部编版2020学年高中数学第二章2.1.2.2椭圆方程及性质的应用课后提升训练含解析新人教A版选修90

椭圆方程及性质的应用
(45分钟70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:+=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为( )
A.1个
B.1个或2个
C.2个
D.0个
【解析】选C.因为直线过定点(3,-1)且+<1,所以点(3,-1)在椭圆的内部,故直线l 与椭圆有2个公共点.
2.椭圆+=1的右焦点到直线y=x的距离是( )
A. B. C.1 D.
【解析】选B.椭圆的右焦点为F(1,0),由点到直线的距离公式得d==.
3.直线y=x+m与椭圆+=1有两个公共点,则m的取值范围是( )
A.(-5,5)
B.(-12,12)
C.(-13,13)
D.(-15,15)
【解析】选C.联立直线与椭圆方程,由判别式Δ>0,可解得-13<m<13.
4.过椭圆+=1的一个焦点F作垂直于长轴的椭圆的弦,则此弦长为( )
A. B.3
C.2
D.
【解析】选B.椭圆的焦点为(±1,0),不妨设直线过右焦点,垂直于x轴,交椭圆于A,B两点,把x=1代入+=1得y=±,故弦长|AB|=3.
5.过点M的直线l与椭圆x2+2y2=2交于A,B两点,设线段AB中点为M,设直线l的斜率为k1(k1≠0).直线OM的斜率为k2,则k1k2的值为( )
A.2
B.-2
C.
D.-
【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),
则+2=2,①
+2=2,②
②-①得(x2-x1)(x2+x1)+2(y2-y1)(y2+y1)=0.
即=-,所以k1==-=1,
而k2==-,故k1k2=-.
6.(2017·全国乙卷)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( )
A.(0,1]∪[9,+∞)
B.(0,]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞)
D.(0,]∪[4,+∞)
【解析】选A.当0<m<3时,焦点在x轴上,要使C上存在点M满足∠AMB=120°,则≥tan60°=,即≥,得0<m≤1;当m>3时,焦点在y轴上,要使C上存在点M满足∠AMB=120°,则≥tan60°=,即≥,得m≥9,故m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞).
7.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2,若点P是椭圆C上的动点,则·的最大值为( )
A. B. C. D.
【解析】选B.由椭圆方程知c==1,
所以F1(-1,0),F2(1,0).
因为椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2,则可设A(1,y0),
代入椭圆方程可得=,所以y0=±.
设P(x1,y1),则=(x1+1,y1),=(0,y0),
所以·=y1y0.
因为点P是椭圆C上的动点,所以-≤y1≤,
·的最大值为.
8.已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,直线l:x=2,点A∈l,线段AF交椭圆C于点B,若
=3,则||= ( )
A. B.2
C. D.3
【解析】选A.设点A(2,n),B(x0,y0).
由椭圆C:+y2=1知a2=2,b2=1,
所以c2=1,即c=1,所以右焦点F(1,0).
由=3得(1,n)=3(x0-1,y0).
所以1=3(x0-1)且n=3y0.
所以x0=,y0=n.
将x0,y0代入+y2=1,
得×+=1.
解得n2=1,
所以||===.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.若直线y=2x+b与椭圆+y2=1无公共点,则b的取值范围为________.
【解析】由得+(2x+b)2=1.
整理得17x2+16bx+4b2-4=0.
Δ=(16b)2-4×17×(4b2-4)<0,
解得b>或b<-.
答案:(-∞,-)∪(,+∞)
10.(2017·邯郸高二检测)过椭圆+=1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B 两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为________.
【解析】由已知可得直线方程为y=2x-2,联立方程得交点坐标,不妨令A(0,-2),
B,所以S△AOB=·|OF|·|y A-y B|=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.设直线y=x+b与椭圆+y2=1相交于A,B两个不同的点.
(1)求实数b的取值范围.
(2)当b=1时,求|AB|.
【解析】(1)将y=x+b代入+y2=1,
消去y,整理得3x2+4bx+2b2-2=0. ①
因为直线y=x+b与椭圆+y2=1相交于A,B两个不同的点,
所以Δ=16b2-12(2b2-2)=24-8b2>0,
解得-<b<.
所以b的取值范围为(-,).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
当b=1时,方程①为3x2+4x=0.
解得x1=0,x2=-.
相应地,y1=1,y2=-.
所以|AB|==.
12.(2017·全国甲卷)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足
为N,点P满足=.
(1)求点P的轨迹方程.
(2)设点Q在直线x=-3上,且·=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点
F.
【解析】(1)设P(x,y),M(x′,y′),N(x′,0),
因为=,所以(x-x′,y)=(0,y′),所以所以
因为M在椭圆C上,
所以代入椭圆方程得到x2+y2=2,
所以点P的轨迹方程为x2+y2=2.
(2)设P(x1,y1),Q(-3,y2),椭圆的左焦点为F(-1,0),
=(x1,y1),=(-3-x1,y2-y1),
·=x1·(-3-x1)+y1(y2-y1)=1,
即-3x1-+y1·y2-=1,
-3x1+y1·y2-(+)=1,
即-3x1+y1·y2=3,①
故l OQ:y=-·x.
所以过点P与直线OQ垂直的直线为:
y-y1=·(x-x1),
当x=-1时,
y=y1+(-1-x1)=y1+-
=y1--
=-,
将①代入得y=0,
所以过P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
【能力挑战题】
(2017·北京高二检测)已知椭圆G:+y2=1,过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B 两点.
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率.
(2)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值.
【解析】(1)由已知得a=2,b=1,
所以c==.
所以椭圆G的焦点坐标为(-,0),(,0),
离心率为e==.
(2)由题意知,|m|≥1.
当m=1时,切线l的方程为x=1,点A,B的坐标分别为(1,),(1,-),此时|AB|=. 当m=-1时,同理可得|AB|=.
当|m|>1时,设切线l的方程为y=k(x-m).
由得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.
由l与圆x2+y2=1相切,得=1,
即m2k2=k2+1.
所以|AB|=
=
==.
当m=±1时,|AB|=,
所以|AB|=,m∈(-∞,-1]∪[1,+∞).
因为|AB|==≤2,且当m=±时,|AB|=2,
所以|AB|的最大值为2.。