高中数学课时跟踪检测二十五对数函数的概念新人教A版必修第一册

课时跟踪检测（二十五） 对数函数的概念
A 级——学考水平达标练
1．函数f (x )＝1log 2x －1
的定义域为( ) A ．(0,2) B ．(0,2]
C ．(2，＋∞)
D ．[2，＋∞) 解析：选C 若函数f (x )有意义，则log 2x －1＞0，∴log 2x ＞1，∴x ＞2.所以函数f (x )的定义域为(2，＋∞)．
2．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，若f (1)＝1，则a ＝( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选C ∵f (1)＝log a (1＋1)＝1，∴a 1＝2，则a ＝2，故选C.
3．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( )
A ．(1,4]
B ．(1,4)
C ．[1,4]
D ．[1,4) 解析：选A 由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧ x －1＞0，4－x ≥0，所以1＜x ≤4. 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1，x ≤1，lg x ，x ＞1，则f (f (10))的值为( )
A ．lg 101
B ．1
C ．2
D ．0
解析：选C f (f (10))＝f (lg 10)＝f (1)＝12＋1＝2.
5．函数f (x )＝a －lg x 的定义域为(0,10]，则实数a 的值为( )
A ．0
B ．10
C ．1
D ．110
解析：选C 由已知，得a －lg x ≥0的解集为(0,10]，由a －lg x ≥0，得lg x ≤a ，又当0＜x ≤10时，lg x ≤1，所以a ＝1，故选C.
6．函数y ＝2－log 3x 的定义域是________．
解析：由题意得2－log 3x ≥0，
所以log 3x ≤2＝log 39.所以0＜x ≤9.
答案：(0,9]
7．若f (x )＝log a x ＋(a 2
－4a －5)是对数函数，则a ＝______.
解析：由对数函数的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4a －5＝0，a ＞0，
a ≠1，
解得a ＝5.
答案：5
8．已知下列函数：
①y ＝log(－x )(x ＜0)；
②y ＝2log 4(x －1)(x ＞1)；
③y ＝ln x (x ＞0)；
④y ＝log a 2＋a x (x ＞0，a 是常数)．
其中为对数函数的是________(只填序号)． 解析：由对数函数的定义知，①②不是对数函数；对于③，ln x 的系数为1，自变量是x ，
故③是对数函数；对于④，底数a 2＋a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－14
，当a ＝－12时，底数小于0，故④不是对数函数．故填③.
答案：③
9．已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a >0，且a ≠1)．当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围．
解：∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，当x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a .
∵当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．
∴3－2a >0，∴a <32
. 又a >0且a ≠1，∴0<a <1或1<a <32
， ∴实数a 的取值范围为(0,1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32. 10．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V (m/s)，鲑鱼的耗
氧量的单位数为Q ，研究中发现V 与log 3Q 100
成正比，且当Q ＝900时，V ＝1. (1)求出V 关于Q 的函数解析式；
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量的单位数．
解：(1)设V ＝k ·log 3Q 100
， ∵当Q ＝900时，V ＝1，∴1＝k ·log 3900100
，
∴k ＝12，∴V 关于Q 的函数解析式为V ＝12log 3Q 100
. (2)令V ＝1.5，则1.5＝12log 3Q 100
，∴Q ＝2 700， 即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量为2 700个单位．
B 级——高考水平高分练
1．函数y ＝3－x 2－log 2(x ＋1)
的定义域是( ) A ．(－1,3)
B ．(－1,3]
C ．(－∞，3)
D ．(－1，＋∞)
解析：选A 若要函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x ≥0，x ＋1＞0，
2≠log 2(x ＋1)，解得－1＜x ＜3.
2．已知函数f (x )＝log 3x ＋log x ，则f (3)＝________.
解析：f (3)＝log 33＋log 3＝12－12
＝0. 答案：0
3．若函数y ＝log a (x ＋a )(a ＞0且a ≠1)的图象过点(－1,0)．
(1)求a 的值；
(2)求函数的定义域．
解：(1)将(－1,0)代入y ＝log a (x ＋a )(a ＞0，且a ≠1)中，
有0＝log a (－1＋a )，则－1＋a ＝1，所以a ＝2.
(2)由(1)知y ＝log 2(x ＋2)，由x ＋2＞0，解得x ＞－2，
所以函数的定义域为{x |x ＞－2}．
4．已知函数f (x )＝log 2⎣
⎢⎡⎦⎥⎤ax 2＋(a －1)x ＋14. (1)若定义域为R ，求实数a 的取值范围；
(2)若值域为R ，求实数a 的取值范围．
解：(1)要使f (x )的定义域为R ，则对任意实数x 都有t ＝ax 2＋(a －1)x ＋14
>0恒成立．当a ＝0时，不合题意；当a ≠0时，由二次函数图象可知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝(a －1)2－a <0.
解得3－52<a <3＋52
. 故所求a 的取值范围为⎝
⎛⎭⎪⎫3－52，3＋52.
(2)要使f (x )的值域为R ，则有t ＝ax 2＋(a －1)x ＋14
的值域必须包含(0，＋∞)．当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，由二次函数图象可知，其二次函数图象必须与x 轴相交且开口向上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝(a －1)2－a ≥0，即0<a ≤3－52或a ≥3＋52
. 故所求a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，
3－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3＋52，＋∞.。