修水县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

修水县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知一元二次不等式f （x ）＜0的解集为{x|x ＜﹣1或x ＞}，则f （10x ）＞0的解集为（ ） A ．{x|x ＜﹣1或x ＞﹣lg2} B ．{x|﹣1＜x ＜﹣lg2} C ．{x|x ＞﹣lg2} D ．{x|x ＜﹣lg2}
2． 设集合M={（x ，y ）|x 2+y 2=1，x ∈R ，y ∈R}，N={（x ，y ）|x 2﹣y=0，x ∈R ，y ∈R}，则集合M ∩N 中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
3． 函数的定义域为（ ）
A ．{x|1＜x ≤4}
B ．{x|1＜x ≤4，且x ≠2}
C ．{x|1≤x ≤4，且x ≠2}
D ．{x|x ≥4}
4． 二进制数）（210101化为十进制数的结果为（ ） A ．15 B ．21 C ．33 D ．41
5． 已知M N 、为抛物线24y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，
||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为（ ）
A ．240x y +-=
B ．240x y --=
C ．20x y +-=
D ．20x y --=
6． 对于函数f （x ），若∀a ，b ，c ∈R ，f （a ），f （b ），f （c ）为某一三角形的三边长，则称f （x ）为“可
构造三角形函数”，已知函数f （x ）=是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（ ）
A ． C ． D ．
7． 设,,a b c R ∈，且a b >，则（ ） A ．ac bc > B ．
11
a b
< C ．22a b > D ．33a b > 8． 已知函数f （x ）=x 2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则a 的取值范围（ ）
A ．[1，+∞）
B ．[0.2}
C ．[1，2]
D ．（﹣∞，2]
9． 如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A 射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将
次到第次反射点之间的线
段记为
，
，将线段
竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）
A
B
C
D
10．半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）
A．πR3B．πR3C．πR3D．πR3
11．为了得到函数y=sin3x的图象，可以将函数y=sin（3x+）的图象（）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
12．函数f（x）=Asin（ωx+θ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（）的值为（）
A
． B ．0 C
． D
．
二、填空题
13．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （﹣
2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程
是 ．
14．在△ABC
中，已知=2，b=2a ，那么cosB 的值是 ．
15．要使关于x 的不等式2
064x ax ≤++≤恰好只有一个解，则a =_________. 【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力. 16．
17．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．
17．已知实数x ，y 满足2330220y x y x y ≤⎧⎪
--≤⎨⎪+-≥⎩
，目标函数3z x y a =++的最大值为4，则a =______．
【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 18．已知=1﹣bi ，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则|a ﹣bi|= ．
三、解答题
19．已知f （x ）=log 3（1+x ）﹣log 3（1﹣x ）． （1）判断函数f （x ）的奇偶性，并加以证明； （2）已知函数g （x ）
=log ，当x ∈[，
]时，不等式 f （x ）≥g （x ）有解，求k 的取值范围．
20．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114
n n n n
a a a a ++-=+.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）求数列11n n a a +⎧
⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和n S ．
21．求下列曲线的标准方程：
（1
）与椭圆
+
=1有相同的焦点，直线
y=x 为一条渐近线．求双曲线C 的方程．
（2）焦点在直线3x ﹣4y ﹣12=0 的抛物线的标准方程．
22．记函数f （x ）=log 2（2x ﹣3）的定义域为集合M ，函数g （x ）=的定义域为集合N ．求：
（Ⅰ）集合M ，N ；
（Ⅱ）集合M ∩N ，∁R （M ∪N ）．
23．（本题满分15分）
已知函数c bx ax x f ++=2
)(，当1≤x 时，1)(≤x f 恒成立．
（1）若1=a ，c b =，求实数b 的取值范围；
（2）若a bx cx x g +-=2
)(，当1≤x 时，求)(x g 的最大值．
【命题意图】本题考查函数单调性与最值，分段函数，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力．
24．（本小题满分12分）
某校高二奥赛班N 名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如下，已知分数在100-110的学生 数有21人.
（1）求总人数N 和分数在110-115分的人数； （2）现准备从分数在110-115的名学生（女生占
1
3
）中任选3人，求其中恰好含有一名女生的概率； （3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学生提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩 （满分150分），物理成绩y 进行分析，下面是该生7次考试的成绩.
已知该生的物理成绩y 与数学成绩是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理 成绩大约是多少？
附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ……(,)n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分 别为：^
1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i u u v v u u β==--=
-∑∑，^^
a v u β=-.
修水县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：由题意可知f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，
故可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，
由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10x＞﹣1，
而10x＜可化为10x＜，即10x＜10﹣lg2，
由指数函数的单调性可知：x＜﹣lg2
故选：D
2．【答案】B
【解析】解：根据题意，M∩N={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}∩{（x，y）|x2﹣y=0，x∈R，y∈R}═{（x，y）
|}
将x2﹣y=0代入x2+y2=1，
得y2+y﹣1=0，△=5＞0，
所以方程组有两组解，
因此集合M∩N中元素的个数为2个，
故选B．
【点评】本题既是交集运算，又是函数图形求交点个数问题
3．【答案】B
【解析】解：要使函数有意义，只须，
即，
解得1＜x≤4且x≠2，
∴函数f（x）的定义域为{x|1＜x≤4且x≠2}．
故选B
4．【答案】B
【解析】
试题分析：()21212121101010
242=⨯+⨯+⨯=，故选B.
考点：进位制 5． 【答案】D
【解析】解析：本题考查抛物线的焦半径公式的应用与“中点弦”问题的解法．
设1122(,)(,)M x y N x y 、，那么12||||210MF NF x x +=++=，128x x +=，∴线段MN 的中点坐标为(4,2).
由2114y x =，2224y x =两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，
而1222y y +=，∴12
12
1y y x x -=-，∴直线MN 的方程为24y x -=-，即20x y --=，选D ． 6． 【答案】D
【解析】解：由题意可得f （a ）+f （b ）＞f （c ）对于∀a ，b ，c ∈R 都恒成立，
由于f （x ）=
=1+
，
①当t ﹣1=0，f （x ）=1，此时，f （a ），f （b ），f （c ）都为1，构成一个等边三角形的三边长， 满足条件．
②当t ﹣1＞0，f （x ）在R 上是减函数，1＜f （a ）＜1+t ﹣1=t ， 同理1＜f （b ）＜t ，1＜f （c ）＜t ，
由f （a ）+f （b ）＞f （c ），可得 2≥t ，解得1＜t ≤2． ③当t ﹣1＜0，f （x ）在R 上是增函数，t ＜f （a ）＜1， 同理t ＜f （b ）＜1，t ＜f （c ）＜1，
由f （a ）+f （b ）＞f （c ），可得 2t ≥1，解得1＞t ≥．
综上可得，
≤t ≤2，
故实数t 的取值范围是[，2]，
故选D ．
【点评】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．
7． 【答案】D 【
解
析
】
考点：不等式的恒等变换.
8．【答案】C
【解析】解：f（x）=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，对称轴为x=1．
所以当x=1时，函数的最小值为2．
当x=0时，f（0）=3．
由f（x）=3得x2﹣2x+3=3，即x2﹣2x=0，解得x=0或x=2．
∴要使函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则1≤a≤2．
故选C．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法是解决二次函数的基本方法．
9．【答案】C
【解析】根据题意有：
A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）；A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；
E的坐标为（4，3，12）
（1）l1长度计算
所以：l1=|AE|==13。

（2）l2长度计算
将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：
A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；
显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称。

设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（x E2，y E2，24）
根据相识三角形易知：
x E2=2x E=2×4=8，
y E2=2y E=2×3=6，
即：E2（8，6，24）
根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内。

10．【答案】A
【解析】解：2πr=πR，所以r=，则h=，所以V=
故选A
11．【答案】A
【解析】解：由于函数y=sin（3x+）=sin[3（x+）]的图象向右平移个单位，
即可得到y=sin[3（x+﹣）]=sin3x的图象，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象平移变换，属于中档题．
12．【答案】C
【解析】解：由图象可得A=，=﹣（﹣），解得T=π，ω==2．
再由五点法作图可得2×（﹣）+θ=﹣π，解得：θ=﹣，
故f（x）=sin（2x﹣），
故f（）=sin（﹣）=sin=，
故选：C．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+θ）的部分图象求函数的解析式，属于中档题．二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：已知∴∴为所求；
故答案为：
【点评】本题主要考查椭圆的标准方程．属基础题．
14．【答案】．
【解析】解：∵=2，由正弦定理可得：，即c=2a．
b=2a，
∴==．
∴cosB=．
故答案为：．
【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．【答案】±.
【解析】分析题意得，问题等价于264
++≤只有一解，
x ax
x ax
++≤只有一解，即220
∴280
∆=-=⇒=±，故填：±.
a a
16．【答案】
【解析】解：∵f（x）=a x g（x）（a＞0且a≠1），
∴=a x，
又∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），
∴（）′=＞0，
∴=a x是增函数，
∴a＞1，
∵+=．
∴a1+a﹣1=，解得a=或a=2．
综上得a=2．
∴数列{}为{2n}．
∵数列{}的前n项和大于62，
∴2+22+23+ (2)
==2n+1﹣2＞62，
即2
n+1
＞64=26
，
∴n+1＞6，解得n ＞5．
∴n 的最小值为6． 故答案为：6．
【点评】本题考查等比数列的前n 项和公式的应用，巧妙地把指数函数、导数、数列融合在一起，是一道好题．
17．【答案】3-
【解析】作出可行域如图所示：作直线0l ：30x y +=，再作一组平行于0l 的直线l ：3x y z a +=-，当直线
l 经过点5(,2)3M 时，3z a x y -=+取得最大值，∴max 5()3273
z a -=⨯+=，所以max 74z a =+=，故
3a =-．
18．【答案】 ．
【解析】解：∵=1﹣bi ，∴a=（1+i ）（1﹣bi ）=1+b+（1﹣b ）i ，
∴
，解得b=1，a=2．
∴|a ﹣bi|=|2﹣i|=．
故答案为：
．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）f （x ）=log 3（1+x ）﹣log 3（1﹣x ）为奇函数．
理由：1+x ＞0且1﹣x ＞0，得定义域为（﹣1，1），（2分） 又f （﹣x ）=log 3（1﹣x ）﹣log 3（1+x ）=﹣f （x ）， 则f （x ）是奇函数. （2）g （x ）=log
=2log 3
，（5分）
又﹣1＜x ＜1，k ＞0，（6分） 由f （x ）≥g （x ）得log 3≥log 3
，
即
≥
，（8分）
即k 2≥1﹣x 2，（9分）
x ∈[，]时，1﹣x 2最小值为，（10分）
则k 2
≥，（11分）
又k ＞0，则k ≥，
即k 的取值范围是（﹣∞
，
].
【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和证明，考查不等式有解的条件，注意运用对数函数的单调性，考查运算化简能力，属于中档题．
20．【答案】（本小题满分12分） 解： （Ⅰ）由114n n n n
a a a a ++-=
+得22
14n n
a a +-=，∴{}2n a 是等差数列，公差为4，首项为4， （3分） ∴244(1)4n a n n =+-=，由0n a >
得n a =． （6分）
（Ⅱ）∵
111
2
n n a a +==+， （9分）
∴数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和为
1111
1)(11)2222
n
++++=． （12分） 21．【答案】
【解析】解：（1）由椭圆
+
=1，得a 2=8，b 2=4，
∴c 2=a 2﹣b 2
=4，则焦点坐标为F （2，0），
∵直线y=x 为双曲线的一条渐近线，
∴
设双曲线方程为（λ＞0），
即
，则λ+3λ=4，λ=1．
∴
双曲线方程为：；
（2）由3x ﹣4y ﹣12=0
，得
，
∴直线在两坐标轴上的截距分别为（4，0），（0，﹣3）， ∴分别以（4，0），（0，﹣3）为焦点的抛物线方程为：
y 2=16x 或x 2=﹣12y ．
【点评】本题考查椭圆方程和抛物线方程的求法，对于（1
）的求解，设出以直线为一条渐近线的双
曲线方程是关键，是中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）由2x ﹣3＞0 得 x ＞，∴M={x|x ＞}．
由（x ﹣3）（x ﹣1）＞0 得 x ＜1 或x ＞3，∴N={x|x ＜1，或 x ＞3}． （2）M ∩N=（3，+∞），M ∪N={x|x ＜1，或 x ＞3}， ∴C R （M ∪N ）=．
【点评】本题主要考查求函数的定义域，两个集合的交集、并集、补集的定义和运算，属于基础题．
23．【答案】
【解析】（1）]0,222[-；（2）2.
（1）由1=a 且c b =，得4
)2()(2
22
b b b x b bx x x f -++=++=，
当1=x 时，11)1(≤++=b b f ，得01≤≤-b ，…………3分
故)(x f 的对称轴]21,0[2∈-=b x ，当1≤x 时，2
min max ()()1
24
()(1)11
b b f x f b f x f ⎧=-=-≥-⎪⎨⎪=-=≤⎩
，………… 5分 解得222222+≤≤-b ，综上，实数b 的取值范围为]0,222[-；…………7分
112≤+=，…………13分
且当2a =，0b =，1c =-时，若1≤x ，则112)(2
≤-=x x f 恒成立， 且当0=x 时，2)(2
+-=x x g 取到最大值2．)(x g 的最大值为2.…………15分
24．【答案】（1）60N =，6n =；（2）8
15
P =；（3）115. 【解析】
试
题解析：
（1）分数在100-110内的学生的频率为1(0.040.03)50.35P =+⨯=，所以该班总人数为21
600.35
N =
=， 分数在110-115内的学生的频率为21(0.010.040.050.040.030.01)50.1P =-+++++⨯=，分数在110-115内的人数600.16n =⨯=.
（2）由题意分数在110-115内有6名学生，其中女生有2名，设男生为1234,,,A A A A ，女生为12,B B ，从6名学生中选出3人的基本事件为：12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，23(,)A
A ，24(,)A A ，21(,)A
B ，22(,)A B ，34(,)A A ，31(,)A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，12(,)B B 共15个.
其中恰 好含有一名女生的基本事件为11(,)A B ，12(,)A B ，22(,)A B ，
21(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，
42(,)A B ，共8个，所以所求的概率为815
P =
. （3）1217178812
1001007
x --+-++=+
=；
6984416
1001007
y --+-+++=+=；
由于与y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到
^497
0.5994
b ==，^1000.510050a =-⨯=，
∴线性回归方程为0.550y x =+，
∴当130x =时，115y =.1
考点：1.古典概型；2.频率分布直方图；3.线性回归方程.
【易错点睛】本题主要考查古典概型，频率分布直方图，线性回归方程,数据处理和计算能力.求线性回归方程,关键在于正确求出系数,a b ,一定要将题目中所给数据与公式中的,,a b c 相对应,再进一步求解.在求解过程中,由于,a b 的计算量大,计算时应仔细谨慎,分层进行,避免因计算而产生错误,特别是回归直线方程中一次项系数为,b 常数项为这与一次函数的习惯表示不同.。