《不等式》基础过关测试卷

【分析】
利用基本不等式求出 m 的最小值，一次函数的性质判断 n 的最大值，然后比较大小即
可．
【详解】
因为 a＞0，
∴m＝ a2 a 1 ＝a+ 1 ﹣1≥2 a 1 ﹣1＝1
a
a
a
当且仅当 a＝1 时去等号，
∵x＜0，
∴n＝x+1＜1；
∴m＞n；
故选：A．
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，函数的单调性的应用，考查基本知识的理解与应用．
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，即可得到结论.
【详解】
解：作出 x ， y 满足 y 2 x ，且 x 1，对应的平面区域如图：
由 z 2x y 得 y 2x z
平移直线 y 2x z ，
由图象可知当直线 y 2x z 经过点 A 时，直线的截距最小，此时 z 最小，
条件，根据单调性即可得出结果. 【详解】
解： Sn 2an 2 ，可得 a1 S1 2a1 2 ，即 a1 2 ，
n 2 时， Sn1 2an1 2 ，又 Sn 2an 2 ，
相减可得 an Sn Sn﹣1 2an 2an﹣1 ，即 an 2an1 ，
an 是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列．
y
y
m
0
值为（ ）
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A．2 【答案】A 【解析】 【分析】
B． 1 2
C．10
D． 1 10
根据条件中确定的两个不等式，可以确定出 y ≥ 0 ，所以第三个不等式 y y m 0
可以转化为 y m ，画出可行域，然后对目标函数进行化简，得到 z 取最大值时的最优 解，得到关于 m 的方程，得到答案.
【详解】
∵a，b 为正数，且 1 1 1； ab
∴a+b＝ab；
9 4 9(b 1) 4(a 1) 9b 4a 13 9b 4a 13 a 1 b 1 (a 1)(b 1) ab (a b) 1
∵9b+4a＝（9b+4a）×1
＝（9b+4a）×（ 1 1 ） ab
9b 4a 13 ab 2 9b 4a 13 25 ab
由
x
y
2 1
x
，解得
A
1,
3
，此时
z
2
1
3
5
，则
2x
y
的最小值
为： 5 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题.
10．已知数列an 的前 n 项和为 Sn ， Sn 2an 2 ，若存在两项 am ， an ，使得
aman
64 ，则
1 m
9 n
D． 17 2
作出不等式组所对应的可行域，由直线 y 2x 2 和 2x y 4 0 平行，可知 MN 的
最小值就是两平行线间的距离，求解即可. 【详解】
2x y 4 0
作出不等式组
x
y
2
0
所对应的可行域，如下图，
y 3 0
2x y 4 0
因为点 M 的坐标 x, y 满足不等式组 x y 2 0 ， N 为直线 y 2x 2 上任一
【详解】
先由
2 2
x x
y y
0 0
画可行域，发现
y
≥
0
，所以
y
y
m
0
可得到
y
m
，且
m
为正
数.
画出可行域为 AOB （含边界）区域.
z 3x y ，转化为 y 3x z ，是斜率为 3 的一簇平行线， z 表示在 y 轴的截距，
由图可知在 A 点时截距最大，
解
y y
2x m
得
x y
x 故选： B
【点睛】
本题考查基本不等式取等条件的确定问题，关键是明确可利用基本不等式求解函数最
值.
6．若 m＞n＞0，a＝ em en , b 1 em en , c e mn ，则（ ） 2
A．b＞a＞c
B．a＞c＞b
C．c＞b＞a
D．b＞c＞a
【答案】A
【解析】
【分析】
根据 m＞n＞0 即可得出 m n mn ，从而可得出 a＞c，然后可得出 2
y 1
由
y
x
，解得
1
A（2，1），
代入目标函数 z＝2x+y 得 z＝2×2+1＝5．
即目标函数 z＝2x+y 的最大值为 5．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是
解决此类问题的基本方法．
3．已知
a
3
1.4 2
，
b
1.7
3 2
，
c
1.72
，则（
因为
y
1 m
9 n
1 m
6
9 m
，在
0,
3 2
上单调递减，在
(3 2
,
)
上单调递增，所以当
m 2 ， n 4 时， 1 9 取得最小值为 11 ．
mn
4
故选：B.
【点睛】
本题考查数列的通项公式的求法，运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，考
查基本不等式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．
根式和分数指数幂的转化，考查了计算能力，属于基础题．
2x y 4 0
7．已知点
M
的坐标
x,
y
满足不等式组
x
y
2
0
， N 为直线 y 2x 2 上任
y 3 0
一点，则 MN 的最小值是（ ）
试卷第 4 页，总 19 页
A． 5 5
【答案】B 【解析】 【分析】
B． 2 5 5
C．1
y 3 0
点，
所以 MN 的最小值就是两条平行直线 y 2x 2 与 2x y 4 0 之间的距离，为
2 4 2 5 . 22 12 5
故选：B. 【点睛】 本题考查线性规划，考查数形结合方法的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
2x y 0
8．实数 x ， y 满足不等式组 2x y 0 ，若 z 3x y 的最大值为 5，则正数 m 的
x 22x 3≥0，
解得 x≤﹣2 或 x≥ 3 ， 2
所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[ 3 ，+∞）． 2
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是简单题．
y 1
2．若
x，y
满足
x
y
1 ，则 2x+y 的最大值为（
）
y x 1
A．2
B．5
C．6
【答案】B
D．7
1 em en em en ，这样即可得出 a，b，c 的大小关系．
2
【详解】
∵m＞n＞0，
∴ m n 2 mn ，
∴ m n mn ， 2
∴a
emn
mn
e 2
e
mn
c，
又 b 1 em en em en a ， 2
∴b＞a＞c．
故选：A．
【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，清楚基本不等式中等号成立的条件，指数式的运算法则，
所以 an 2n ．
aman 64 ，即 2m 2n 64 ，
得mn 6，
所以
1 m
9 n
1 6
m
n
1 m
9 n
1 6
10
n m
9m n
1 6
10
2
n m
9m n
1 16 8 ，
6
3
当且仅当 n 9m 时取等号，即为 m 3 ， n 9 ．
mn
2
2
因为 m ， n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则 1 9 8 ， mn 3
3 2
1.72
，即 b
c
因此， c b a ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了幂函数、指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．已知 m＝ a2 a 1 （a＞0），n＝x+1（x＜0），则 m、n 之间的大小关系是（ ） a
A．m＞n
B．m＜n
C．m＝n
D．m≤n
【答案】A
【解析】
当且仅当 9b 4a 时取等号． ab
9 4 9b 4a 13 12 a 1 b 1
故选：B． 【点睛】
本题考查了基本不等式，考查了学生的分析能力，计算能力，转化能力，属于中档题．
12．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道 袍、卦摊、中医到气功、武术等等，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其
2020-2021 学年度高中数学 8 月月考卷
一、单选题 1．一元二次不等式 2x2+x﹣6≥0 的解集为（ ）
A．
(,
2]
3 2
,
B．
,
3 2
[2,
)
C．
2,
3 2
【答案】A 【解析】 【分析】
D．
3 2
,
2
一元二次不等式化为 x 22x 3 ≥0，求出解集即可．
【详解】
一元二次不等式 2x2+x﹣6≥0 可化为
形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，
x2 y2 4
阴影部分可表示为
{ x,
y|
x2
y
12
1或
x
2
y
12
1 } ，设点（x，y）
x0
∈ ，则 z＝2x+y 的取值范围是（ ）
A．[1 5, 2 5] B．[2 5, 2 5] C．[2 5,1 5] D．[4,1 5]
m 2 m
，即
A
m 2
,
m
，

此时
zmax
3m 2
m
5
，解得 m
2
故选 A 项.
【点睛】 本题考查线性规划中已知目标函数最大值求参数，属于简单题.
9．若 x ， y 满足叫 y 2 x ，且 x 1，则 2x y 的最小值为（ ）
A． 7 【答案】B 【解析】
B． 5
C．1
D． 4
试卷第 6 页，总 19 页
|1 z | 可得： 5 ≤1，解得 1﹣ 5 ≤z≤1+ 5 ，
z＝2x+y 的最大值为：1+ 5 ．
当下移与圆 x2+y2＝4 相切时，2x+ y 取最小值，
| z |
同理
≤2，即 z 的最小值为：﹣2
5
5，
所以 z∈[﹣2 5 ，1+ 5 ]．
故选：C． 【点睛】 本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的 能力
5．已知 x 1，则当 x 4 取得最小值时， x 的值为( )
x
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据基本不等式的取等条件可求得结果.
【详解】
试卷第 3 页，总 19 页
x 4 2 x 4 4 （当且仅当 x 4 ，即 x 2 时取等号）
x
x
x
当 x 4 取得最小值时， x 2
的最小值为（
A． 14 5
B． 11 4
【答案】B
）
C． 8 3
D． 10 3
【解析】
【分析】
运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得 an 2n ．求得 m n 6 ，
1 m
9 n
1 6
m
n
1 m
9 n
1 6
10
n m
9m n
，运用基本不等式，检验等号成立的
试卷第 7 页，总 19 页
二、填空题
试卷第 10 页，总 19 页
x y 5 13．已知实数 x ， y 满足 2x y 1 0 ，则 z 3x y 的最小值为______.
x 2 y 2 0
【答案】1
【解析】
【分析】
根据约束条件画出可行域，利用简单线性规划求解.即可.
【详解】
x y 5 画出约束条件 2x y 1 0 的可行域，如图所示，
）
A． a c b
B． c b a
C． a b c
【答案】B
【解析】
D． b c a
【分析】
利用幂函数、指数函数的单调性即可得出．
【详解】
根据幂函数的性质，可知
y
3
x2
单调递减，所以1.4
3 2
1.7
3 2
，即
a
b
；
试卷第 2 页，总 19 页
根据指数函数的性质，可得
y
1.7x
单调递增，所以1.7
11．已知正数 a、b 满足 1 + 1
＝1，则
9
4
+
的最小值是（
）
ab
a 1 b 1
A．6
B．12
C．24
D．36
【答案】B
【解析】
【分析】
试卷第 8 页，总 19 页
根据题意可以将 1 1 ＝1 转化成 a+b＝ab，再将 9 4 通分转化即可得到 9b+4a
ab
a 1 b 1
﹣13，最后利用基本不等式求出 9b+4a 的最小值即可．
试卷第 9 页，总 19 页
【答案】C 【解析】 【分析】 结合图形，平移直线 z＝2x+y，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值；当下移与
圆 x2+y2＝4 相切时， 2 x+y 取最小值；分别求出对应的 z 值即可．
【详解】 由题意可知：z＝2x+y 与 x2+（y﹣1）2＝1 相切时，切点在上方时取得最大值，如图：
x 2 y 2 0
由图可知，当目标函数过点 C 0,1 时， zmin 1
故答案为：1
【点睛】 本题考查简单线性规划，属于较易题.
14．若
x
0
，
y
0
，且
xy
3
，则
1 x
3 y
的最小值为_____.
【答案】 2
【解析】 【分析】 由已知结合基本不等式即可直接求解最值. 【详解】
x 0 ， y 0 ，且 xy 3 ，则 1 3 2 1 3 2 ， x y xy
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．
【详解】
试卷第 1 页，总 19 页
y 1 作出 x，y 满足 x y 1 对应的平面区域如图：（阴影部分）．
y x 1
由 z＝2x+y 得 y＝﹣2x+z， 平移直线 y＝﹣2x+z， 由图象可知当直线 y＝﹣2x+z 经过点 A 时，直线 y＝﹣2x+z 的截距最大， 此时 z 最大．