2002年考研数学三真题

⎧e −( x −θ ) , ⎪ ⎪ ⎩0, 若x ≥ θ , 若x < θ
而 X1, X 2 ,
（5）设总体 X 的概率密度为 f ( x;θ ) = ⎨
, X n 是来自总体 X
的简单随机样本，则未知参数 θ 的矩估计量为______ 【答】
1 n ∑ X i −1 n i =1
【详解】因为 E ( X ) = 所以，由 E ( X ) = X =
x x z
【详解 2】 在 xe − ye = ze 两边微分,得
e x dx + xe x dx − e y dy − ye y dy = e z dz + ze z dz ,
故
(1 + x)e x dx − (1 + y )e y dy dz = . (1 + z )e z
由 u = f ( x, y, z ), 得
x →ξ
(C) 对 f (a ) = f (b) 时,存在 ξ ∈ (a, b) ,使 f '(ξ ) = 0 (D) 存在. ξ ∈ (a, b) ,使 【答】 [ B] 【详解】 由题设, f ( x) 在 ξ (ξ ∈ ( a, b) 处可导,从而连续, 故有 lim[ f ( x) − f (ξ )] = 0. 应选(B).
= −2 1 − x arcsin x + 2∫ 1 − x = −2 1 − x arcsin x + 2 x + C.
六、设 D1 是由抛物线 y = 2 x 2 和 x = a, x = 2 及 y = 0 所围成的平面区域；D2 是由抛物线
y = 2 x 2 和直线 y = 0, x = a 所围成的平面区域，其中 0 < a < 2.
（1） 试求 D1 绕 x 轴旋转而成的旋转体体积 V1 ; D2 绕 y 轴旋转而成的旋转体体积 V2 ; （2） 问当 a 为何值时， V1 + V2 取得最大值？试求此最大值. 【详解】 （1）
4π ( 32 − a5 ) ; π 5 2 a2 y V2 = π a 2 ⋅ 2a 2 − π ∫ dy = 2π a 4 − π a 4 = π a 4 . 0 2
1
P
0.15
0.5
0.35
且
X2
0
1
P
0.4
0.6
Y2
0
1
P
0.5
0.5
X 2Y 2
0
1
P
0.72
0.28
从而 E X Y
(
2
2
) = 0.28, E ( X ) = 0.69, E (Y ) = 0.5,
2 2
故 cos X , Y
(
2
2
)− E(X
2
, Y 2 ) E ( X 2 )(Y 2 ) = 0.28 − 0.3 = −0.02.
2
2
9 1 =5= , 9 5
故幂级数
2 an x n 的收敛半径为，故应选[ A]. ∑ 2 b n =1 n
（3） 设 A 是 m × n 矩阵， B 是 n × m ，则线性方程组 ( AB ) x = 0 （A）当 n > m 时仅有零解. （C）当时 m > n 仅有零解 【答】 [ D] （B）当时 n > m 必有非零解. （D）当时 m > n 必有非零解
du = f x' dx + f y' dy + f z' dz ,
故
du = ( f x' + f z'
x + 1 x− z y + 1 y−z e )dx( f y' + f z' e )dy. z +1 z +1
五 、 （本题满分 8 分） 设 f (sin x) =
2
x x ,求∫ f ( x)dx sin x 1− x
【详解 1】
lim
x →0
∫
x
0
[ ∫ arctan(1 + t )dt ]du
0
u2
x(1 − cos x)
= 2 lim
x →0
∫
x
0
[ ∫ arctan(1 + t )dt ]du
0
u2
x3
= 2 lim
x →0
∫
x2
0
arctan(1 + t )dt 3x 2
= 2 lim
2 arctan(1 + x 2 ) x →0 6x
4
y
1
1
【答】
∫
1 2 0
dx ∫ 2 f ( x, y )dy
x
x
【详解】 积分区域 D = D1 + D2 , 其中
1 ⎧ D1 = ⎨( x, y ) | 0 ≤ y ≤ , y ≤ x ≤ 4 ⎩
⎫ y ⎬, ⎭
1 1 1⎫ ⎧ D2 = ⎨( x, y ) | ≤ y ≤ , y ≤ x ≤ ⎬ 4 2 2⎭ ⎩
x y z
Fx' = ( x + 1)e x , Fy' = −( y + 1)e y , Fz' = −( z + 1)e z .
故
F' F' x + 1 x − z ∂z y + 1 y−z ∂z =− x = e , =− y = e ， F 'z z + 1 F 'z z + 1 ∂x ∂y
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2002 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析
一、
填空题 （1）设常数 a ≠
1 n − 2na + 1 n ] = , 则 lim ln[ n →∞ n(1 − 2a ) 2
.
【答】
1 1 − 2a
n →∞
1 1 n (1− 2 a ) i 1 n − 2na + 1 n 1− 2 a ] = e1− 2 a ] = lim[1 + n →∞ n(1 − 2a) n(1 − 2a )
a＝________ 【答】 -1 【详解】 由题设，存在 k，使得 Αα
= kα ，即
⎡ 1 2 −2 ⎤ ⎡a⎤ ⎢2 1 2 ⎥ = k ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3 0 4 ⎣ ⎦ ⎣1⎥ ⎦ ⎧a + 2 − 2 = ka, ⎪ 即 ⎨ 2a + 1 + 2 = k , 可得 a = −1, k = 1. ⎪3a + 4 = k , ⎩
于是 D 也可以表示为 D = ⎨( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 故
⎧ ⎩
1 2 ⎫ , x ≤ y ≤ x⎬. 2 ⎭
∫
1 4 0
dy ∫
y y
f ( x, y )dx + ∫12 dy ∫ 2 f ( x, y )dx = ∫ 2 dx ∫ 2 f ( x, y )dy.
4
y
1
1
1
x
0
x
⎡ 1 2 −2 ⎤ T ⎢ ⎥ （3）设三阶矩阵 A = 2 1 2 ,三维向量 α = ( a,1,1) . 已知 Αα 与 α 线性相关， ⎢ ⎥ ⎢ ⎣3 0 4 ⎥ ⎦
【详解】 AB 为 m × m 矩阵，当 m > n 时，有 r ( AB ) ≤ r ( A ) ≤ n < m 对应 ( AB ) x = 0 有非零解，故应选[ D] .（4）设 A 是 n 阶实对称矩阵， P 是 n 阶可逆矩阵.已知 n 维列向量 α 是 A 的属于特征值
λ 的特征向量，则矩阵 ( P −1 AP ) 属于特征值 λ 的特征向量是
2
【详解】 令 u = sin x , ，则有
sin x = u , x = arcsin u , f ( x) =
arcsin x , .于是 x
∫
x arcsin x f ( x)dx = ∫ dx 1− x 1− x
= −∫
arcsin x d (1 − x) = −2∫ arcsin xd 1 − x 1− x 1 d x 1− x
ห้องสมุดไป่ตู้
1 − cos x + x sin x
= lim
2 x arctan(1 + x 2 ) 1 = 2 lim arctan(1 + x 2 ) lim x → 0 sin x + sin x + x cos x x →0 x → 0 2sin x + cos x x
π 1 π = 2i i = 4 3 6
T
量是 P
T
α.
（5） 设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布，则 （A）X+Y 都服从正态分布 （C） X 和 Y 都服从 χ 分布.
2 2 2
（B） X + Y 都服从 χ 分布.
2 2 2
X2 （D） 2 服从 F 分布. Y
【答】
[ C]
【详解】 由于 X、Y 不一定相互独立,故（A） 、 （B） 、(D)不一定成立，只有（C）为正确 选项.
而
∂u ∂z x + 1 x− z = f x' + f z' = f x' + f z' e , z +1 ∂y ∂x ∂u ∂z y + 1 y−z = f y' + f z' = f y' + f z' e , z +1 ∂y ∂y
所以
du =
∂u ∂u x + 1 x− z y + 1 y−z dx + dy = ( f x' + f z' e )dx + ( f y' + f z' e )dy. z +1 z +1 ∂x ∂y
x →ξ
f (b) − f (a) = f '(ξ )(b − a).
（2） 设幂级数 敛半径为
∑ an x n 和 ∑ bn x n 的收敛半径分别为
n =1 n =1
n
n
n a2 n 5 1 与 ，则幂级数 ∑ n x 的收 2 3 3 n =1 bn
( A) 5.
【答】 [ A]
( B)
5 . 3
∫
+∞
0
xe
− ( x −θ )
dx = θ + 1,
1 n 1 n , 1 X 即 θ + = ∑ i ∑ Xi, n i =1 n i =1 1 n ∑ X i − 1. n i =1
得参数 θ 的矩估计量为 θ =
二、选择题 （1）设函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上有定义,在开区间 ( a, b) 上可导,则 (A) 当 f ( a ) f (b) < 0 时,存在 ξ ∈ ( a, b), 使f (ξ ) = 0. (B) 对任何 ξ ∈ (a, b) ,有 lim[ f ( x ) − f (ξ )] = 0.
T
( A) P −1α
【答】 [ B]
( B ) PTα
T
( C ) Pα
T
( D ) ( P −1 ) α
T
【详解】 由已知 Aα = λα , 于是 P Aα = λ P
α , P T A ( P −1 ) α = λ P T α ,
T
又由于 A = A, 有 P AP
T
(
−1
)
T
P T α = λ P T α , 可见矩阵 ( P −1 AP ) 属于特征值 λ 的特征向
2 π π = i = . 3 4 6
四 、 （本题满分 8 分） 设函数 u = f ( x, y, z ) 有连续偏导数,且 z = z ( x, y ) 由方程 xe − ye = ze 所确定,
x y z
求 du 【详解 1】 设 F ( x, y, z ) = xe − ye − ze , 则
三 、 （本题满分 8 分）
求极限 lim
x →0
∫
x
0
[ ∫ arctan(1 + t )dt ]du
0
u2
x(1 − cos x)
x
【详解 1】
∫ lim
x →0
0
[ ∫ arctan(1 + t )dt ]du
0
u2
x(1 − cos x)
∫ = lim
x →0
x
0
arctan(1 + t )dt
(C )
1 . 3
( D)
1 5
【详解】 由题设，有 lim
n →∞
an +1 b 3 , lim n +1 = 3, = an 5 n→∞ bn
⎡ an +1 ⎤ ⎢b ⎥ 于是 lim ⎢ n +1 ⎥ = lim n →∞ n →∞ ⎢ bn ⎥ ⎢ ⎣ an ⎥ ⎦
n
2
an +1 an bn +1 bn
V1 = π ∫ ( 2 x 2 ) dx =
2 2
（2 ）设 V = V1 + V2 = 一驻点 a = 1.
4π 32 − a 5 ) + π a 4 . 由 V ′ = 4π a 3 (1 − a ) = 0. 得区间 ( 0, 2 ) 内的惟 ( 5
当 0 < a < 1 时， V ′ > 0; 当 a < 1 时， V ′ < 0 。因此 a = 1. 是极大值点即是最大值点 此时 V1 + V2 取得最大值，等于
【详解】 因为 lim[
1 n − 2na + 1 n 1 1− 2 a 所以 lim ln[ ] = ln e = n →∞ n(1 − 2a ) 1 − 2a
（2）交换积分次序：
∫
1 4 0
dy ∫
y y
f ( x, y )dx + ∫12 dy ∫ 2 f ( x, y )dx = ___________.
故所求 a 为－1. （4） 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为
P X
Y
−1 0.07
0.08
0 0.18
0.32
1 0.15
0.20
0 1
则 X 和 Y 的斜方差 cos X , Y 【答】 －0.02 【详解】 由题设，有 X
2
2
(
2
2
) = __________
0
1
P
0.4
0.6
X
−1
0