苏教版数学高二-选修1-1名师导学 第三章 导数及其应用

第3章导数及其应用
第1课时平均变化率
教学过程
一、问题情境
某市某年3月和4月某天日最高气温记载如下:
时间3月18日4月18日4月20日
日最高气温3.5℃18.6℃33.4℃
“气温陡增”这一句生活用语用数学方法如何刻画?
二、数学建构
问题1“气温陡增”是一句生活用语,它的数学意义是什么?(形与数两方面)[1]
问题2如何量化(数学化)曲线上升的陡峭程度?[2]
解通过讨论,给出函数f(x)在区间[x 1,x2]上的平均变化率:.
概念理解
1.具体计算函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率可用==,应注意分子、分母的匹配.
2.函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势,从定义看,f(x)在区间上的平均变化率就是直线AB的斜率.
巩固概念
问题3回到问题1中,从数和形两方面对平均变化率进行意义建构.
解从数的角度:3月18日到4月18日的日平均变化率约为0.5;4月18日到4月20日的日平均变化率为7.25.
从形的角度:比较斜率大小.[3]
三、数学运用
【例1】设函数y=x2-1,当自变量x由1变到1.1时,求:
(1)自变量的增量Δx;
(2)函数的增量Δy;
(3)函数的平均变化率.(见学生用书P41)
[规范解答]解(1)Δx=1.1-1=0.1.
(2)Δy=f(1.1)-f(1)=1.12-1-(12-1)=0.21.
(3)==2.1
[题后反思]求平均变化率时关键在于分清Δx与Δy分别指的是什么.
变式甲、乙两人投入相同的资金经营某商品,甲用5年时间获利10万元,乙用5个月时间获利2万元,如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?
[处理建议]学生讨论、判断,并且由学生给出理由或举出实例.
[规范板书]解甲、乙获利的平均变化率分别为,,因为<,且甲、乙投入相同的资金,所以可以认为乙的经营成果较好.
【例2】(教材第69页例4)已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上f(x)及g(x)的平均变化率.(见学生用书P42) [处理建议]可回顾“必修2”中关于直线斜率的内容,让学生体会的含义.
[规范板书]解函数f(x)在[-3,-1]上的平均变化率为=2.
函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为=2.
函数g(x)在[-3,-1]上的平均变化率为=-2.
函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为=-2.
[题后反思]一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平均变化率就等于斜率k.
变式已知某质点的运动方程为s=5t+3,则在时间[3,3+Δt]中,相应的平均速度等于5.
(图3)
【例3】如图,路灯距地面8m,一身高1.6m的人沿路灯下方的直路以84m/min的速度从A点走向B点,求人影长度的变化速率.(结果以m/s为单位)
[处理建议]先由学生讨论,教师在学生中交流,了解学生的思考过程,侧重于理解人影长度的变化速率的意义.
[规范板书]解84m/min=1.4m/s.设人的影长为y,行走时间为x.根据相似三角形的性质,有=,得y=x.人影长度的变化速率v===.
[题后反思]几何类应用题需先观察图形,结合图形求解.
*【例4】已知函数f(x)=2x2+1,分别计算函数f(x)在区间[1,4],[1,2],[1,1.5]上的平均变化率.
[处理建议]引导学生利用平均变化率的概念解题.
[规范板书]解在[1,4]上的平均变化率为=10.
在[1,2]上的平均变化率为=6.
在[1,1.5]上的平均变化率为=5.
变式已知函数f(x)=,计算函数f(x)在区间[1,2]上的平均变化率.
[规范板书]解在[1,2]上的平均变化率为=-.
*【例5】求函数y=x3在x0到x0+Δx之间的平均变化率.
[处理建议]本题与前面几个例题的区别在于由字母代替具体区间,但是处理问题仍然只需抓住本质,利用平均变化率的概念解题.
[规范板书]解当自变量从x0到x0+Δx时,函数的平均变化率为
=3+3x0Δx+Δx2.
变式求函数f(x)=在区间内的平均变化率.
[规范板书]解===.
四、课堂练习
1.国庆黄金周七天期间,本市某大型商场的日营业额从1500万元增加到4300万元,则该商场国庆黄金周期间日营业额的平均变化率是400万元/天.
提示利用平均变化率的概念.
2.函数f(x)=5x+4在区间[0,1]上的平均变化率是5.
提示一次函数在区间上的平均变化率即为斜率.
3.函数f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为3,则m的值为2.
提示由=3,得m=2.
4.已知正方形原来的边长为4m,现在边长以2 m/s的速度增加,若设正方形的面积为S(单位:m2),时间为t(单位:s),则由时间t到t+1正方形的面积增加了20+8t m2.
提示S=(4+2t)2,则ΔS=(6+2t)2-(4+2t)2=20+8t(m2).
五、课堂小结
1.函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为.
2.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,是一种粗略的刻画.
第2课时曲线上一点处的切线
教学过程
一、问题情境
平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势,提出问题:如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢?(点P附近的曲线的研究)提出“放大图形”的朴素方法,如下图:
(图1)
二、数学建构
问题1观察“点P附近的曲线”,随着图形放大,你看到了怎样的现象?
(图2)
解曲线在点P附近看上去几乎成了一条直线;继续放大,曲线在点P附近将逼近一条确定的直线l,这条直线是过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线.
问题2“几乎成了一条直线”,这么一条特殊的直线有明确位置吗?又为什么说是“几乎”?
解点P附近可以用这条直线l代替曲线,用直线l的斜率来刻画曲线经过P点时的变化趋势.
问题3怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线l呢?以图3为例.
解随着点Q沿曲线向点P运动,直线PQ在点P附近越来越逼近曲线.[2]
概念生成
动画演示,观察点Q的运动、直线PQ的运动、直线PQ斜率的变化,生成概念.
(图3)(图4)
Q为曲线上不同于点P的一点,这时,直线PQ称为曲线的割线;
当点Q无限逼近点P时,直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l,这条直线l就称为曲线在点P处的切线.[3]
问题4对比平均变化率这一近似刻画曲线在某个区间上的变化趋势的数学模型,在这里平均变化率表现为什么?我们又用怎样的数学模型来刻画曲线上P点处的变化趋势呢?
由切线的概念来求切线斜率,割线斜率无限逼近即为切线斜率.当Δx无限趋近于0时,
无限趋近于点P(x,f(x))处切线的斜率.[4]
三、数学运用
【例1】用割线逼近切线的方法作出下列曲线在点P处的切线.(见学生用书P43)
(例1图(1))(例1图(2))
(1)初中平面几何中圆的切线的定义是什么?
(2)图(1)中和图(2)中切线与曲线公共点的个数分别是多少?公共点的个数是否适用于一般曲线的切线的定义的讨论?你能否用函数曲线的切线举出反例?
[处理建议]让学生亲自作图,从图形观察出问题的答案,体现数形结合思想.
[规范板书]解(1)与圆只有一个公共点的直线称为圆的切线.
(2)图(1)中1个.图(2)中2个.不适用.
[题后反思]强调曲线上一点处切线的斜率的定义,圆上一点处的切线只是曲线上一点处切线的特殊情况.[5]
变式曲线y=x3在点(1,1)处的切线与曲线有几个交点?
[规范板书]解2个.
【例2】(教材第71页例1)已知f(x)=x2,求曲线y=f(x)在x=2处的切线的斜率.(见学生用书P44)
[处理建议]为求得在点(2,4)处的切线斜率,我们从经过点(2,4)的任意一条直线(割线)入手.
[规范板书]解设P(2,4),Q(2+Δx,(2+Δx)2),则割线PQ的斜率为k PQ==4+Δx,当Δx 无限趋近于0时,k PQ无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点P(2,4)处的切线斜率为4.
[题后反思]本题教学手法可以多样化,比如作出图象加强直观,还可取Δx<0进行比较.如有条件,可利用计算机分别演示数值逼近和图形逼近的过程,使数形结合更加紧密.
变式已知f(x)=x-1,求曲线y=f(x)在x=-1处的切线斜率.
[规范板书]解设P(-1,-1),Q-1+Δx,,则割线PQ的斜率为k PQ==,当Δx无限趋近于0时,k PQ无限趋近于常数-1,从而曲线y=f(x)在点P(-1,-1)处的切线斜率为-1.
【例3】已知曲线y=在点(1,4)处的切线与直线l平行,且与l的距离等于,求直线l的方程.(见学生用书P44) [处理建议]应用平行直线的斜率关系和距离公式.
[规范板书]解==-.当Δx无限趋近于0时,无限趋近于-4,所以曲线在点(1,4)处的切线的斜率为-4,故切线方程为y-4=-4(x-1),即4x+y-8=0.
设直线l的方程为4x+y+c=0,由题得=,解得c1=9,c2=-25,所以直线l的方程为4x+y+9=0或4x+y-25=0.
[题后反思]进一步让学生体会割线斜率无限逼近于切线斜率,熟悉求曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线的步骤:(1)求差商;(2)当Δx(Δx可正,也可负)无限趋近于0时,趋近于某个常数k;(3)曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=k(x-x0).
变式若直线y=3x+1是曲线y=ax2的切线,求a的值.
[处理建议]本题需注意切点既满足曲线方程,又满足切线方程.
[规范板书]解设切点为(x,ax2),==2ax+aΔx.当Δx无限趋近于0时,无限趋近于2ax,所以曲线在切点处的切线的斜率为2ax.
由可求得a=-.
*【例4】试求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.
[处理建议]本题应设出切点(x 0,),求出相应的切线方程,再根据此方程过点P(3,5),利用待定系数法求出x0.
[规范板书]解设所求切线的切点坐标为(x 0,),==2x0+Δx,当Δx无限趋近于0
时,无限趋近于2x0,所以曲线在切点处的切线的斜率为2x0,则所求切线方程可表示为y-=2x 0(x-x0),因为切线过点P(3,5),所以5-=2x0(3-x0),解得x0=1或5,即所求的切线有两条,方程分别是y=2x-1和y=10x-25.
[题后反思]学生解答本题时会误以为点P(3,5)是切点,导致过点P(3,5)处的切线斜率为6.
变式求曲线y=x3的过点(-1,-1)的切线方程.
[规范板书]解设所求切线的切点坐标为(x 0,),==3+3x0Δx+Δx2,当Δx无限趋近于0时,无限趋近于3,所以曲线在
切点处的切线的斜率为3,则所求切线方程可表示为y-=3(x-x0),因为切线过点(-1,-1),所以-1-=3(-1-x0),解得x0=-1或,即所求的切线有两条,方程分别是y=3x+2和y=x-.
[题后反思]学生解答本题时会误以为点(-1,-1)一定是切点,没有讨论点(-1,-1)是切点和不是切点两种情况.
四、课堂练习
1.在下列曲线中,可以用割线逼近切线的方法作出点P处的切线的有②④.(填序号)
(第1题)
2.求曲线y=在点(1,)处的切线的斜率.
解设P(1,),Q(1+Δx,),则割线PQ的斜率为k PQ==.当Δx无限趋近于0时,k PQ无限趋近于常数,从而曲线y=f(x)在点(1,)处的切线斜率为.
3.已知抛物线y=ax2+bx-7过点(1,1),且过点(1,1)的抛物线的切线方程为y=4x-3,求a,b的值.
解利用求切线斜率的方法可求出在(1,1)处的切线斜率为2a+b,所以可得a=-4,b=12.
五、课堂小结
1.知识层面:主要学习了曲线上一点处的切线.
2.思想方法层面:利用“局部以直代曲”和“无限逼近”的思想割线逼近切线.
3.总结我们经历过的“以直代曲”、“无限逼近”的生活实例和数学实例.[6]
第3课时瞬时速度与瞬时加速度
教学过程
一、问题情境
在物理学中,运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度,它反映了物体在某段时间内运动的快慢程度,那么,如何精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度呢?先看实例.
跳水运动员在从10m跳台腾空到入水的过程中,不同时刻的速度是不同的.假设t s后运动员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试确定t=2s时运动员的速度.[1]
二、数学建构
问题1求出运动员在2s到2.1s内(即t∈[2,2.1])的平均速度.
解==-13.59m/s.
问题2利用计算器,请分组算出更短的时间内的平均速度.
解
t∈[2,2.01],=-13.149;t∈[2,2.001],=-13.1049;t∈[2,2.0001],=-13.10049;t∈[1.9,2],=-12. 61;t∈[1.99,2],=-13.051;t∈[1.999,2],=-13.0951.
问题3观察所得的数据,你能发现当Δt无限逼近于0时,平均速度无限逼近于什么?[2]
解-13.1.
概念生成
一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体位移s(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时速度,也就是位移对于时间的瞬时变化率.
问题4类比瞬时速度的概念,你能否概括出瞬时加速度的概念?
解一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时加速度,也就是速度对于时间的瞬时变化率.[3]
三、数学运用
【例1】(教材第74页例2)设一辆轿车在公路上做加速直线运动,假设t s时的速度为v(t)=t2+3,求t=t0时轿车的加速度a.(见学生用书P45)
[处理建议]利用瞬时加速度的定义,先求平均加速度.
[规范板书]解在t0到t0+Δt的时间内,轿车的平均加速度为====2t 0+Δt,当Δt→0时,→2t0,即a=2t0.
所以,当t=t0时轿车的瞬时加速度为2t0.
变式物体运动的速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)的关系是v(t)=t2+4t,求t=2时物体的瞬时加速度.
解在2到2+Δt的时间内,轿车的平均加速度为===8+Δt,当Δt→0时,→8,即a=8.
所以,当t=2时轿车的瞬时加速度为8 m/s2.
【例2】一个做直线运动的物体,其位移S(单位:m)与时间t(单位:s)的关系是S=3t-t2.(见学生用书P46)
(1)求此物体的初速度;
(2)求此物体在t=2时的瞬时速度;
(3)求t=0到t=2时的平均速度.
[处理建议]初速度是t=0时的瞬时速度,本题需先求出平均速度,然后利用瞬时速度的定义进行求解.
[规范板书]解在t0到t0+Δt的时间内,轿车的平均速度为===(3-2t0)-Δt,当Δt→0时,→3-2t0.所以,当t=t0时轿车的瞬时速度为3-2t0.
(1)初速度v(0)=3.
(2)t=2时的瞬时速度v(2)=-1.
(3)t=0到t=2时的平均速度==-2.
[题后反思]本题应注意瞬时速度与平均速度的区别.
变式一个质点沿直线运动,运动方程为S=10+8t-4t2,其中t的单位为s,S的单位是m.
(1)计算[t,t+Δt]内的平均速度v;
(2)求当t=0,1,2,3时刻的瞬时速度.
[规范板书]解(1)在t到t+Δt的时间内,质点的平均速度为===8-8t-4Δt.
(2)由(1)知,当Δt→0时,→8-8t,所以t s时质点的瞬时速度为(8-8t) m/s.
t=0时的瞬时速度为8 m/s;t=1 时的瞬时速度为0 m/s;t=2 时的瞬时速度为-8 m/s;t=3 时的瞬时速度为-16 m/s.
【例3】某容器里装有1 L纯酒精,如果以0.1L/s的速度往容器里注水,求酒精浓度在t时刻的变化率.(见学生用书P46) [处理建议]本题应找出浓度的瞬时变化率与瞬时速度的共同点,为导数的形式化定义做铺垫.
[规范板书]解酒精浓度c随时间t变化的关系式为c(t)==,
在t到t+Δt的时间内,酒精的平均浓度为===.当Δt→0时,→.
所以,t时刻酒精的瞬时变化率为.
[题后反思]通过本题的讲解,让学生进一步体会瞬时变化率的本质,更好地理解概念.
变式设电量Q与时间t的函数关系为Q=2t2+3t+1,其中Q的单位为库仑,t的单位为s,求t=3时的电流强度.
[处理建议]某时刻的电流强度即为电量的瞬时变化率.
[规范板书]解在t到t+Δt的时间内,电量的平均变化率为===2Δt+4t+3.当Δt→0时,→4t+3.
所以t=3时的电流强度为15A.
*【例4】一物体的运动方程是S=5t+t2(位移S的单位:m;时间t的单位:s),则下述四个结论中正确的是①②④.(填序号)
①物体在时间段[0,1]内的平均速度是m/s;
②物体在t=1时的瞬时速度是8 m/s;
③物体在时间段0 s到1 s内经过的位移是8m;
④物体在时间段0 s到1 s内经过的位移是m.
[处理建议]本题需注意平均速度与瞬时速度是两个不同的概念.
变式若做直线运动的物体的速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)的关系为v(t)=t2,则在前3 s内的平均加速度是3 m/s2,在t=3时的瞬时加速度是6 m/s2.
提示前3s内的平均加速度是=3 m/s2.
在t到t+Δt的时间内,物体的平均加速度是===2t+Δt,当Δt→0时,→2t.所以3s时
的瞬时加速度为6 m/s2.
[题后反思]易误以为前3 s内的平均加速度是=m/s2.
四、课堂练习
1.一质点沿直线运动,其运动方程为y=-2x2+1(位移y的单位为m,时间x的单位为s),则该质点从x=1到x=2的平均速度为-6m/s.
提示==-6 (m/s).
2.已知一物体的运动方程是S=t3+2t(位移S的单位为m,时间t的单位为s),则瞬时速度为14 m/s的时刻是2s.
提示在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为
===3tΔt+3t2+2.当Δt→0时,→3t2+2,所以,时刻t的瞬时速度为3t2+2.由题意,3t2+2=14,解得t=2 s.
3.某物体的运动方程为S=t4-3(位移S的单位为m,时间t的单位为s),则t=5时该物体的瞬时速度为125 m/s.
提示在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为
===t3+(Δt)3+t(Δt)2+t2Δt,当Δt→0时,→t3.所以,t s时刻的瞬时速度为t3,由题意,当t=5时,瞬时速度为125 m/s.
五、课堂小结
1.平均速度的定义.
2.瞬时速度的定义.
3.求瞬时速度和瞬时加速度的方法和过程.[4]
第4课时瞬时变化率——导数(1)
教学过程
一、数学运用
【例1】已知f(x)=,求曲线y=f(x)在x=处的切线斜率.(见学生用书P47) [处理建议]让学生体会割线斜率无限逼近于切线斜率,熟悉求曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线的步骤:①求差商f(x0+Δx)-f(x0);②当Δx(Δx可正,也可负)无限趋近于0时,趋近于某个常
数k;③曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线斜率为k.
[规范板书]解==
-.
当Δx无限趋近于0时,无限趋近于-,所以曲线在x=处的切线斜率是-.
[题后反思]本题应注意分子有理化思想的应用,再用逼近思想处理.
变式已知曲线y=2x2上一点A(1,2),求点A处的切线的斜率与切线方程.
[规范板书]解设A(1,2),B(1+Δx,2(1+Δx)2),则割线AB的斜率为k AB==4+2Δx,当Δx无限趋近于0时,k AB无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点A(1,2)处的切线斜率为4,所求切线方程为4x-y-2=0.
【例2】物体自由落体的运动方程为S=gt2,其中位移S的单位为m,时间t的单位为s,g=9.8 m/s2,求该物体在t=3时的瞬时速度.(见学生用书P48)
[处理建议]瞬时速度是位移对时间的瞬时变化率.
[规范板书]解取一小段时间[3,3+Δt],位移改变量ΔS=g(3+Δt)2-g·32=(6+Δt)Δt,平均速度==g(6+Δt),当Δt→0时,g(6+Δt)→3g=29.4,即瞬时速度v=29.4 m/s.
[题后反思]如何求t=3时的瞬时加速度呢?
变式设一物体在时间t(单位s)内所经过的路程为S(单位m),并且S=4t2+2t-3,试求物体在运动开始及第5s末的瞬时速度.
[规范板书]解在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为===8t+2+4Δt,
当Δt→0时,→8t+2,所以,时刻t s的瞬时速度为8t+2,由题意,物体在第5s末的瞬时速度是42 m/s,在运动开始时的速度为2 m/s.
【例3】如果曲线y=x3+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行,求切点坐标与切线方程.
(见学生用书P48) [处理建议]曲线在某点的切线的斜率等于函数在切点处的导数值.
[规范板书]解设切点坐标为(x,x3+x-10).
==3x2+1+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2+1+3xΔx+(Δx)2→3x2+1.由题意,3x2+1=4,得x=1或-1.所以切点坐标为(1,-8),此时切线方程为4x-y-12=0;或切点坐标为(-1,-12),此时切线方程为4x-y-8=0.
变式已知曲线y=x2上过某一点的切线满足下列条件,求此点坐标.
(1)平行于直线y=4x-5;
(2)垂直于直线2x-6y+5=0;
(3)与x轴成135°倾斜角.
[处理建议]利用导数的概念及两直线的位置关系.
[规范板书]解设P(x0,y0)是满足条件的点.
==2x0+Δx,当Δx→0时,2x0+Δx→2x0.
(1)因为切线与直线y=4x-5平行,所以2x0=4,得x0=2,y0=4,即P(2,4).
(2)因为切线与直线2x-6y+5=0垂直,所以2x0·=-1,得x0=-,y0=,即P.
(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角,所以k=-1,则2x0=-1,得x0=-,y0=,即P-,.
*【例4】设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),求a,b的值.
[处理建议]利用切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程求解.
[规范板书]解利用导数的定义可得f'(x)=3x2-6ax+3b,由于函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),所以f(1)=-11,f'(1)=-12,解得a=1,b=-3.
变式4已知f(x)=ax4+bx2+c的图象过点(0,1),且在x=1处的切线方程是y=x-2,求a,b,c.
[处理建议]利用导数的几何意义:函数在某点处的导数就等于在该点处的切线的斜率.
[规范板书]解由题意,得.
二、课堂练习
1.如图,直线l是过曲线上P,Q两点的直线,当点Q沿曲线向点P靠近时,直线l的斜率变大.(填“变大”或“变小”)
(第1题)
2.已知曲线y=x3上过点(2,8)的切线方程为12x-ay-16=0,则实数a的值为1.
提示将点(2,8)代入切线方程可得a=1.
3.质点沿x轴运动,设距离为x(单位:m),时间为t(单位:s),运动方程为x=10+5t2,则当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均速度为10t0+5Δt m/s;当t=t0时,质点的瞬时速度为10t0m/s;当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均加速度为10 m/s2;当t=t0时,质点的瞬时加速度为10 m/s2.
提示当t0≤t≤t0+Δt时,==10t0+5Δt;
当t=t0时,质点的瞬时速度为10t0m/s;
当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均加速度为=10 m/s2;
当t=t0时,质点的瞬时加速度为10m/s2.
三、课堂小结
1.求曲线上一点处的切线的方法.
2.运动物体的瞬时速度和瞬时加速度,学会用运动学的观点理解和解决实际问题.
3.导数的定义及几何意义.
第5课时瞬时变化率——导数(2)
教学过程
一、问题情境
跳水运动员从10m跳台腾空到入水的过程中,不同时刻的速度是不同的.假设t s后运动员相对于水面的高度H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试确定运动员在某个时刻t0的瞬时速度.如果将上述问题中的函数H(t)用y=f(x)来表示,那么函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率又该如何表示呢?
二、数学建构
问题1高台跳水运动中,运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示?
解如果当Δt无限趋近于0时,运动物体位移h(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时速度,也就是位移对于时间的瞬时变化率.
问题2将上述问题中的函数H(t)用y=f(x)来表示,那么函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率又该如何表示呢?
解如果当Δx无限趋近于0时,函数y=f(x)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为函数在x=x0处的瞬时变化率.
概念生成
设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),若Δx无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处可导,并称该常数A为f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0).[1]巩固概念
问题3导数f'(x0)的几何意义是什么?
解导数f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.
问题4通过概念中导数的形式能否概括出求f(x)在x=x0处的导数的一般步骤.
解①求Δy;②求;③当Δx无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则常数A即为f(x)在x=x0处的导数.
问题5f'(x)是不是一个函数?
解若函数y=f(x)在区间(a,b)内任一点都可导,则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数,记作f'(x).在不引起混淆时,导函数f'(x)也称为f(x)的导数.
问题6运动物体的位移S(t)对于时间t的导数是什么?运动物体的速度v(t)对于时间t的导数是什么?
解瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t的导数;瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t的导数.
问题7如何理解f(x)在x=x0处的导数f'(x0)?
解f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是函数f'(x)在x=x0处的函数值,而不是f(x0)的导数.
三、数学运用
【例1】(教材第75页例3)已知f(x)=x2+2.
(1)求f(x)在x=1处的导数;
(2)求f(x)在x=a处的导数.(见学生用书P49)
[处理建议]本题要求学生表述格式规范化.
[规范板书]解(1)因为===2+Δx,当Δx→0时,2+Δx→2,所以f(x)在x=1处的导数等于2.
(2)因为=
==2a+Δx,当Δx→0时,2a+Δx→2a,所以f(x)在x=a处的导数等于2a.
[题后反思]巩固强化导数的内涵,使学生理解导数概念的本质.通过此例,我们由函数f(x)在x=x0处的导数引出函数在区间(a,b)上的导函数的概念.
变式求函数y=在x=2处的导数.
[规范板书]解因为===-,当Δx→0时,-→-,所以f(x)在x=2处的导数等于-.
【例2】在曲线y=x3上点P处作切线,使该切线与直线y=--5垂直,求此切线的方程.
(见学生用书P50) [处理建议]曲线在某点的切线的斜率等于函数在切点处的导数值,本题结合两垂直直线的斜率关系进行解题.
[规范板书]解设点P(x,x3),===3x2+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2+3xΔx+(Δx)2→3x2,所以f(x)在点P处的导数等于3x2.
由题意,3x2=3,得x=1或-1,所以切线方程为3x-y-2=0或3x-y+2=0.
[题后反思]本题利用导数的几何意义求解.
【例3】已知f(x)=x3-2x+1,求f'(x)及f'(2).(见学生用书P50)
[处理建议]学生学习一种新的记号需要一个理解适应的过程,因此,本题应给予学生充分的时间思考.
[规范板书]解因为==3x2-2+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2-2+3xΔx+(Δx)2→3x2-2,
所以f'(x)=3x2-2,f'(2)=10.
[题后反思]f(x)在x=2处的导数f'(2)就是函数f'(x)在x=2处的函数值.
变式已知成本c与产量q的函数关系为c(q)=3q+4q2,则当产量q=6时,求边际成本c'(6).
[规范板书]解==3+8q+4Δq,当Δq→0时,3+8q+4Δq→3+8q,即c'(q)=3+8q,c'(6)=51.
[题后反思]c(x)在x=a处的导数c'(a)称为生产规模为a时的边际成本值.
*【例4】已知f(-x)=f(x)对任意实数x都成立,且f'(-x0)=-k(k≠0),求f'(x0).
[处理建议]本题利用导数的概念进行推导.
[规范板书]解=
.当Δx→0时,无限逼近于-f'(x0),所以f'(x0)=k.
变式已知f(x+1)-f(1)=2x2+x,求f'(1).
[规范板书]解=2x+1.
当x→0时,2x+1→1,所以f'(1)=1.
四、课堂练习
1.若函数y=f(x)在点x∈(-1,1)内的导函数为f'(x),则下列说法中正确的是④.(填序号)
①在x=x0处的导数为f'(x0);
②在x=1处的导数为f'(1);
③在x=-1处的导数为f'(-1);
④在x=0处的导数为f'(0).
2.设f(x)=ax2+3,若f'(1)=2,则a=1.
提示f'(x)=2ax,由f'(1)=2得a=1.
3.函数f(x)=2x2+3x的导数f'(x)=4x+3.
提示因为==4x+3+2Δx.
当Δx→0时,→4x+3,即f'(x)=4x+3.
五、课堂小结
1.导数的几何意义.
2.导数的物理意义.
3.由定义求导数的步骤.
第6课时常见函数的导数
教学过程
一、问题情境
前面我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念,那么,如何求函数的导数呢?
二、数学建构
问题1回顾前面所学内容,能否归纳出求导数的一般步骤?
解给定函数y=f(x),计算=,当Δx→0时,→A(x),则f'(x)=A(x).
问题2根据求导数的一般步骤,求下列函数的导数.
①f(x)=kx+b(k,b为常数).
解因为===k,当Δx→0时,→k,所以f'(x)=k.
特别地,当k=0时,有f'(x)=0;当k=1,b=0时,有f'(x)=1.
②f(x)=x2.
解因为===2x+Δx,当Δx→0时,→2x,所以f'(x)=2x.
③f(x)=x3.
解因为===
3x2+3x(Δx)+(Δx)2,当Δx→0时,→3x2,所以f'(x)=3x2.
④f(x)=.
解因为===,当Δx→0时,→-,所以f'(x)=-.
⑤f(x)=.
解因为===,当Δx→0时,→,所以f'(x)=
.
问题3你能根据问题2中的①~⑤发现什么结论?
几个常用函数的导数:
(kx+b)'=k(k,b为常数);
C'=0(C为常数);
x'=1;
(x2)'=2x;
(x3)'=3x2;
'=-;
()'=.
对于基本初等函数,有下面的求导公式(教师直接给出):
(xα)'=αxα-1(α为常数);
(a x)'=a x ln a(a>0,且a≠1);
(lo x)'=log a e=(a>0,且a≠1);
(e x)'=e x;
(ln x)'= ;
(sin x)'=cos x;
(cos x)'=-sin x.[1]
三、数学运用
【例1】求曲线y=cos x在点处切线的方程.(见学生用书P52)
[处理建议]利用基本初等函数的求导公式求出在该点处的切线斜率,再利用点斜式求出切线方程.
[规范板书]解y'=-sin x,所以在点处切线的斜率k=-sin=-,即切线方程为x+2y-π-1=0.
[题后反思]求一些常见函数的导数可直接利用公式.
变式求曲线y=在点处的切线的方程.
[规范板书]y'=-,故点处的切线斜率为-,则切线方程为y-=-(x-2),即x+4y-4=0.
【例2】若直线y=4x+b是函数y=x2图象上的一条切线,求b及切点坐标.(见学生用书P52) [处理建议]设出切点坐标,利用导数的几何意义解题.
[规范板书]解设切点坐标为(x 0,).由f'(x0)=2x0=4,得x0=2,所以切点坐标为(2,4),故b=-4.
[题后反思]本题应抓住切点的双重性:点既在曲线上也在切线上.。