Equal-Width波方程的高精度守恒差分格式

收稿日期：2021-05-22
基金项目：福建省中青年教师教育科研项目资助(JAT190368);福建省自然科学基金(2020J01796)作者简介：钟瑞华(1998-),女,福建省龙岩市人,硕士生．*通信作者.E-mail ：*********************
Equal-Width 波方程的高精度守恒差分格式
钟瑞华,程宏*，何育宇
（闽南师范大学数学与统计学院,福建漳州363000）
摘
要：对Equal-Width 波方程提出一个三层线性高精度守恒差分格式.所建格式满足质量守恒和能量守恒,在
时间和空间上分别为二阶和四阶精度.用离散能量法证明了所建差分格式的收敛性和稳定性.数值实验表明该格式是有效的和可靠的.
关键词：Equal-Width 波方程;差分格式;守恒性;收敛性;稳定性中图分类号：O241.82
文献标志码：A
文章编号：2095-7122（2021）02-0029-07
A conservative difference scheme with high-order accuracy for the Equal-Width wave equation
ZHONG Ruihua,CHENG Hong *,HE Yuyu
（School of Mathematics and Statistics,Minnan Normal University,Zhangzhou,Fujian 363000,China ）Abstract:A three-level high-order accuracy conservative difference scheme for solving the nonlinear Equal-Width wave equation is proposed.The scheme is conservative for the discrete energy,and has second-order accuracy in time and fourth-order in space.The convergence and stability of the scheme are proved by the discrete energy method.The numerical experiment shows that the proposed scheme is efficient and reliable.
Key words:Equal-Width wave equation;finite difference scheme;conservation;convergence;stability
第34卷第2期2021年6月
闽南师范大学学报（自然科学版）
Journal of Minnan Normal University （Natural Science ）
Vol.34Ｎｏ．2Jun.2021
1984年，Morrison 等[1]提出了Equal-Width 波方程，该方程多应用于模拟一维波在具有色散过程的非线性介质中的传播.随后,许多人对该方程进行了大量的研究.Gardner 等[2]用三次B-样条有限元方法模拟了电子束发射过程中孤立波的迁移和相互作用.Zaki [3]用Petrov-Galerkin 方法求解修正的Equal-Width 方程,并使用五次B-样条有限元模型模拟孤子的产生、运动和孤立波的相互作用.Abdulkadir [4]采用线性Galarkin 有限元方法对Equal-Width 波方程进行了研究.Rui [5]利用平面动力系统分支理论方法研究了Equal-Width 波方程的孤波解和周期解.
本文考虑如下Equal-Width 波方程的初边值问题
u t +uu x -μu xxt =0, 0<t ≤T , α≤x ≤β,
(1)u (x ,0)=u 0(x ), α≤x ≤β,
(2)
u (α,0)=0, u (β,0)=0, 0<t ≤T ,(3)
其中μ是给定的正常数.可以验证,式(1)-式(3)具有如下守恒律
闽南师范大学学报（自然科学版）2021年
Q (t ) =
∫α
β
u (x ,t )d x =∫α
β
u 0
(x ,0)d x =Q (0),
(4)E (t )= u 2
L [α,β]+μ
u x
2
L [α,β]
=E (0).
(5)
首先建立式(1)-式(3)的三层线性差分格式,在时间上和空间上分别达到二阶和四阶精度,并证明所建立的差分格式的守恒性、收敛性和稳定性,数值结果验证了理论分析的可靠性.
1差分格式的构造
对求解区域[α,β]×[0,T ]进行网格剖分,取空间步长h =(β-α)/J ,时间步长τ=T /N ,其中J 、N 为正整数,记网格点x j =α+jh (0≤j ≤J ),t n =nτ (0≤n ≤N ).记
Z 0h ={}u =(u j )|u -1=u 0=u 1=u J -1=u J =u J +1=0, -1≤j ≤J +1.对任意u n 、v n ∈Z 0
h ,定义如下记号[6]：
(u n
j
)x =u n j +1-u n j h , (u n j )x =u n j +2-u n j -24h , (u n
j )x =u n j +1-u n
j -12h
,
(u n j )t =u n +1j -u n -1j 2τ, u ˉn
j =u n +1j +u n -1
j 2, (u n j )x ˉ=
u n j -u n j -1h ,u n
,v n
=h ∑j =1
J -1u n j v n j , ||u n ||2=u n ,u n , ||u n ||∞=max 1≤j ≤J -1
|u n
j |.对式(1)-式(3)考虑如下差分格式：
(u n j )t +
43φ1(u n j ,u ˉn j )-13φ2(u n j ,u ˉn j )-μéëêùû
ú43(u n j )xx
ˉt -13(u n j )x x t =0, 1≤j ≤J -1, 1≤n ≤N -1,(6)u 0j =g (x j ), 0≤j ≤J ,
(7)u n 0=0, u n
J =0, 0≤n ≤N ,
(8)
其中
φ1(u n j ,u ˉn j )=
13[]
u n j (u ˉn j )x +(u n j u ˉn j )x , φ2(u n
j ,u ˉn j )=13
[]u n j (u ˉn
j )x +(u n j u ˉn j )x ,式(6)-式(8)可展开为一个五对角矩阵的线性方程组,可用“追赶法”求解.
由于式(6)-式(8)是三层线性隐式格式,所以需要下面的两层格式来计算u 1
(u 0
j
)t +43φ1(u 0j ,u 12
j )-13φ2(u 0j ,u 1
2j )-μéëêùûú43(u 0j )xx ˉt -13(u 0j )x x t =0, 1≤j ≤J -1,其中u 12j
=
12
(u 1
j +u 0j ).2差分格式的守恒性
引理1[7]对任意的u n 、v n ∈Z 0
h ,则
u n x ˉ,v n =-u n ,v n x , u n x ,v n =-u n ,v n x , u n xx ˉ,v n =u n x ,v n x , u n x ,v n
=-u n ,v n x .
当u n =v n 时,有
u n x ,u n =0, u n x ,u n =0, u n xx ˉ,u n =-||u n x ||2, u n x x ,u n =-||u n x ||2
.
引理2[7]对任意的u n ∈Z 0h ,则φ1(u ,u ˉ),u ˉ=0, φ2(u ,u ˉ),u ˉ=0.引理3[7]对任意的u n ∈Z 0
h ,则有||u x ||2≤ ||u x ||2≤ ||u x ||2.
30
钟瑞华等：Equal-Width 波方程的高精度守恒差分格式
第2期引理4[7](离散Sobolev 不等式)对任意的u n ∈Z 0
h ,存在两个正常数a 和b ,使得
||u n ||∞≤a||u n ||+b||u n x ||.
定理1设u 0∈H 20[α,β], u (x ,t )∈C 6,3x ,t [α,β],则式(6)-式(8)满足质量守恒和能量守恒,即
Q n
=h 2∑j =1J -1(u n +1j +u n j )+29hτ∑j =1J -1u n j (u n +1j )x -118hτ∑j =1
J -1
u n j (u n +1
j
)x =Q n -1=⋯=Q 0,E n =
12()||u n +1||2+||u n ||2+2μ3()||u n +1x ||2+||u n x ||2-μ6
()||u n +1x ||2+||u n x ||2
=E
n -1=⋯=E 0.证明将式(6)两端同时乘以h 后对j 从1到J -1求和,根据边界条件,得
h 2τ∑j =1J -1()u n +1j -u n -1j +2h 9∑j =1J -1éëêùûúu n j ()u n +1j x -u n -1j ()u n j x -h 18∑j =1J -1éë
êùûúu n j ()u n +1j x -u n -1
j ()u n j x =0,(9)
即
h 2∑j =1J -1()u n +1j +u n j +29hτ∑j =1J -1u n j ()u n +1j x -118hτ∑j =1
J -1
u n j ()u n +1j
x =h 2∑j =1J -1()u n j +u n -1j +29hτ∑j =1J -1u n -1j ()u n j x -118hτ∑j =1
J -1
u n -1j ()u n j x .由Q n 的定义,对上式的n 递推即可得Q n =Q n -1=⋯=Q 0.
将式(9)与2u
ˉn 作内积,由引理1可得
u n
2
t +
4μ3()||u n x ||2t -μ3()||u n x ||2
t +43φ1()u n ,u ˉn ,2u ˉn -13
φ2()u n ,u ˉn ,2u ˉn =0.由引理2,有||u n ||2t +4μ3()||u n x ||2t -μ3
()||u n x ||2
t =0,即 12()||u n +1||2+||u n ||2+2μ3()||u n +1x ||2+||u n x ||2-μ6
()||u n +1x ||2+||u n x ||2
 =12()||u n ||2+||u n -1||2+2μ3()||u n x ||2+||u n -1x ||2-μ6
()||u n x ||2
+||u n -1x ||2.(10)
由E n 的定义,对式(10)的n 递推即可得E n =E n -1=⋯=E 0.
3差分格式解的存在唯一性和有界性
定理2式(6)-式(8)的解u n 是唯一存在的.证明u 0由式(7)确定,用C -N 格式计算u 1,则u 0和u 1是唯一确定的.设u 0,u 1,⋯,u n (n ≤N -1)是唯一
可解的,考虑式(4)中的u n +1,我们有
12τu n +1j +29éëêùûúu n j ()u n +1j x +()u n j u n +1j x -118éëêùûúu n j ()u n +1j x +()u n j u n +1
j
x -2μ3τ()u n +1j xx ˉ+μ6τ
()u n +1j x x =0.(11)
将式(11)与u n +1作内积,又由引理2和引理3得
0=
12τ||u n +1||2+2μ3τ||u n +1x ||2-μ6τ||u n +1x ||2≥12τ||u n +1||2
+μ2τ
||u n +1x ||2≥0,即||u n +1||=0,从而差分格式是唯一可解的.
定理3设u 0∈H 20[]α,β,则式(6)-式(8)的解满足||u n ||≤C , ||u n x ||≤C , ||u n
||∞≤C .证明由引理3和定理1,可得
()||u n +1||2
+||u n ||2+μ()||u n +1x ||2+||u n x ||2
n ,
31
其中
2E n =()||u n +1||2+||u n ||2+
4μ3()||u n +1x ||2+||u n x ||2-μ3
()||u n +1x ||2
x ||2=⋯=2E 0
,
由于μ是正常数,即||u n ||≤C , ||u n x ||≤C , 根据引理4,有 ||u n
||∞≤C .
4差分格式解的收敛性与稳定性
引理5[7](离散Gronwall 不等式)假设{}G n /n ≥0是非负数列,且满足
G 0
≤A , G n
≤A +Bk ∑i =0
n -1G i , n =1,2,…,
其中A 和B 均为非负数,则G n =A e Bnk , n =0,1,2,….定理4设u 0∈H 20[]α,β, u ()x ,t ∈C 6,3[α,β],式(6)-(8)的解u n 依L ∞范数收敛到式(1)-式(3)的精确解,并且收敛阶为O ()τ2+h 4.
证明令e n =U n -u n ,则式(6)-式(8)的截断误差为
r n j =()e n j t
+43[]φ1()U n j ,U ˉn j -φ1()u n j ,u ˉn j -13[]
φ2()U n j ,U ˉn j -φ2
()u n j ,u ˉn j -43μ()e n j xx ˉt +13
μ()e n j x x t ,1≤j ≤J -1, 1≤n ≤N -1,
(12)
e 0j =0, 0≤j ≤J ,
e n 0=0, e n
J =0, 0≤n ≤N .
由Taylor 展开可得max j ,n
|r n j | ≤C ()τ2+h 4
,其中正常数C 不依赖于τ和h .将式(12)与2e
ˉn 作内积,由引理1得r n ,2e ˉn =||e n ||2t +
43μ||e n x ||2t -13μ||e n x ||2t +43
φ1()U n ,U ˉn -φ1()u n ,u ˉn ,2e ˉn -13
φ2()U n ,U ˉn -φ1()u n ,u ˉn ,2e ˉn .(13)
根据引理3及定理3,可得
r n j ,2e
ˉn ≤ ||r n ||2+1
2
()||e n +1||2+||e n -1||2.(14)
同时,有
43
φ1()U n ,U
ˉn -φ1()u n ,u ˉn ,2e ˉn =83h ∑j =1
J -1
{
}
13éëêùûúU n j ()U ˉn j x +()U n j U ˉn j x -13éëêùû
úu n j ()u ˉn j x +()u n j u ˉn
j x e ˉn =89h ∑j =1J -1
U n j ()e ˉn j x e ˉn j +89h ∑j =1J -1
e n j ()u ˉn j x e ˉn j -89h ∑j =1J -1
U n j ()e ˉn j x e ˉn j -8
9h ∑j =1
J -1
e n j ()e ˉn j x u ˉn j ≤C ()||e ˉn ||2+||e n ||2+||e ˉn x ||2
.
(15)
同理,有
-13
φ2()U n ,U ˉn -φ1()u n ,u ˉn ,2e ˉn ≤C ()||e ˉn ||2+||e n ||2+||e ˉn x ||2.(16)
将式(14)-式(16)代入式(13),可得
闽南师范大学学报（自然科学版）2021年
32
||e n ||2t +
43μ||e n x ||2t -13μ||e n x ||2
t ≤C ()||e n +1||2+||e n -1||2+||e n ||2+||e n +1x ||2+||e n -1x ||2+||r n ||2.(17)
令
A n = ||e n +1||2+||e n ||2+
43μ()||e n +1x ||2+||e n x ||2-13
μ()||e n +1x ||2+||e n x ||2,将式(17)从1到n 累加,有
A n
≤A 0
+Cτ∑i =0
n +1()||e i ||2
+||e i x
||2
+2τ∑i =1
n
||r i ||2.
(18)其中τ,C 是正常数,根据A n 的定义和引理3,有c 0()||e n ||2+||e n +1||2+||e n x ||2+||e n +1x ||2≤ ||e n ||2+||e n +1||2+μ()||e n x ||2
+||e n +1x
||2≤A n ,(19)其中c 0=min(1,μ).由式(18)-式(19)得
||e n ||2
+||e
n +1||2
+||e n x
||2
+||e
n +1x
||2≤Cτ∑i =0
n +1()||e i ||2
+||e i x
||2
+Cτ∑i =1
n ||r i ||2.
(20)
令G n
=||e n ||2
+||e
n +1||2
+||e n x
||2+||e
n +1x ||2,则式(20)可以写成G n
≤Cτ∑i =0
n
G i
+Cτ∑i =1
n
||r i ||2,其中
Cτ∑i =1
n
||r i ||2≤Cnτmax 1≤i ≤n
||r i ||2≤CT ()τ2+h 42
.从而
G n
≤Cτ∑i =0
n
G i +C ()τ2+h 42
.
(21)
式(21)可以写成
()1-CτG n
≤Cτ∑i =0
n -1G i +C ()τ2+h 42
.
对于τ足够小,即1-Cτ>0,有
G n
≤Cτ∑i =0
n -1G i +C ()τ2+h 42
.
根据引理5,得
G n ≤C ()τ2+h 42
e CT ≤C ()τ2+h 42
,
即有||e n ||≤C ()τ2+h 4, ||e n x ||≤C ()τ2+h 4.由引理4,可得||e n ||∞≤C ()τ2+h 4
.定理得证.
5数值实验
为验证式(6)-式(8)的守恒性和稳定性,选取以下模型问题[8]：u t +uu x -μu xxt =0,(22)
初始条件为
u 0()x =3γsech 2(
)
1/
4μ()x -x 0,
(23)
已知式(22)-式(23)的精确解为
u ()x ,t =3γsech 2[
]
1/
4μ()x -x 0-γt .
(24)
设
||e n ||∞=||U n -u n ||∞=max 1≤j ≤J -1
|U n j -u n
j |,其中U n j =u ()x j ,t n 为精确解,u n j 为式(6)-式(8)的数值解,定义时间和空间的收敛阶为
Order 1=log 2()||e n ()τ,h ||∞/||e n ()τ/2,h ||∞, O rder 2=log 2()||e n ()τ,h ||∞/||e n ()τ/4,h /2||∞.
钟瑞华等：Equal-Width 波方程的高精度守恒差分格式
第2期33
数值解U
数值解U
图1h =0.1, τ=1(左)和h =0.05, τ=1(右)时不同时刻的数值解
Fig.1Numerical solution at different times with h =0.1, τ=1(left)and h =0.05, τ=1(right)
取γ = 0.1, μ = 1, α = -20, β = 30, T = 1, x 0 =10，分别取h =0.1, τ=1和h =0.05, τ=1
对式(6)-式(8)进行计算,不同时刻的数值解分别见图1(左)和图1(右).表1验证了格式在时间上具有二阶收敛精度,表2验证了格式在空间上具有四阶收敛精度,表3验证了格式的质量和能量守恒性.以上结果表明所建立的差分格式(6)-式(8)是可靠和有效的.
表1h =0.05和T =1时的误差和时间收敛阶
Tab.1Errors and temporal convergence orders with h =0.05and T =1
步长τ=0.25τ=0.125τ=0.0625τ=0.03125
误差||e n ||∞1.2093E-063.0153E-077.5284E-081.8811E-08
收敛阶Order 1
—2.0037602.0018782.000734
步长h =0.5h =0.25h =0.125h =0.0625
误差||e n ||∞1.3651E-039.1912E-055.8429E-063.6669E-07
收敛阶Order 1
—3.8926143.9755013.994058
表2τ=h 2和T =40时的误差和空间收敛阶
Tab.2Errors and spatial convergence orders with τ=h 2and T =40
表3h =0.25和h =0.5时,不同T 下的守恒量
Tab.3The conserved quantities at different T with h =0.25and h =0.5
时间/T 1102030
h =0.25 τ=h 2
能量/E n
0.3195272430562650.3195262990414230.3195239246269690.319521275624080
质量/Q n
1.2000031173455941.2000031104029521.2000030816906351.200003000086333
h =0.5 τ=h 2
能量/E n
0.3181488639547210.3181396393760100.3181132029445680.318079521237931
质量/Q n
1.2000498884225871.2000498794754341.2000498421672201.200049736095559
闽南师范大学学报（自然科学版）2021年
34
参考文献：
[1]MORRISON P J,MEISS J D,GAREY J R.Scattering of RLW solitary waves[J].Physica D Nonlinear Phenomena,1984,
11(3):324-336.
[2]GARDNER L R T,GARDNER G A.Solitary waves of the equal width wave equation[J].1992,101(1):218-223.[3]ZAKI S I.Solitary wave interactions for the modified equal width equation[J].Computer Physics Communications,2000,
126(3):219-231.
[4]ABDULKADIRD.ApplicationofGalerkin'smethodtotheEqual-Widthwaveequation[J].AppliedMathematicsandComputation,
2003,160(1):65-76.
[5]RUI W G.Exact traveling wave solutions and dynamic simulations of wave for the Equal-Width wave equation[J].Journal of
Southwest University for Nationalities,2006,32(5):851-857.
[6]何育宇,王晓峰,陆东.Korteweg-de Vries 方程的守恒紧致有限差分格式[J].闽南师范大学学报(自然科学版),2020,33(2):
17-21.
[7]AHLEM G,KHALED O.New conservative difference schemes with fourth-order accuracy for some model equation for nonlinear
dispersive waves[J].Numer Methods Part Differ Equ,2018,34(2):451-500.
[8]ABDUL G,SIRAJUL H.An efficient numerical scheme for the study of Equal-Width equation[J].Results in Physics,2018,
9(9):1411-1416.
[责任编辑：钟国翔]
钟瑞华等：Equal-Width 波方程的高精度守恒差分格式
第2期35。