福建省厦门市翔安一中高二数学暑假返校测试试题 理 新人教A版

厦门市翔安一中2014届暑假高二返校测试
数学(理科)试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟．
参考表格：（独立性检验统计量临界值表）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一．选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每个小题的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.） 1．复数
1
3)31(2
-+i i 的值是 （ ）
A ．2
B ．
2
1
C ．2
1-
D ．2- 2．)('0x f =0是可导函数)(x f 在点0x x =处取极值的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．曲线x
e y =，0,1x x ==与x 轴围成的面积为（ ）
A ．2
1e -
B ．1e -
C ．2
e
D ．2
2e
4．如果654321,,,,,a a a a a a 的方差为3，那么
2)3(1-a ．2)3(2-a ． 2)3(3-a ．2)3(4-a ．2)3(5-a ．2)3(6-a 的方差是（ ）
A ．0
B ．3
C ．6
D ．12
5．设随机变量~(0,1)N ξ，记(1)P a ξ>=，则(11)P ξ-<<等于 （ ）
A ．12a -
B ．1a -
C ．
1
22
a - D ．
1
2
a - 6．已知6
2
2()x x p
-的展开式中，不含x 的项是2720,那么正数p 的值是 （ ）
A ． 1
B ．2
C ．3
D ．4
7、设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图，则导函数)(x f y '=的图象可能为（ ）
8． 有一排7只发光二级管，每只二级管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二级管
点亮，但相邻的两只二级管不能同时点亮，根据这三只点亮的二级管的不同位置或不同颜色来表示不同的信息，则这排二级管能表示的信息种数共有 （ ） A ．10 B ．48 C ．60 D ．80 9． 口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回的每次模取一个球，定义数列{}n a ：
⎩⎨
⎧-=次摸取白球
第次摸取红球
第n n a n 11 如果n S 为数列{}n a 的前n 项之和，那么37=S 的概率为
（ ）
A ．
729
224
B ．
729
28
C ．
2387
35
D ．
75
28 10．在1,2,3,4,5的排列a 1,a 2,a 3,a 4,a 5中，满足条件a 1＜a 2，a 2＞a 3，a 3＜a 4，a 4＞a 5的排列
的个数是 （ ） A ．8 B ．14 C ．16 D ．18
第Ⅱ卷（非选择题满分100分）
二、填空题：（本题共5小题，每小题4分，共20分）
11．调查了厦门若干户家庭的年收入x （万元）和年饮食支出y （万元），调查显示年收入x
与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：
ˆ0.2540.321y x =+，则家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_____________
万元；
12． (2x+x )4
的展开式中所有项的系数和是 ____ ；
13．一辆汽车沿直线轨道前进，若司机踩刹车后汽车速度t t v 324)(－=（单位：米/秒），
则汽车刹车后前进 米才停车； 14．用数学归纳法证明＂*11
1
1(,1)23
21
n
n n N n +
+++
<∈>-＂时，(1)n k k =>时不等式的左边与1n k =+时不等式的左边相差的项数为______________；
15．函数()f x 定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单
函数．例如函数()21f x x =+是单函数．下列命题：
①函数2
()f x x =是单函数；②若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则
12()()f x f x ≠；
③若:f A B →为单函数，则对于任意b B ∈，它至多有一个原象；
④函数()f x 在某区间上具有单调性，则()f x 一定是单函数．
正确的序号有____________________； 三、解答题
16．（本小题13分）
翔安一中一位高二班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行长期的调查,得到的统计数据如下表所示：
（I ）如果随机调查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少? （II ）用独立性检验的方法判断：学习的积极性与对待班级工作的态度是否有关系?
独立性检验统计量计算公式：
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
17．（本小题13分）
已知函数119)(23+--=x ax x x f ，且12)1('-=f . （I ）求函数)(x f 的解析式；（II ）求函数)(x f 的极值.
18．（本小题13分）
甲乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P （元）关于速度v （千米/小时）的函数关系是
v v v P 15160
11920013
4+-=
，
（Ⅰ）求全程运输成本Q （元）关于速度v 的函数关系式；
（Ⅱ）为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值。

19.（本小题13分）
通过计算可得下列等式：
2221211-=⨯+；2232221-=⨯+；2243231-=⨯+；……；
22(1)21n n n +-=+
将以上各式相加得：22(1)12(123)n n n +-=⨯+++++
所以可得：(1)
1232
n n n ++++
+=
． 类比上述求法：请你求出3
3
3
3123n +++
+的值．（提示：
2222(1)(21)
1236
n n n n ++++++=
）
20．（本小题14分）
厦门大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响. 已知某学生
只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，
用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积. （Ⅰ）求该同学只选甲和丙不选乙的概率；
（Ⅱ）记“函数x x x f ξ+=2)(为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率，并求ξ的
分布列和数学期望.
21．（本小题14分）
已知函数2,ln )1(2
1)(2
≥-+-=
a x a ax x x f 。

（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）证明：若5<a ，则对任意,),,0(,2121x x x x ≠+∞∈有
1)
()(2
121->--x x x f x f 。

厦门市翔安一中2012-2013学年暑假高二返校考试
数学(理)参考答案
一．选择题．
ABBDA CDDBC 二．填空题．
11．0.254；12．81；13．96；14．2k
；15．②③④； 三．解答题． 16．解：（I ）记事件A 为＂抽到积极参加班级工作的学生＂． 所以2412
()5025
P A =
= （II ）2
K 的观测值为：250(181967)150
11.5382426252513
k ⨯-⨯=
=≈⨯⨯⨯＞10.838 答：有99.9%的把握认为学习的积极性与对待班级工作态度有关 17．解：（I ）2
()329f x x ax '=--
(1)12f '=-
32912a ∴--=-
3a ∴=
3
2
()3911f x x x x ∴=--+
（II ）2
2
()3693(23)f x x x x x '=--=-- 3(1)(2)x x =--
当x 变化时，)(x f 与()f x '变化如下：
所以)(x f 的极大值为(1)0f =，极小值为(2)11f =-．
18．解：（I ）4340011400
()(15)19200160Q v P v v v v v =⨯
=-+⨯ 32
156000482
v v =-+（其中0100)v <≤ （Ⅱ）21()516Q v v v '=-＝1
(80)16
v v - 当v 变化时，()Q v 与()Q v '变化如下：
所以当v ＝80（千米／小时）时，全程运输成本最小，最少的运输成本为2000
(80)3
Q =
（元）． 19．解： 4413223444211111C C C -=⨯+⨯+⨯+ 4413223444322221C C C -=⨯+⨯+⨯+ 4413223444433331C C C -=⨯+⨯+⨯+
………………
4413223
444(1)1n n C n C n C n +-=⨯+⨯+⨯+
将以上各式相加得：
41333322
2223
444(1)1(123)(123)(123)n C n C n C n n
+-=+++
+++++
+++++
++ 1333
34(1)(21)(1)(123)6
462
n n n n n C n n +++=+++
++++
3
3
3
341
123[(1)(1)(21)2(1)(1)]4n n n n n n n n ∴+++
+=
+-++-+-+ 31
[(1)(21)21]4n n n n n +=+-+-- 3
21[331(21)21]4
n n n n n n n +=+++-+-- 322
1(1)[][]42
n n n n n ++=+= 20．解：（Ⅰ）设这位同学选甲的概率为a ，选乙的概率为b ，选丙的概率为c ．
依题意得(1)(1)0.08
(1)0.12(1)(1)(1)10.880.12a b c ab c a b c --=⎧⎪
-=⎨⎪---=-=⎩
解得0.40.60.5a b c =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
记事件B 为＂该同学只选甲和丙不选乙＂ 所以()(1)0.40.40.50.08P B a b c =-=⨯⨯=
（Ⅱ）因为是x x x f ξ+=2)(偶函数
所以0ξ=
所以()(0)P A P ξ==
(1)(1)(1)0.120.120.24abc a b c =+---=+=
ξ的可能取值为：0，2
(0)0.24P ξ==
(2)0.40.40.50.60.60.50.60.40.5 0.40.60.50.40.40.50.60.60.5
P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
0.76=
ξ∴的分布列为
0.762 1.52E ξ∴=⨯=
21．解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞
211[(1)](1)
()a x ax a x a x f x x a x x x
--+----'=-+==
11a -≥
当11a ->时，即2a >时，)(x f 的单调增区间为(0,1)，(1,)a -+∞； 单调减区间为(1,1)a -．
当11a -=时，即2a =时，)(x f 的单调增区间为(0,)+∞
（Ⅱ）要证：对任意,),,0(,2121x x x x ≠+∞∈有
1)
()(2
121->--x x x f x f 。

不防设12x x >，即证1212()()()f x f x x x ->-- 即证1122()()f x x f x x +>+ 设2
1()()(1)(1)ln 2
g x f x x x a x a x =+=
--+-，0x > 即证当12x x >时，12()()g x g x >．即证()g x 在(0,)+∞单调递增．
21(1)(1)
()(1)a x a x a g x x a x x
---+-'=--+=
而2
(1)4(1)(1)(5)a a a a ∆=---=--
又25a ≤<，0∴∆<
∴2
(1)(1)0x a x a --+->恒成立
∴
2(1)(1)
()0x a x a g x x
--+-'=>对(0,)x ∈+∞恒成立．
∴()g x 在(0,)+∞单调递增
∴原题得证．。