 14.1 15.2 16.]2ln 2,4
(--e
17.(1)32+=n a n
(2)n n b n 22
+=,)2
1
1(211+-=n n b n ,812453)2111211(2122+++=+-+-+=n n n n n n T n
18.(1))3
2sin()(π
-
=x x f ,单调增区间)](12
5,
12[Z k k k ∈++-
ππ
ππ
19.(1)1=k ,2
5
2
2>+-x
x ,解集}11|{-<>x x x 或
(2)x
x x x m --+++≤2262222,令2
,22≥+=-t t x
x ,44)(≥+=t t t g ,当且仅当2=t 取最小值 4≤m ,即m 的最大值4.
20.以AB,AC,1AA 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系
(1))4,1,1(),4,0,2(11-=-=→→D C B A ,10
10
3,cos 11>=
<→
→D C B A 所以B A 1与D C 1所成角的余弦值10
10
3
(2)面1ADC 的一个法向量)1,2,2(-=→
n ，面1ABA 的一个法向量)0,2,0(=→
AC
32,cos ->=<→
→
AC n ，所以正弦值3
5
21.如图，以AB 为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，
椭圆方程1422
22=+r
x r y ，22)(2x r r x S -+=，定义域),0(r
（2）令)()()(222x r r x x g -+=，2
,0)(r
x x g =
=' 0)(),,2
(,0)(),2,0(<'∈>'∈x g r r
x x g r x
1627)2()(4max
r r g x g ==，2
332max r S =
22.（1）)2)(2()(a x a x e x h x -++='
当32
=
a 时，0)(≥'x h ，)(x h 在R 上递增； 当32
<a 时，在),2(),2,(+∞---∞a a 上增，)2,2(a a --上减。

当3
2
>a 时，在),2(),2,(+∞---∞a a 上增，在)2,2(--a a 上减。

（2）当1≤x 时，x e x e
>-2
当1>x 时，令x e x h x ln )(2-=-，01
)(,1)(222
>+=''-='--x
e x h x e
x h x x ， 所以)(x h '在),1(+∞上递增，0)(,0)1(>'<'e h h ，存在唯一0)(),,1(00='∈x h e x ，0
2
1
0x e
x =
- 当),1(0x x ∈时，0)(<'x h ，当),(0e x x ∈时，0)(>'x h
021
ln )()(0
00200>-+
=-=≥-x x x e x h x h x 所以x e x e
>-2
综上可得x e x e
>-2
（另解）x x e x ln 12≥->-。