2019年吕梁市九年级数学上期中试题及答案

2019年吕梁市九年级数学上期中试题及答案
一、选择题
1．若关于x 的一元二次方程4x 2-4x+c=0有两个相等实数根，则c 的值是（ ） A ．-1 B ．1 C ．-4 D ．4
2．如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是（ ）
A ．4.75
B ．4.8
C ．5
D ．4
3．如图在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…若点A （32
，0），B （0，2），则点B 2018的坐标为（ ）
A ．（6048，0）
B ．（6054，0）
C ．（6048，2）
D ．（6054，2） 4．用配方法解方程2680x x --=时，配方结果正确的是（ ） A ．2(3)17x -=
B ．2(3)14-=x
C ．2(6)44x -=
D ．2(3)1x -=
5．已知实数0a <，则下列事件是随机事件的是（ ）
A ．0a ≥
B ．10a +>
C ．10a -<
D ．210a +<
6．若点()1,5P m -与点()3,2Q n -关于原点成中心对称，则m n +的值是（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7
7．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y （间）与定价x （元/间）之间满足y ＝14
x ﹣42（x ≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ）
A ．252元/间
B ．256元/间
C ．258元/间
D ．260元/间 8．已知函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点．则k 的取值范围是( )
A ．k<4
B ．k≤4
C ．k<4且k≠3
D ．k≤4且k≠3
9．如图，△DEF 是由△ABC 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（ ）
A ．（1，1）
B ．（0，1）
C ．（﹣1，1）
D ．（2，0） 10．如图，已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），
对称轴为直线x=1，与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：
①当x ＞3时，y ＜0；
②3a+b ＜0； ③213
a -≤≤-； ④248ac
b a ->；
其中正确的结论是（ ）
A ．①③④
B ．①②③
C ．①②④
D ．①②③④ 11．求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，其对称轴为直线1x =-，与x
轴的交点为()1,0x 、()2,0x ，其中101x <<，有下列结论：①0abc >；
②232x -<<-；③421a b c -+<-；④()21a b am bm m ->+≠-；⑤13
a >；其中，正确的结论有（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
12．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
二、填空题
13．我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步．”如果设矩形田地的长为x 步，那么根据题意列出的方程为_____．
14．若关于x 的一元二次方程()2
2 26k x kx k --+=有实数根，则k 的最小整数值为__________．
15．如图，△ODC 是由△OAB 绕点O 顺时针旋转40°后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且∠AOC =105°，则∠C = __．
16．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm 和4cm ，则这个直角三角形的内切圆的半径为 cm
17．a 、b 、c 是实数，点A （a+1、b ）、B （a+2，c ）在二次函数y=x 2﹣2ax+3的图象上，则b 、c 的大小关系是b ____c （用“＞”或“＜”号填空）
18．女生小琳所在班级共有40名学生，其中女生占60%.现学校组织部分女生去市三女中参观，需要从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，那么小琳被抽到的概率是 ．
19．已知关于x 的二次函数y=ax 2+(a 2-1)x-a 的图象与轴的一个交点的坐标为(m ，0)，若2<m<3，则a 的取值范围是_________．
20．一元二次方程x 2=3x 的解是：________．
三、解答题
21．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量y （件）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系，如图所示.
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.
22．小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A ，B ，B ．这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张，如果两次摸到卡片字母相同则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明现由．
23．如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，以AC 为直径作O e 交BC 于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E .
（1）求证：DE 是O e 的切线.
（2）若3DE =，30C ∠=︒，求»AD 的长.
24．甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A 、B 分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜．
（1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率；
（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由．
25．已知关于x 的方程x 2+4x +3-a =0．
（1）若此方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当a 取满足条件的最小整数，求此时方程的解．
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可得：当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．
【详解】
解：根据题意可得：
△=2
(4) －4×
4c=0，解得：c=1 故选：B ．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式． 2．B
解析：B
【解析】
【分析】
设QP 的中点为F ，圆F 与AB 的切点为D ，连接FD ，连接CF ，CD ，则有FD ⊥AB ；由勾股定理的逆定理知，△ABC 是直角三角形，FC+FD=PQ ，由三角形的三边关系知，FC+FD ＞CD ；只有当点F 在CD 上时，FC+FD=PQ 有最小值，最小值为CD 的长，即当点F 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高CD 上时，PQ=CD 有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD=BC•AC÷AB=4.8．
【详解】
如图，设QP 的中点为F ，圆F 与AB 的切点为D ，连接FD 、CF 、CD ，则FD ⊥AB ． ∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴∠ACB=90°，FC+FD=PQ ，
∴FC+FD ＞CD ，
∵当点F 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高CD 上时，PQ=CD 有最小值，
∴CD=BC•AC÷AB=4.8．
故选B ．
【点睛】
本题利用了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B 、B 2、B 4…每偶数之间的B 相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B 2018的坐标．
【详解】
∵A （32
，0），B （0，2）， ∴OA ＝
32，OB ＝2， ∴Rt △AOB 中，AB 22352()22+=
， ∴OA +AB 1+B 1C 2＝32+2+52
＝6， ∴B 2的横坐标为：6，且B 2C 2＝2，即B 2（6，2），
∴B 4的横坐标为：2×
6＝12， ∴点B 2018的横坐标为：2018÷
2×6＝6054，点B 2018的纵坐标为：2， 即B 2018的坐标是（6054，2）．
故选D ．
【点睛】
此题考查了点的坐标规律变换以及勾股定理的运用，通过图形旋转，找到所有B 点之间的关系是解决本题的关键．
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
利用配方法把方程2680x x --=变形即可.
【详解】
用配方法解方程x 2﹣6x ﹣8＝0时，配方结果为（x ﹣3）2＝17，
故选A ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键．
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】
解：A 、∵任何数的绝对值都是非负数，∴0a ≥是必然事件，不符合题意；
B 、∵0a <，∴1a +的值可能大于零，可能小于零，可能等于零是随机事件，符合题意；
C 、∵0a <，∴a-1＜-1＜0是必然事件，故C 不符合题意；
D 、∵21a +>0,∴210a +<是不可能事件，故D 不符合题意；
故选：B ．
【点睛】
本题考查随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案.
【详解】
解：∵点()1,5P m -与点()3,2Q n -关于原点对称，
∴13m -=-，25n -=-，
解得：2m =-，7n =，
则275m n +=-+=
故选C .
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据：总利润=每个房间的利润×入住房间的数量-每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．
【详解】
设每天的利润为W 元，根据题意，得：
W=（x-28）（80-y ）-5000
()128804245000x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦⎭ 2112984164
x x =-+- ()2125882254
x =--+， ∵当x=258时，12584222.54y =
⨯-=，不是整数， ∴x=258舍去，
∴当x=256或x=260时，函数取得最大值，最大值为8224元，
又∵想让客人得到实惠，
∴x=260（舍去）
∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元． 故选：B ．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．
8．B
解析：B
【解析】
试题分析：若此函数与x 轴有交点，则2
(3)21=0k x x -++，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0,解得：k≤4,当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，故本题选B.
考点：函数图像与x 轴交点的特点. 9．B
解析：B
【解析】
根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知，只要连接两组对应点，作出对应点所连线段的两条垂直平分线，其交点即为旋转中心．
解：如图，
连接AD 、BE ，作线段AD 、BE 的垂直平分线，
两线的交点即为旋转中心O ′.其坐标是(0,1).
故选B..
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
①由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴令一个交点的坐标为（3，0），当x ＞3时，y ＜0，故①正确；
②抛物线开口向下，故a ＜0，∵12b x a
=-
=，∴2a+b=0．∴3a+b=0+a=a ＜0，故②正确；
③设抛物线的解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），则223y ax ax a =--，令x=0得：y=﹣3a ．∵抛物线与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴233a ≤-≤．解得：213
a -≤≤-，故③正确； ④．∵抛物线y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤c≤3，由248ac
b a ->得：
2
48ac a b ->，∵a ＜0，∴2
24b c a -<，∴c ﹣2＜0，∴c ＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误． 【详解】
解:①由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴令一个交点的坐标为（3，0），
当x ＞3时，y ＜0，
故①正确；
②抛物线开口向下，故a ＜0， ∵12b x a
=-=，
∴2a+b=0．
∴3a+b=0+a=a ＜0，
故②正确；
③设抛物线的解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），则223y ax ax a =--，
令x=0得：y=﹣3a ．
∵抛物线与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，
∴233a ≤-≤． 解得：213
a -≤≤-
， 故③正确；
④．∵抛物线y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，
∴2≤c≤3，
由248ac b a ->得：248ac a b ->，
∵a ＜0， ∴2
24b c a
-<， ∴c ﹣2＜0，
∴c ＜2，与2≤c≤3矛盾，
故④错误．
故选B ．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系,结合图像,数形结合的思想的运用是本题的解题关键.．
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
由抛物线开口方向得a ＞0，由抛物线的对称轴为直线12b x a
=-=-得2b a =＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得c ＜0，则abc ＜0；由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性得到抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2；抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，2x =-时，421a b c -+<-；抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，当1x =-时，y a b c =-+最小值，当x m =得：2y am bm c =++，且1m ≠-，
∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +；对称轴为直线12b x a
=-=-得2b a =,由于1x =时，0y >，则a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得1
3a c >-,然后利用1c <-
得到13
a >-
. 【详解】 ∵抛物线开口向上，∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线12b x a
=-=-，∴b=2a＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，
所以①错误；
∵抛物线2
y ax bx c =++与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，而对称轴为1x =-，由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性，∴抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，∴当2x =-时，421a b c -+<-, 所以③正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，∴当1x =-时，y a b c =-+最小值， 当x m =代入2y ax bx c =++得：2
y am bm c =++， ∵1m ≠-，∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +,所以④错误； ∵对称轴为直线12b x a
=-=-，∴2b a =, ∵由于1x =时，0y >，∴a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得1
3a c >-,
根据图象得1c <-，∴13
a >-，所以⑤正确. 所以②③⑤正确, 故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，以及抛物线与x 轴、y 轴的交点，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），a 决定抛物线开口方向；c 的符号由抛物线与y 轴的交点的位置确定；b 的符号由a 及对称轴的位置确定；当x ＝1时，y ＝a b c ++；当1x =-时，y a b c =-+.
12．B
解析：B
【解析】
分析：根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．
解答：解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确； ②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；
③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；
④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正
确．
故选B ．
二、填空题
13．x （x ﹣12）＝864【解析】【分析】如果设矩形田地的长为x 步那么宽就应该是（x ﹣12）步根据面积为864即可得出方程【详解】解：设矩形田地的长为x 步那么宽就应该是（x ﹣12）步根据矩形面积＝长×宽
解析：x （x ﹣12）＝864
【解析】
【分析】
如果设矩形田地的长为x 步，那么宽就应该是（x ﹣12）步，根据面积为864，即可得出方程．
【详解】
解：设矩形田地的长为x 步，那么宽就应该是（x ﹣12）步．
根据矩形面积＝长×宽，得：x （x ﹣12）＝864．
故答案为：x （x ﹣12）＝864．
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意根据面积公式列出方程是解题的关键． 14．3【解析】【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0即可得出关于k 的一元一次不等式组解之即可得出k 的取值范围【详解】（k-2）x2-2kx+k-6=0∵关于x 的一元二次方程（k-2）x2-2kx
解析：3
【解析】
【分析】
根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．
【详解】
（k-2）x 2-2kx+k-6=0，
∵关于x 的一元二次方程（k-2）x 2-2kx+k=6有实数根，
∴220(2)4(2)(6)0k k k k -≠⎧⎨----≥⎩V
＝ ， 解得：k≥
32且k≠2． ∴k 的最小整数值为3.
故答案为：3．
【点睛】
此题考查一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．
15．【解析】【分析】先根据∠AOC的度数和∠BOC的度数可得∠AOB的度数再根据△AOD中AO=DO可得∠A的度数进而得出△ABO中∠B的度数可得∠C的度数【详解】解：∵∠AOC的度数为105°由旋转可
解析：45
【解析】
【分析】
先根据∠AOC的度数和∠BOC的度数，可得∠AOB的度数，再根据△AOD中，
AO=DO，可得∠A的度数，进而得出△ABO中∠B的度数，可得∠C的度数．
【详解】
解：∵∠AOC的度数为105°，
由旋转可得∠AOD=∠BOC=40°，
∴∠AOB=105°-40°=65°，
∵△AOD中，AO=DO，
∴∠A=1
2
（180°-40°）=70°，
∴△ABO中，∠B=180°-70°-65°=45°，
由旋转可得，∠C=∠B=45°，
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答．
16．1【解析】通过勾股定理计算出斜边的长得到三角形的外接圆半径；再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半计算出内切圆半径最后求它们的差解：因为斜边==5内切圆半径r==1；所以r=1故填1会利用
解析：1
【解析】
通过勾股定理计算出斜边的长，得到三角形的外接圆半径；再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，计算出内切圆半径，最后求它们的差．
解：因为斜边==5，内切圆半径r==1；
所以r=1．故填1．
会利用勾股定理进行计算．其内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半．
17．＜【解析】试题分析：将二次函数y＝x2－2ax＋3转换成y＝(x-a)2-a2＋3则它的对称轴是x=a抛物线开口向上所以在对称轴右边y随着x的增大而增大点A点B均在对称轴右边且a+1<a+2所以b<
解析：＜
【解析】
试题分析：将二次函数y＝x2－2ax＋3转换成y＝(x-a)2-a2＋3,则它的对称轴是x=a,抛物
线开口向上，所以在对称轴右边y随着x的增大而增大，点A点B均在对称轴右边且
a+1<a+2,所以b<c.
18．；【解析】【分析】先求出小琳所在班级的女生人数再根据概率公式计算可得【详解】∵小琳所在班级的女生共有40×60=24人∴从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加小琳被抽到的概率是故答案为
解析：1 24
；
【解析】
【分析】
先求出小琳所在班级的女生人数，再根据概率公式计算可得．【详解】
∵小琳所在班级的女生共有40×60%=24人，
∴从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，小琳被抽到的概率是1 24
．
故答案为1 24
．
19．<a<或-3＜a＜-
2【解析】【分析】先用a表示出抛物线与x轴的交点再分a＞0与a＜0两种情况进行讨论即可【详解】解：∵y=ax2+（a2-1）x-a=（ax-
1）（x+a）∴当y=0时x1=x2=
解析：1
3
<a<
1
2
或-3＜a＜-2．
【解析】
【分析】
先用a表示出抛物线与x轴的交点，再分a＞0与a＜0两种情况进行讨论即可．【详解】
解：∵y=ax2+（a2-1）x-a=（ax-1）（x+a），
∴当y=0时，x1=1
a
，x2=-a，
∴抛物线与x轴的交点为（1
a
，0）和（-a，0）．
∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（m，0）且2＜m＜3，
∴当a＞0时，2＜1
a
＜3，解得
1
3
＜a＜
1
2
；
当a＜0时，2＜-a＜3，解得-3＜a＜-2．
故答案为：1
3
<a<
1
2
或-3＜a＜-2．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
20．x1=0x2=3【解析】【分析】先移项然后利用因式分解法求解【详解】x2=3xx2-3x=0x(x-3)=0x=0或x-3=0∴x1=0x2=3故答案为：x1=0x2=3【点睛】本题考查了解一元二次
解析：x 1=0，x 2=3
【解析】
【分析】
先移项，然后利用因式分解法求解．
【详解】
x 2=3x
x 2-3x=0，
x(x-3)=0，
x=0或x-3=0，
∴x 1=0，x 2=3．
故答案为：x 1=0，x 2=3
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解
三、解答题
21．（1）10700y x =-+；（2）单价为46元时，利润最大为3840元.（3）单价的范围是45元到55元.
【解析】
【分析】
（1）可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式；
（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；
（3）首先得出w 与x 的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x 的值，根据增减性，求出x 的取值范围．
【详解】
（1）由题意得：4030055150k b k b +=⎧⎨+=⎩ 10700k b =-⎧⇒⎨=⎩
． 故y 与x 之间的函数关系式为：y=-10x+700，
（2）由题意，得
-10x+700≥240，
解得x≤46，
设利润为w=（x-30）•y=（x-30）（-10x+700），
w=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，
∵-10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w大=-10（46-50）2+4000=3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；
（3）w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600，
-10（x-50）2=-250，
x-50=±5，
x1=55，x2=45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．22．这个游戏对双方不公平，理由见解析.
【解析】
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到卡片字母相同的情况，再利用概率公式即可求得答案.
【详解】
解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸到卡片字母相同的有5种等可能的结果，
∴两次摸到卡片字母相同的概率为：5
9
；
∴小明胜的概率为5
9
，小亮胜的概率为
4
9
，
∵ 59≠49
， ∴这个游戏对双方不公平.
故答案为这个游戏对双方不公平，理由见解析.
【点睛】
本题考查了树状图法求概率，判断游戏的公平性.
23．（1）见解析；（2）»AD 23π=
【解析】
【分析】
（1）连结OD ，根据等腰三角形性质和等量代换得1B ∠=∠，由垂直定义和三角形内角和定理得290B ∠+∠=︒，等量代换得2190∠+∠=︒，由平角定义得90DOE ∠=︒，从而可得证.（2）连结AD ，由圆周角定理得90ADC ∠=︒，根据等腰三角形性质和三角形外角性质可得60AOD ∠=︒，在Rt DEB ∆中，由直角三角形性质得23BD CD ==，在Rt ADC ∆中，由直角三角形性质得2OA OC ==，再由弧长公式计算即可求得答案.
【详解】
（1）证明：如图，连结OD ．
∵OC OD =，AB AC =，
∴1C ∠=∠，C B ∠=∠，
∴1B ∠=∠，
∴DE AB ⊥，
∴290B ∠+∠=︒，
∴2190∠+∠=︒，
∴90ODE ∠=︒，
∴DE 为O e 的切线．
（2）解：连结AD ，∵AC 为O e 的直径．
∴90ADC ∠=︒．
∵AB AC =，
∴30B C ∠=∠=︒，BD CD =，
∴60AOD ∠=︒．
∵3DE =
∴3BD CD ==
∴2 OC=，
∴
602
2
1803 ADππ=⨯=
【点睛】
本题考查切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
24．(1) 1
2
；（2）公平，理由见解析
【解析】
【分析】
本题考查了概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可．
【详解】
方法一画树状图：
由上图可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结
果有6种．∴P（和为奇数）= 1
2
．
方法二列表如下：
由上表可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结
果有6种．∴P（和为奇数）= 1
2
；
（2）∵P（和为奇数）= 1
2
，∴P（和为偶数）=
1
2
，∴这个游戏规则对双方是公平的．
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．25．（1）a＞-1;(2) x1=-3,x2=-1.
【解析】
试题分析：（1）方程有两个不相等的实数根，可得△>0，代入后解不等式即可得a 的取值范围；（2）把a 代入后解方程即可.
试题解析：
（1）∵方程有两个不相等的实数根
∴16-4（3-a ）＞0,
∴a ＞-1 .
（2）由题意得：a =0 ,
方程为x 2+4x +3=0 ,
解得12-3,-1x x == .
点睛：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．。