2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷(十九)数学

2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷（十九）
数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数
3
2
13
i
z
i
-+
=+
+
则复数z在复平面内对应的点在（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限【答案】A
【解析】
【分析】
将z整理成z a bi
=+的形式,从而可求复数在复平面内对应的点.
【详解】复数
()()
()()
313
3
222
131313
i i
i
z i
i i i
-+-
-+
=+=+=+
++-
,则复数z在复平面内对应的点
()
2,1在第一象限.
故选:A
【点睛】本题考查了复数的运算,考查了复数的几何意义.
2.设集合{}{
}
2
|3,|4P x x Q x x =>=>,则下列结论正确的是（ ） A. Q P ⊆
B. P Q ⊆
C. P Q =
D.
P Q R =
【答案】B 【解析】 【分析】
分别解出2
3,4x x >>,即可判断两个集合的关系.
【详解】解:集合{|}{33|P x x x x ＝
＞＝＜﹣或3}x ＞,2{|}{42|Q x x x x ＝＞＝＜﹣或2}x ＞ P Q ∴⊆
故选:B.
【点睛】本题考查了绝对值不等式,考查了二次不等式,考查了集合的关系.判断集合关系前,一般需要对已知集合进行化简,通过解方程、解不等式、画图像等进一步明确元素. 3.若2
24,2
()3,63
a b log c log ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a b c ＜＜ B. a c b ＜＜
C. c b a ＜＜
D. b c a ＜＜
【答案】B 【解析】 【分析】
判断a 与1的大小关系,由46c log log ＝＝,,1b c 的大小关系,从而可选出正确答案.
【详解】解:由已知可得4
19
a =
<,2log 31b =>,46c log log ＝＝
222log 2log log 3<<, 1c b ∴<<.即b c a >>.
故选:B.
【点睛】本题考查了对数的运算,考查了对数函数的性质.两个对数型的数比较大小时,若底数一样,则构造对数函数,通过单调性判断;若真数一样,则可画对数函数的图像来比较;若底数和真数
都不相同,则通过比较中间值来比较两数的大小. 4.若,x y 满足约束条件026
36x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，
则2z x y =+的最大值为（ ）
A. 10
B. 8
C. 5
D. 3
【答案】D 【解析】 【分析】
画出可行域,将2z x y =+化为122z
y x =-+,通过平移12
y x =-即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值.
【详解】解:由约束条件026
36x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩
作出可行域如图,
化目标函数2z x y +＝为直线方程的斜截式,122
z
y x =-+.由图可知 当直线122
z
y x =-+过()3,0A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3. 故选:D.
【点睛】本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为y ax bz =+ 的形式,在可行域内通过平移y ax =找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.
5.“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体.在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱拱与拱之间垫的方形木块叫斗.如图所示，是“散斗”（又名“三才升”）的三视图（三视图中的单位：分米），现计划用一块长方体的海南黄花梨木料加工成该散斗，则长方体木料的最小体积为（ ）立方分米.
A. 40
B. 85
3
C. 30
D.
73
3
【答案】A
【解析】
【分析】
由三视图还原出几何体,即可分析最小长方体的长宽高,从而可求出长方体的体积. 【详解】由三视图还原,原几何体如图,
要加工成如图所示散斗,则长方体木料长的最小值为4,宽的最小值为4,高的最小值为5
2
，
则长方体木料的最小体积为
5
4440
2
⨯⨯=立方分米.
故选:A.
【点睛】本题考查了由三视图还原几何体,考查了几何体体积的求法.本题的关键在于对最小体积的理解.难点则为由三视图还原出几何体.
6.不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为（）
A.
3
14
B.
3
7
C.
6
7
D.
13
28
【答案】B 【解析】【分析】
先求出基本事件的总数28C ,再求出满足要求的基本事件的个数11
62m C C =,则由古典概型可求概率.
【详解】解:由题意知,本题中基本事件总数2
828n C ==,
取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球包含的基本事件个数:
11
6212m C C ==.
则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为123
287
m P n ===. 故选:B.
【点睛】本题考查了古典概型.求古典概型时,需要求出试验总的基本事件个数,以及满足要求的基本事件个数.常用的方法有列举法、排列组合法.在运用列举法时,通过明确写出每一个基本事件,从而得到数量,进行求解,有些题目这样做可能用时较长;有的问题我们可以结合排列组合的思想去求基本事件的个数,这样往往能提高做题速度.
7.已知F 是抛物线2:8C y x ＝的焦点，M 是C 上一点，MF 的延长线交y 轴于点N .若
2MF FN =，则MF 的值为（ ）
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
【答案】A 【解析】 【分析】
由抛物线的标准方程,可求出焦点()2,0F .由2MF FN =可知1
3
NF MN =
,从而3326MA OF ⨯＝＝＝,继而可求出MF .
【详解】解:由抛物线的方程可得焦点()2,0F ,准线方程为:2x =-.作MA 垂直于y 轴交于A 因为2MF FN =,所以可得F 为线段MN 的三等分点,即1
3
NF MN =. 由NFO NMA ∆∆,所以1
3
OF MA =,即3326MA OF ⨯＝＝＝,所以628MF =+=
故选:A.
【点睛】本题考查了抛物线的标准方程,考查了抛物线的定义.对于抛物线中焦点弦问题,在求长时,首先考虑抛物线的定义,其次才是联立抛物线与焦点弦直线方程,代入弦长公式进行求解.本题的关键是长度的转化.
8.某函数的部分图象如下图，则下列函数中可以作为该函数的解析式的是（ ）
A. sin 2sin 2x
x
y e =
B. cos2cos 2x
x
y e =
C. cos2cos 2x
x y e
=
D.
cos cos x
x y e
=
【答案】C 【解析】 【分析】
利用函数图象判断奇偶性，排除选项A ，根据周期性，排除选项D ，利用x ∈R 时，()f x 的值恒大于等于0，排除B ，则答案可求.
【详解】根据函数()f x 的部分图象，可得该函数的图象关于y 轴对称，故该函数为偶函数， 而A 中的函数sin 2sin 2x
x
y e
=
为奇函数，故排除A ；再根据图像可知()f x 的最小正周期4T <，而cos cos x
x y e
=
的最小正周期是2π，大于4，故排除D ；又当x ∈R 时， ()f x 的值恒大于等于0，
故排除B.
所以C 选项是正确的.
【点睛】本题考查函数图象的判断，根据函数的基本性质和赋值法排除选项是常用方法，属中档题.
9.如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度（如图），铁塔AB 垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部B 在同一水平面上选择,C D 两观测点，且在,C D 两
点测得塔顶的仰角分别为45,30并测得120BCD ∠=，,C D 两地相距600m ，则铁塔AB 的
高度是（ ）
A. 300m
B. 600m
C. 3003
D. 3m
【答案】B 【解析】 【分析】
设AB x =,则,3BC AB x BD x =＝＝,在BCD ∆中,结合余弦定理可列关于x 的方程,求出
后即可得到AB 的长.
【详解】解:设AB x =,由图利用直角三角形的性质可得:,3BC AB x BD x =＝＝.
在BCD ∆中,由余弦定理可得:22236002600120x x xcos +⨯＝﹣ 化为:23001800000x x ﹣﹣＝,解得600x ＝. 故选:B .
【点睛】本题考查了解三角形.已知两角及一角的对边,常利用正弦定理解三角形;已知两边及其夹角或者三边,常利用余弦定理解三角形.
10.已知函数()22f x cosx sinx sin x +＝,给出下列三个命题： ①函数()f x 的图象关于直线4
x π
=
对称；
②函数()f x 在区间44ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦，上单调递增； ③函数()f x 的最小正周期为π. 其中真命题的个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】B 【解析】 【分析】 讨
论
x
的取值范围,去掉绝对值号,从而得到
()30,2,222,2sin 2,2,222x k k f x k Z x x k k ππππππππ⎧⎡⎤
∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦
=∈⎨⎡⎫
⎪∈-++⎪⎢⎪⎣⎭⎩,结合图象即可判断三种命题的正确与否.
【详解】解:()32cos sin sin 2,2,222222cos sin sin 2,2,222x x x x k k f x cosx sinx sin x x x x x k k ππππππππ
⎧⎡⎤-+∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦
+=⎨
⎡⎫⎪+∈-++⎪⎢⎪⎣⎭⎩＝ 30,2,222,2sin 2,2,222x k k k Z x x k k ππππππππ⎧⎡⎤
∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦=∈⎨⎡⎫
⎪∈-++⎪⎢⎪⎣⎭⎩
,其大致图象如图所示
①()f x 的图象不关于直线4
x π
=
对称,即①错误;
②()f x 在区间44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，上单调递增,即②正确;③()f x 的最小正周期为2π,即③错误. 故选:B.
【点睛】本题考查了分段函数,考查了三角函数的性质.对于含有绝对值的函数,在研究其性质时,通常讨论自变量的取值范围,将绝对值号去掉,从而得到分段函数.对于分段函数,最常用的方法就是画图像研究性质.本题使用了数形结合的数学思想.关键是去掉绝对值号.
11.已知ABC ∆是由具有公共直角边的两块直角三角板（Rt ACD ∆与Rt BCD ∆）组成的三角形，如图所示.其中，45CAD ∠＝,60BCD ∠＝，现将Rt ACD ∆绕斜边AC 旋转至1D AC
∆
处（1D 不在平面ABC 上）.若M 为BC 的中点，则在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角θ( )
A. (0,45)θ∈
B. (0,45]θ∈
C. (0,60]θ∈
D.
(0,60)θ∈
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意分析出1AD 与AP 落在同一个轴截面上时，1PAD ∠取得最大值为60,但取不到60.进而可求出θ的取值范围.
【详解】解:作//AP DM ,1AD 可以看成以AC 为轴线，以45为平面角的圆锥的母线.
由题意知1AD 与AP 落在同一个轴截面上时，1PAD ∠取得最大值 则1PAD ∠的最大值为451560︒︒+=， 此时，1D ∈平面ABC .
1D 不在平面ABC 上,()10,60PAD ∴∠∈.
∴在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角()
0,60θ∈.
故选:D.
【点睛】本题考查了线线所成角.本题的难点在于分析出线线所成角上下限.对学生的空间想象能力有一定的要求.
12.设符号{}min x y z ，，表示,,x y z 中的最小者，已知函数()2
2{||,}2,f x min x
x x +＝﹣则下列结论正确的是（ ） A. [)()()0,,2x f x f x ∀∈+∞-> B. [)()()1,,2x f x f x ∀∈+∞-> C. ()()(),x R f f x f x ∀∈≤ D. ()()(),x R f
f x f x ∀∈>
【答案】C 【解析】 【分析】
分别画出2
2,,2y x y x y x =-==+的图象，分别判断四个选项，结合图象即可选出正确选项.
【详解】解:如图所示:由题意可得A 中，[]()2,0,1()2,1,x x f x x x ⎧∈⎪
=⎨-∈+∞⎪⎩
.
B 中，当12x ≤≤时，
120x ≤≤﹣﹣，()()()222f x f x x f x --≤-＝＝. 当23x ≤＜时，021x -≤＜，()()22f x x f x -≤-=.
当34x ≤＜时，122x <-≤，()()()22242f x x x x f x -=--=-≤-=. 当4,22x x ≤-≥，恒有()()2f x f x -<，所以B 不正确，A 也不正确；
C 中，从图象上看，[)()0,,x f x x ∈+∞≤.令()t f x =，则0t ≥
所以()f t t ≤，即()()()f f x f x ≤，故C 正确，D 不正确.
故选:C.
【点睛】本题考查了函数图象的应用，考查了分段函数.本题关键是分别画出三个函数的图象.在画()y f x = 的函数图象时，一般地，先画出()y f x = 的图象，再将x 轴下方的图象向
上翻折即可.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
13.函数ln y x x =+在点()1,1处的切线方程为_____． 【答案】210x y --= 【解析】 【分析】
根据导数，先求得切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方程. 【详解】函数ln y x x =+
则1'1y x
=+
由导数几何意义可知112k =+=
根据点斜式可得直线方程为()121y x -=⨯- 化简可得210x y --= 故答案为：210x y --=
【点睛】本题考查了导数的几何意义，过曲线上一点的切线方程求法，属于基础题. 14.已知向量,a b 满足2,1a b ==，若()()
a a
b b a b ⋅++⋅-的最大值为1，则向量,a b 的夹角θ的最小值为__________，2a b +的取值范围为__________． 【答案】 (1). 23
π
(2). []0,2 【解析】
分析：由题意()()
1a a b b a b ⋅++⋅-≤，求得23πθπ≤≤，所以θ的最小值为23
π，再利用向量的模的计算公式，即可求解.
详解：由题意2,1a b ==，则()()
22
234cos 1a a b b a b a a b b θ⋅++⋅-=+⋅-=+≤， 解得11cos 2θ-≤≤-
，所以23πθπ≤≤，所以θ的最小值为23
π
，
所以[]222
|2|4488cos 0,4a b a a b b θ+=+⋅+=+∈，所以[]20,2a b +∈.
点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积
的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．
15.飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀.某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为4
5
，则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是_____ 【答案】
124
125
【解析】 【分析】
先求出该选手没有一轮拿到优秀成绩的概率0
3
03
4155C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即可求出至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率.
【详解】解:由题意知，该选手没有一轮拿到优秀成绩的概率为0
3
03
4155C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是：
03
03
41124
155125
P C ⎛⎫⎛⎫=-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为:
124
125
. 【点睛】本题考查了独立事件的概率计算.利用对立事件的概率之和为1，可以减少本题的计算量.
16.已知双曲线C 的方程为2
2
18
y x -=，右焦点为F ，若点()0,6N ，M 是双曲线C 的左支
上一点，则FMN ∆周长的最小值为_____
【答案】2 【解析】 【分析】
求出左右焦点的坐标()()3,0,'3,0F F -，从而可求NF ==长最小转化为求'MN MF +的最小值.当P 在左支上运动到,,'M N F 共线时'
MN MF +
取得最小值'NF =.
【详解】解：双曲线的标准方程为2
2
18
y x -=，设双曲线的左焦点为'F ，
由双曲线C 可得()()3,0,'3,0F F -
，NF ==，
FMN ∆
周长为MN MF NF MN MF ++=++
由双曲线的定义可得'22MF MF a -==，即有'2MN MF MN MF +=++. 当P
左支上运动到,,'M N F 共线时，'MN MF +
取得最小值'NF =则有FMN ∆
周长的最小值为22+=. 故答案为:
2.
【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，考查了双曲线的几何意义.对于圆锥曲线中的三角形问题时，常根据椭圆、双曲线的定义，结合正弦定理、余弦定理对三角形进行求解.本题的难点是将三角形周长最小值问题转化成两条线段之和最小.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.
17.已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =，数列{}n b 满足：2124b b ==，当3n ≥，n *∈N 时，()1122...222n n n a b a b a b n b +++=-+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令*n
n n
a c n N
b =
∈，，证明：12...2n c c c +++<. 【答案】（1）n a n =;2n
n b =;(2)证明见解析.
【解析】 【分析】
（1）用1a 和d 将已知22a =，36S a =表示出来即可求出首项公差,从而可求通项公式；由
()1122...222n n n a b a b a b n b +++=-+可得()1122111...242n n n a b a b a b n b ---+++=-+，两
式相减进行整理可求出{}n b 的通项公式.
（2）用错位相减法求出{}n c 的前n 项和212 (222)
n n n
T =
+
++，即可证明不等式. 【详解】解：（1）数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =
设数列的首项为1a ，公差为d ，则：1112335a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得：11
1a d =⎧⎨=⎩
，
所以()11n a n n =+-=.因为()1122...222n n n a b a b a b n b +++=-+① 所以当2,n n N *
≥∈ 时，()1122111...242n n n a b a b a b n b ---+++=-+.②
①﹣②得：()()12224n n n n a b n b n b -=---，由于n a n =，整理得1
2n
n b b -=（常数）. 所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列.所以1
222n n n b -=⨯=.
证明：（2）由（1）得2n n n n a n
c b =
=.所以212 (222)
n n n T =+++①， 故
231112 (2222)
n n n
T +=+++②①﹣②得： 23111111111122 (112222222212)
n n n n n n n n n T ++⎛⎫- ⎪⎝⎭
=++++-==---.所以
112222
n n n n
T -=--<.即12...2n c c c +++<.
【点睛】本题考查了等差数列通项公式，考查了由递推数列求通项公式，考查了错位相减法.对于等差数列求通项公式时，常用的方法为基本量法，即用首项和公差表示出已知条件，从而求出首项和公差.本题的易错在于错位相减时的计算上，常算错数，或者最后忘记系数化1. 18.如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知P A ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝
π
2
，P A ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1，点M 、E 分别是P A 、PD 的中点
(1)求证：CE //平面BMD
(2)点Q 为线段BP 中点，求直线P A 与平面CEQ 所成角的余弦值. 【答案】(1)见解析；（2）5
cos 3
θ=. 【解析】 【分析】
(1) 连接ME ，通过对边关系得到四边形BCEM 为平行四边形，所以CE BM ，进而得到线面平行；（2）建立坐标系，进而得到直线PA 的方向向量，和面的法向量，进而得到线面角. 【详解】（1）连接ME ，因为点,M E 分别是,PA PD 的中点，所以1
,2
ME AD ME AD =
，所以,BC ME BC ME =，所以四边形BCEM 为平行四边形，所以CE BM .又因为
BM ⊂平面BMD ，CE ⊂平面BMD ,所以CE 平面BMD .
（2）如图，以A 为坐标原点建立空间坐标系O xyz -，则
又1,1,12CQ ⎛⎫
=-
- ⎪⎝⎭
，()1,0,1CE =- 设平面CEQ 的法向量为(),,n x y z =，列方程组求得其中一个法向量为()2,1,2n =，设直线
PA 与平面CEQ 所成角大小为θ，于是
22
sin 3
414001θ=
=++⨯++，
进而求得5cos θ=
. 【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系．求线面角，一是可以利用等体积
计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．
19.已知椭圆()22
2210x y C a b a b
+=：＞＞的左、右顶点分别为A 、B ，且AB 4=，椭圆C 的
离心率为
2
. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知点()()1,0M m m ≠ 在椭圆C 内，直线AM 与BM 分别与椭圆C 交于E 、F 两点，若AMF ∆面积是BME ∆面积的5倍，求m 的值.
【答案】（1）2214
x y +=;（2）12m =±.
【解析】 【分析】
（1）由AB 4=可求a
c ，由222a b c =+可求b ，进而可求标准方程. （2）由()()1,0M m m ≠可求出直线AM 与BM 的方程，与椭圆方程联立，进而可求E 、F 的纵坐标，由面积关系可得
22
412541494m m
m m m
=-++，从而可求m 的值. 【详解】解：（1
）由题意可得：22224
a c
a a
b c
=⎧⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎩
，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪
=⎩， ∴ 椭圆C 的标准方程为：2214
x y +=. （2）
()()()1,,2,0,2,0M m A B -，∴直线AM 的斜率3
AM m k =
， ∴ 直线AM 的方程为：()23
m
y x =
+.联立直线和椭圆的方程 ()222314
m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21294E m y m =+，同理可得2
414F m
y m =+，
5AMF BME S S ∆∆=，即()()5ABF ABM ABE ABM S S S S ∆∆∆∆-=-.54ABF ABE ABM S S S ∆∆∆∴=-
22412541494m m m m m ∴
=-++ ，又0m ≠，42161630m m ∴+-=，解得214m =或34
因为点M 在椭圆内，所以2
34m <
.2
14
m ∴=，12m ∴=±.
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆相交问题.本题第二问的关键在于求出交点的纵坐标，以此为三角形的高列出方程.本题的易错点在于忽略点()()1,0M m m ≠ 在椭圆C 内这一条件，从而未对m 的值进行取舍.
20.BMI 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.对于高中男体育特长生而言，当BMI 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BMI 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm 时，我们说身高较高，身高小于170cm 时，我们说身高较矮.某中小学生成长与发展机构从某市的320名高中男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：
（1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程ˆ0.875.9y
x =-.利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R （保留两位有效数字）；
（2）通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误.已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58（kg ）.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程.
参考公式： ()()()
()
2
2
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
ˆ1.()
ˆn
n
n
i
i i
i i i
i i i n n
n
i
i
i
i i i y
y x
x y y x y
nxy
R y
y x
x n b
x
x
======----=-
==
---∑∑∑∑∑∑，
ˆˆa y bx =-.ˆˆˆi i i
e y bx a =--. 参考数据：
81
78880i i i x y ==∑，82
1
226112i
i x ==∑，168x =，58.5y =，()8
2
1
226i i y y =-=∑.
【答案】（1）填表见解析;20.90R ≈;（2）ˆ0.67555.9y
x =-. 【解析】 【分析】
（1）由表中的数据可求出线性回归方程为ˆ0.875.9y
x =-，进而可完善所给表格，求出所有残差值.由()2
2
1
2
1
ˆ1()n
i i i n
i
i y y
R y
y ==-=-
-∑∑即可求出贡献值2R .
（2）计算修订后
8
'1
77496i i
i x y
==∑以及'57.5y =，代入到8
1
8
2
2
1
ˆi i
i i
i x y
nxy
x
x b
n ==-=-∑∑，ˆˆ'a
y bx =-进而可求出线性回归方程.
【详解】解：（1）由题意知线性回归方程为ˆ0.875.9y
x =-，计算6570.816975.9ˆ 2.3e
=-⨯+=-，7500.815875.9ˆ0.5e =-⨯+=-，8660.817375.ˆ9 3.5e
=-⨯+=.完善下列残差表如下， e 计算
()()2
21
2
1
ˆ1
110.010.090.81 2.250.25 5.290.2512.250.90226
()n
i i i n
i i y y
R y y ==-=-
=-
⨯+++++++≈-∑∑ ，
所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值20.90R ≈.
（2）通过残差分析知，残差的最大（绝对值）的那组数据为第8组，且858y =
由
8
178880i i
i x y
==∑，计算修订后8
'1
78880173661735877496i i i x y =-⨯+⨯==∑
又
8
2
1
226112i
i x ==∑，168x =，修订后()1'858.5665857.58y =⨯⨯-+=.
所以8
1
8
2
2
2
1
77496816857.5
0.6ˆ752261128168
i i
i i
i x y
nxy
x
b
nx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑， ˆˆ'57.50.67516855.9a
y bx =-=-⨯=-. 所以x 关于y 的线性回归方程是ˆ0.67555.9y
x =-. 【点睛】本题考查了线性回归方程的求解.易错点在于符号的规范书写，关键在于计算的精度和速度.合理代入已知的数据会大大减少计算量. 21.已知函数()()2ln f x ax b =+，其中,a b ∈R
（1）当0a >时，若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值；
（2）设1b =，函数()()()()()2
11,0g x ax a ax f x a R a =+++-∈≠有两个不同的零点，求a 的最大整数值.（参考数据5
0.2234
ln ≈：） 【答案】（1）4
e
;（2）1- 【解析】 【分析】
（1）利用导数的几何意义可得02222b a ax a
aln a ∴＝-=﹣，因此()2
2
2220a a a b ln a a =>﹣，()22222,0g a a a ln a a =﹣＞利用导数研究其单调性，即可求出()g x 的最大值，即求出ab 的
最大值.
（2）根据题意，关于t 的方程22ln 0)t t a t t -=(＞有两个不同的解，设()2
2ln t t
h t t
-=
利用导数得到存在051,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()22000000002ln 22292,010t t t h t t t t t --⎛⎫
=
==-∈- ⎪⎝⎭.则要使得关于t 的方程2
2ln 0)t t
a t t
-=(＞有两个不同的解，则()0a h t <，当1a =-时，设
2()2p t lnt t t -+＝经验证()p t 有两个不同的零点，即可证明.
【详解】解：（1）设直线y x =与曲线()y f x =相切于点()()
00,2ln P x ax b +，
2'()a f x ax b =+，0
2'()1a f x ax b ∴==+，()020ax b a a ∴+=>. 又因为点P 在切线y x =上，所以()002ln ax b x +=.所以02ln 2a x =
02222b a ax a aln a ∴＝-=﹣.因此()222220a a a b ln a a =>﹣
设()2
2
222,0g a a a ln a a =﹣
＞，则()'2422122)g a a aln a a ln a ＝﹣＝(﹣ 令'()0g a >
得，0a <<
；令'()0g a <
得，a >()g a ∴
在⎛ ⎝⎭
上单调递增，在⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
上单调递减. ()g a ∴
的最大值为4
e g =⎝⎭.则ab 的最大值为4e
.
（2）函数()()2
1)(1)(,0)g x ax a ax f x a R a +++-∈≠=(有两个不同的零点,
等价于方程2
2(1)1)(1)ln ax ax a ax ++++=(有两个不相等的实根. 设1t ax +＝，则等价于方程2200lnt t at t =﹣﹣（＞）
有两个不同的解， 即关于t 的方程22ln 0)t t a t t -=(＞有两个不同的解，设()2
2ln t t
h t t
-=
, 则22
22ln '()t t h t t --=.设2
()22m t t lnt ＝﹣﹣，由0
t >可知2'()20m t t t =--< ()m t ∴ 在()0,∞+上单调递减，又57
5(1)10,2ln 04164m m ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭
∴存在051,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
使得()00m t =，即2
00 22ln 0t t --=，则200
2ln 2t t +=. 当()00,t t ∈时，()0m t >，'()0h t >，函数()h t 单调递增；当()0,t t ∈+∞时
()0m t <，'()0h t <，函数()h t 单调递减.所以函数()h t 的极大值为
()22
000000002ln 22292,010t t t h t t t t t --⎛⎫
===-∈- ⎪⎝⎭
.
要使得关于t 的方程()2
2ln 0t t
a t t
-=>有两个不同的解，则()0a h t <.
当1a =-时，设2
()2p t lnt t t -+＝，则2
'()21p t t t
=
-+
可知()p t 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫
+∞⎪⎝⎭上单调递减，
又2
1(1)0,0,()204p p p e e e ⎛+=>=-+< ⎝⎭
p （1）＝0
所以()p t 有两个不同的零点，符合题意，所以a 的最大整数值为1-.
【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的最值，以及函数与方程的关系.对于()()()f x h x g x =- 型的函数，()f x 的零点个数就等同于(),()g x h x 图像的交点个数.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
22..极坐标系于直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 正半轴为极轴.已知曲线1C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，曲线2C 的极坐标方程为cos 3a πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
，射线6
π
θα=-
，θα=，3
πθα=+
，2
π
θα=+
与曲线1C 分别交异于极点O 的四点
,,,A B C D .
（1）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程； （2）设()f OA OB OC OD α⋅+⋅＝，当
6
3
π
π
α≤≤
时，求()
f
α值域.
【答案】（1）2a =，1C 的直角坐标方程为()(2
2
14x y -+=;2C 的直角坐标方程为
40x +-=;（2）⎡⎣.
【解析】 【分析】
（1）由4cos 3πρθ⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
可得2
2cos sin ρρθθ+＝进而可求1C 的直角坐标方程; 把
2C 的方程化为直角坐标方程为320x y a +-=，由题意知，该直线过()
1,3，则可求出2a =.
（2）4OA sin α＝，4()3OB cos π
α-
＝，4OC cos α＝，4sin()3
OD π
α-＝，则
83sin 2)6(f OA OB OC OD ααπ⎛
⎫⋅⋅=++ ⎪⎝
⎭＝，结合63ππα≤≤则可求出
6
2
6
52π
π
π
α≤+
≤
，进而可求值域. 【详解】解：（1）1C ：4cos 3πρθ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，即2
223cos sin ρρθρθ+＝，化为直角坐标方程
为()()
2
2
13
4x y -+-=.把2C 的方程化为直角坐标方程为320x y a +-=.
因为曲线1C 关于曲线2C 对称，故直线320x y a +-=经过圆心()
1,3 解得2a =，故2C 的直角坐标方程为340x y +-=. （2）由题意可得，当
6
3
π
π
α≤≤
时，
4OA sin α＝，4()3OB cos πα-＝，4OC cos α＝，4sin()3
OD π
α-＝
则16sin cos 16cos )sin 33(f OA OB OC OD ππααααα⎛
⎫⎛⎫⋅⋅=+-
+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
＝ 28sin 28sin 212sin 243cos283sin 236ππααααα⎛
⎫⎛
⎫=--
=+=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭.
当
6
3
π
π
α≤≤
时，
6
2
652π
π
πα≤+
≤
，则4383sin 2836πα⎛
⎫≤+≤ ⎪⎝
⎭
故()f
α的值域为43,83⎡⎤⎣⎦.
【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了直线与圆的位置关系，考查了三角恒等变换，考查了三角函数的值域求解.已知极坐标方程求直角坐标方程时，代入公式
sin ,cos y x ρθρθ== 即可；对于()sin()f x A x ωϕ=+ 在求值域时，往往先求出x ωϕ+
的取值范围，结合正弦函数的图像和性质，即可求出所求值域. 23.已知函数
．
（1）求不等式()4f x ≤的解集；
（2）设函数()f x 的最小值为m ，当a ，b ，c +∈R ，且a b c m ++=
时，求
【答案】（1）223x x ⎧
⎫
-≤≤⎨⎬⎩⎭
（2
）【解析】 【分析】
（1）根据x 的不同范围，去掉绝对值，然后求解不等式 （2）利用基本不等式的合理利用求最大值
【详解】（1）①当1
2
x <
时，()324f x x =-+≤ 2132x ∴-≤<
②当112x ≤<时，()4f x x =≤ 1
12
x ∴≤<
③当1x ≥时，()324f x x =-≤ 12x ∴≤≤ 综上：()4f x ≤的解集为223x x ⎧
⎫-
≤≤⎨⎬⎩⎭
（2）法一：由（1）可知()132,21
,12
32,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩
()min 12
f x ∴=
即12m =
又*
,,a b c R ∈且1
2
a b c ++= 则2221a b c ++=
，设x y z =
==222x y xy +≥ 2222121222xy x y a b a b ∴≤+=+++=++
同理：2222yz b c ≤++，2222zx c a ≤++
2222222222228xy yz zx a b b c c a ∴++≤++++++++=
()2
222222212121812x y z x y z xy yz zx a b c ∴++=+++++≤++++++=
x y z ∴++≤
当且仅当1
6
a b c ===
时取得最大值法二：由（1）可知()132,21
,12
32,1x x f x x x x x ⎧
-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩
()min 12
f x ∴=
即12m =
又*
,,a b c R ∈且1
2
a b c ++=
2=
4442121213332222a b c ⎛⎫
++++++ ⎪≤++ ⎪ ⎪⎝⎭
当且仅当1
6
a b c ==
=时取得最大值法三：由（1）可知()132,21
,12
32,1x x f x x x x x ⎧
-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩
()min 12
f x ∴=即12m =
1
2
a b c ∴++=
2121214a b c ∴+++++=
由柯西不等式可知：
()
(
))
2
2
2
2
2
2
2
111111+
+
⨯++≥++
即：
)2
11121≤
≤
当且仅当212121a b c +=+=+即1
6
a b c ===
时，取得最大值【点睛】考核绝对值不等式的解法，以及基本不等式的运用。